Санкт-Петербургский Государственный Технологический Институт

(Технический Университет)

Кафедра Факультет VIII

Прикладной Курс II

Математики Группа 891

Дисциплина: Информатика – 2

Курсовая работа

Тема: «Исследование распределения температуры в тонком цилиндрическом стержне»

Руководитель:

Поляков В.О.

Исполнитель:

Солнцев П.В.

Санкт-Петербург 2001

Введение

В решении любой прикладной задачи можно выделить три основных этапа:

• построение математической модели исследуемого объекта

• выбор способа и алгоритма решения полученной модели

• численная реализация алгоритма

Цель данной работы – на примере исследования распределения температуры в тонком цилиндрическом стержне освоить основные методы приближённых вычислений, приобрести практические навыки самостоятельных исследований, существенно опирающихся на использование методов прикладной математики.

Содержание

1. Постановка задачи

1. Физическая модель

2. Математическая модель

1. Обработка результатов эксперимента

1. Задача регрессии. Метод наименьших квадратов.

2. Гипотеза об адекватности модели задачи регрессии

1. Нахождение коэффициента теплоотдачи 

   1. Вычисление интеграла методом трапеций

   2. Вычисление интеграла методом парабол (Симпсона)

1. Вычисление времени Т₀ установления режима

   1. Решение уравнения комбинированным методом

   2. Решение уравнения методом итерраций

1. Решение краевой задачи (метод малого параметра)

1. Заключение

Литература

1. Постановка задачи

1. Физическая модель

В ряде практических задач возникает необходимость исследования распределения температуры вдоль тонкого цилиндрического стержня, помещённого в высокотемпературный поток жидкости или газа. Это исследование может проводиться либо на основе обработки эксперимента (измерение температуры в различных точках стержня), либо путём анализа соответствующей математической модели.

В настоящей работе используются оба подхода.

Тонкий цилиндрический стержень помещён в тепловой поток с постоянной температурой , на концах стержня поддерживается постоянная температура ₀.

1.2 Математическая модель

Совместим координатную ось абсцисс с продольной осью стержня с началом в середине стержня. Будем рассматривать задачу (распределения температуры по стержню) мосле момента установления режима Т₀.

П
ервая математическая модель использует экспериментальные данные, при этом измеряют температуру U_i стержня в нескольких точках стержня с координатами x_i. Результаты измерения U_i рассматривают как функцию регрессии и получают статистики. Учитывая чётность U(x) можно искать её в виде многочлена по чётным степеням x (ограничимся 4-ой степенью этого многочлена).

(1.1)

Задача сводится к отысканию оценок неизвестных параметров, т.е. коэффициентов a₀ , a₁ и a₂ , например, методом наименьших квадратов.

Вторая математическая модель, также использующая экспериментальные данные, состоит в применении интерполяционных формул и может употребляться, если погрешность измерений температуры Ui пренебрежимо мала, т.е. можно считать, что U(x_i)=U_i

Т
ретья математическая модель основана на использовании закона теплофизики. Можно доказать, что искомая функция U(x) имеет вид:

(1.2)

где коэффициент теплопроводности, коэффициент теплоотдачи, D – диаметр стержня, температура потока, в который помещён стержень.

И
щем U(x) как решение краевой задачи для уравнения (1.2) с граничными условиями:

(1.3)

на отрезке [-L|/2;L/2], где L – длина стержня, _постоянная температура, поддерживаемая на концах стержня.

Коэффициент теплопроводности  зависит от температуры:

(1.4)

где _начальное значение коэффициента теплопроводности, _вспомогательный коэффициент.

К
оэффициент теплоотдачи вычисляют по формуле:

(1.5)

т

.е. как среднее значение функции

за некоторый отрезок времени от 0 до Т, здесь _значение при t стремящемся к бесконечности, b – известный коэффициент.

