PRAY (Интеграл по комплексной переменной. Операционное исчисление и некоторые его приложения)

Интеграл по комплексной переменной.

Определение 1: Кривая Г называется гладкой ,если она имеет непрерывно изменяющуюся касательную.

Определение 2: Кривая называется кусочно-гладкой ,если она состоит из конечного числа гладких дуг.

Основные свойства : Пусть на комплексной плоскости Z задана кусочно-гладкая кривая С длиной , используя параметрическое задание кривой С зададим tи (t), где иявляются кусочно-гладкими кривыми от действительной переменной t. Пусть <= t<=причем и могут быть бесконечными числами .

Пусть и удовлетворяют условию : [‘(t)]² + [‘(t)]²  0. Очевидно, что задание координат  =tи (t), равносильно заданию комплексной функции  (t)= (t) i(t).

Пусть в каждой точке  (t) кривой С определена некоторая функция f ( ). Разобьем кривую С на n – частичных дуг точками деления ₀ , ₁ , ₂ , …, _n-1 соответствующие возрастающим значениям параметра t, т.е. t₀, t₁, …, t _i+1 > t _i.

 _i = _i –  _i-1. Составим интегрируемую функцию S = f (*) _i . (1)
где *– производная точки этой дуги.

Если при стремлении max | _i | 0 существует предел частных сумм не зависящий ни от способа разбиения кривой С на частичные дуги, ни от выбора точек  _i , то этот предел называется интегралом от функции f ( ) по кривой С.

(2)

f (_i* ) = u (P_i*) + iv (P_i*) (3)

где  _i = (t) i(t) ((t) и(t) - действительные числа)

Подставив (3) в (1) получим :

(4)

Очевидно, что (4) состоит из суммы двух частных сумм, криволинейных интегралов действительной переменной. Переходя в (4) к пределу при  и  0 и предполагая, что данные пределы существуют, получаем :

(5)

Заметим, что для существования криволинейного интегралов, входящих в (5), а тем самым и для существования интеграла (2) достаточно кусочной непрерывности функций u и v. Это означает, что (2) существует и в случае неаналитичности функции f ( ).

Сформулируем некоторые свойства интеграла от функции комплексной переменной. Из равенства (5) следуют свойства :

О
ограниченности интеграла.

П
ри этом z =  ( ).

7.) Пусть Cp – окружность радиуса , с центром в точке Z₀. Обход вокруг контура Cp осуществляется против часовой стрелки. Cp :  = Z₀ + e^i, 0    2, d = ie^i d .

К
усочно-гладкую замкнутую кривую будем называть замкнутым контуром, а интеграл по замкнутому контуру – контурным интегралом.

ТЕОРЕМА КОШИ.

В качестве положительного обхода контура выберем направление при котором внутренняя область, ограниченная данным замкнутым контуром остается слева от направления движения :

Д
ля действительной переменной имеют место формулы Грина. Известно, что если функции P(x, y) и Q(x, y) являются непрерывными в некоторой заданной области G, ограниченны кусочно-гладкой кривой С, а их частные производные 1-го порядка непрерывны в G, то имеет место формула Грина:

( 8 )

ТЕОРЕМА : Пусть в односвязной области G задана аналитическая функция f(Z), тогда интеграл от этой функции по замкнутому контуру Г целиком лежащему в G , равен нулю.

Доказательство : из формулы (5) следует:

Т
.к. f( ) аналитическая всюду, то U(x, y), V(x, y) - непрерывны в области, ограниченной этим контуром и при этом выполняются условия Коши-Римана. Используя свойство криволинейных интегралов:

А

налогично :

По условию Коши-Римана в последних равенствах скобки равны нулю, а значит и оба криволинейных интеграла равны нулю. Отсюда :

ТЕОРЕМА 2 (Вторая формулировка теоремы Коши) : Если функция f() является аналитической в односвязной области G, ограниченной кусочно-гладким контуром C, и непрерывна в замкнутой области G, то интеграл от такой функции по границе С области G равен нулю.

TEOPEMA 3 (Расширение теоремы Коши на многосвязную область) :

П усть f () является аналитической функцией в многосвязной области G, ограниченной извне контуром С₀, а изнутри контурами С₁, С₂, .. ,С_n (см. рис.). Пусть f () непрерывна в замкнутой области G, тогда :

, где С – полная граница области G, состоящая из контуров С₁, С₂, .. , С_n. Причем обход кривой С осуществляется в положительном направлении.

Неопределенный интеграл.

С
ледствием формулы Коши является следующее положение : пусть f(Z) аналитична в односвязной области G, зафиксируем в этой области точку Z₀ и обозначим:

интеграл по какой-либо кривой, целиком лежащей в области G, содержащей Z₀ и Z, в силу теории Коши этот интеграл не зависит от выбора кривой интегрирования и является однозначной функцией Ф(Z). Аналитическая функция Ф(Z) называется первообразной от функции f(Z) в области G, если в этой области имеет место равенство : Ф (Z) = f( Z).

Определение: Совокупность всех первообразных называется неопределенным интегралом от комплексной функции f(Z). Так же как и в случае с функцией действительного переменного имеет место равенство :

( 9)

Это аналог формулы Ньютона-Лейбница.

Интеграл Коши. Вывод формулы Коши.

Р анее была сформулирована теорема Коши, которая позволяет установить связь между значениями аналитической функции во внутренних точках области ее аналитичности и граничными значениями этой функции.

П
усть функция f(Z) – аналитическая функция в односвязной области G, ограниченной контуром С. Возьмем внутри этой области произвольную точку Z₀ и в области G вокруг этой точки построим замкнутый контур Г. Рассмотрим вспомогательную функцию  (Z). Эта функция аналитична в области G всюду, кроме точки Z=Z₀. Проведем контур  с достаточным радиусом, ограничивающий точку Z₀, тогда функция будет аналитична в некоторой двусвязной области, заключенной между контурами Г и . Согласно теореме Коши имеем :

По свойствам интегралов :

(2 )

Т ак как левый интеграл в (2) не зависит от выбора контура интегрирования, то и правый интеграл также не будет зависеть от выбора контура. Выберем в качестве  окружность _ с радиусом  . Тогда:

(3)

Уравнение окружности _ :  = Z₀ + e^i (4)

Подставив (4) в (3) получим :

( 5 )

( 6 )

(7)

У стремим _ 0, т.е.  0.

Тогда т.к. функция f() аналитична в точке Z=Z₀ и всюду в области G, а следовательно и непрерывна в G, то для всех >0 существует >0, что для всех  из –окрестности точки Z0 выполняется | f() – f(Z₀) | < .

(8)

Подставив ( 7) в ( 6) с учетом ( 8) получаем :

П
одставляя в ( 5) и выражая f(Z0) имеем :

(9)

Э то интеграл Коши.

Интеграл, стоящий в (9) в правой части выражает значение аналитической функции f() в некоторой точке Z₀ через ее значение на произвольном контуре  , лежащем в области аналитичности функции f() и содержащем точку Z₀ внутри.

Очевидно, что если бы функция f() была аналитична и в точках контура С, то в качестве границы  в формуле (9) можно было использовать контур С.

Приведенные рассуждения остаются справедливыми и в случае многосвязной области G.

Следствие : Интеграл Коши, целиком принадлежащий аналитической области G имеет смысл для любого положения Z₀ на комплексной плоскости при условии, что эта точка есть внутренней точкой области Г. При этом если Z₀ принадлежит области с границей Г, то значение интеграла равно (9), а если т. Z₀ принадлежит внешней области, то интеграл равен нулю :

П
ри Z₀  Г указанный интеграл не существует.

Интегралы, зависящие от параметра.

Рассматривая интеграл Коши, видим, что подинтегральная функция зависит от 2-х комплексных переменных : переменной интегрирования  и Z₀. Таким образом интеграл Коши может быть рассмотрен как интеграл, зависящий от параметра, в качестве которого выбираем точку Z₀.

Пусть задана функция двух комплексных переменных  (Z,  ), причем Z= x + iy в точке, принадлежащей некоторой комплексной плоскости G. = + i  С. (С - граница G).

Взаимное расположение области и кривой произвольно. Пусть функция  (Z,  ) удовлетворяет условиям : 1) Функция для всех значений  С является аналитической в области G. 2) Функция  (Z,  ) и ее производная  являются непрерывными функциями по совокупности переменных Z и  при произвольном изменении области G и переменных на кривой С. Очевидно, что при сделанных предположениях :

И
нтеграл существует и является функцией комплексной переменной. Справедлива формула :

(2)

Эта формула устанавливает возможность вычисления производной от исходного интеграла путем дифференцирования подинтегральной функции по параметру.

ТЕОРЕМА. Пусть f(Z) является аналитической функцией в области G и непрерывной в области G (G включая граничные точки ), тогда во внутренних точках области G существует производная любого порядка от функции f(Z) причем для ее вычисления имеет место формула :

(3)

С помощью формулы (3) можно получить производную любого порядка от аналитической функции f (Z) в любой точке Z области ее аналитичности. Для доказательства этой теоремы используется формула (2) и соответственные рассуждения, которые привели к ее выводу.

ТЕОРЕМА МОРЕРА. Пусть f(Z) непрерывна в односвязной области G и интеграл от этой функции по любому замкнутому контуру, целиком принадлежащему G равен 0. Тогда функция f (Z) является аналитической функцией в области G. Эта теорема обобщается и на случай многосвязной области G.

Разложение функции комплексного переменного в ряды.

Если функция f(x, y) определена и непрерывна вместе с частными производными (до n-го порядка ), то существует разложение этой функции в ряд Тейлора :

Итак, если задана функция f (z) комплексного переменного, причем f (z) непрерывная вместе с производными до n-го порядка, то:

(2) – разложение в ряд Тейлора.

Формула (2) записана для всех Z принадлежащих некоторому кругу | Z-Z₀ |

Функция f (z), которая может быть представлена в виде ряда (2) является аналитической функцией. Неаналитическая функция в ряд Тейлора не раскладывается.

(3)

(4)

(5)

Причем | Z | < R, R  .

Формулы ЭЙЛЕРА.

Применим разложение (3) положив, что Z = ix и Z= - ix;

(6)

Аналогично взяв Z = - ix получим :

(7)

Из (6) и (7) можно выразить т.н. формулы Эйлера :

(8)

В общем случае :

(9)

Известно, что :

(10)

Тогда из (9) и (10) вытекает связь между тригонометрическими и гиперболическими косинусами и синусами:

Ряд ЛОРАНА.

Пусть функция f(z) является аналитической функцией в некотором круге радиусом R, тогда ее можно разложить в ряд Тейлора (2). Получим тот же ряд другим путем.

ТЕОРЕМА 1.

Однозначная функция f(Z) аналитическая в круге радиусом |Z-Z₀| < R раскладывается в сходящийся к ней степенной ряд по степеням Z-Z₀.

Опишем в круге радиусом R окружность r, принадлежащую кругу с радиусом R.

Возьмем в круге радиуса r точку Z, а на границе области точку , тогда f(z) будет аналитична внутри круга с радиусом r и на его границе. Выполняется условие для существования интеграла Коши :

(13)

(11)

Поскольку

, то выражение можно представить как сумму бесконечно убывающей геометрической прогрессии со знаменателем , т.е. :

(12)

Представим равномерно сходящимся рядом в круге радиуса r, умножая (12) на 1/(2i) и интегрируя по L при фиксированном Z, получим : слева интеграл (13) который равен f (Z), а справа будет сумма интегралов :

Обозначая , получим : (14)

Это разложение функции f (Z) в круге R в ряд Тейлора. Сравнивая (14) с рядом (2) находим, что (15)

ТЕОРЕМА 2.

Если однозначная функция f(Z) аналитична вне круга с радиусом r с центром в точке Z₀ для всех Z выполняется неравенство r < |Z-Z₀ |, то она представляется рядом :

(16)

где h - ориентированная против часовой стрелки окружность радиуса r (сколь угодно большое число). Если обозначить (17) , получим :

(18)

ТЕОРЕМА 3.

Если однозначная функция f(Z) аналитическая в кольце Z< |Z-Z₀ |

(19