В
ремя Т₀, по истечении которого распределение температуры в стержне можно считать установившимся определяется по формуле:

(1.6)

г
де а – коэффициент температуропроводности, наименьший положительный корень уравнения:

(1.7)

Задание курсовой работы

Вариант № 136

Исходные данные:

1. L = 0.0386 м

2. D = 0,00386 м

3. ^оС

4. _^оС

5. _141,85 (Вт/м*К)

6. _2,703*10^-4

7. 6,789*10^-7

8. _3,383*102 (Вт/м²*К)

9. 218 ^оС

10. А = 3,043*10-5 (м²/с)

11

X, м	U, oC
0	353
0,00386	343
0,00772	313
0,01158	261
0,01544	184
0,01930	74

2. Обработка результатов эксперимента.

2.1 Задача регрессии. Метод наименьших квадратов.

И
щем функцию регрессии в виде (1.1). Оценки коэффициентов находим с помощью МНК, при этом наименьшими будут оценки, обеспечивающие минимум квадратов отклонений оценочной функции регрессии от экспериментальных значений температуры; суммирование ведут по всем экспериментальным точкам, т.е. минимум величины S:

(2.1)

В
нашем случае необходимым т достаточным условием минимума S будут:

Где k = 0, 1, 2. (2,2)

И
з уравнений (2.1) и (2.2) получаем:

(2.3)

С

умма

С
истема (2.3) примет вид:

(2.4)

В
результате вычислений получаем S_k и V_j. Обозначим матрицу коэффициентов уравнения (2.4) через “p”:

М
етодом Гаусса решаем систему (2.4) и найдём обратную матрицу p^-1. В результате получаем:

П
одставляя в (2.1) найденные значения оценок коэффициентов а_к, находим минимальное значение суммы S:

S_min=0.7597

При построении доверительных интервалов для оценок коэффициентов определяем предварительно точечные оценки.

П
редполагается, что экспериментальные значения x_i измерены с пренебрежимо малыми ошибками, а случайные ошибки измерения величины U_i независимы и распределены по нормальному закону с постоянной дисперсией ^, которая неизвестна. Для имеющихся измерений температуры U_i неизвестная дисперсия оценивается по формуле:

Г
де r – число степеней свободы системы, равное разности между количеством экспериментальных точек и количеством вычисляемых оценок коэффициентов, т.е. r = 3.

О
ценка корреляционной матрицы имеет вид:

О
ценки дисперсий параметров оценок коэффициентов найдём по формулам:

Где S_k – минор соответствующего диагонального элемента матрицы нормальной системы;

 главный определитель нормальной системы.

В нашем случае:

S₀=3.5438 10^-22

S₁=-8.9667 10^-14

S₂=6.3247 10^-7

О

ткуда:

Н
айденные оценки коэффициентов распределены по нормальному закону, т.к. линейно зависят от линейно распределённых экспериментальных данных Ui.

И
звестно, что эти оценки несмещённые и эффективные. Тогда случайные величины:

Имеют распределения Стьюдента, а r = 3.

В
ыбираем доверительную вероятность =0,9 и по таблице Стьюдента находим критическое значение _равное 2,35, удовлетворяющее равенству:

Д
оверительные интервалы для коэффициентов:

(2.4*)

В
нашем случае примут вид:

2.2 Проверка статистической гипотезы об адекватности модели задачи регрессии.

И
меется выборка объёма n экспериментальных значений (x_i;U_i). Предполагаем, что ошибки измерения x_i пренебрежимо малы, а случайные ошибки измерения температур U_i подчинены нормальному закону с постоянной дисперсией ^Мы выбрали функцию регрессии в виде:

В
ыясним, нельзя ли было ограничиться многочленом второго порядка, т.е. функцией вида:

(2.5)

C

помощью МНК можно найти оценки этих функций и несмещённый оценки дисперсии отдельного измерения Ui для этих случаев:

Где r₁ = 4 (количество точек – 6, параметра – 2).

Н
ормальная система уравнений для определения новых оценок коэффициентов функции (2.5)с помощью МНК имеет вид:

(2.7)

Р


ешая эту систему методом Гаусса, получим:

(2.8)

Чем лучше функция регрессии описывает эксперимент, тем меньше для неё должна быть оценка дисперсии отдельного измерения Ui, т.к. при плохом выборе функции в дисперсию войдут связанные с этим выбором дополнительные погрешности. Поэтому для того, чтобы сделать выбор между функциями U(x) и U(1)(x) нужно проверить значимость различия между соответствующими оценками дисперсии, т.е. проверить гипотезу: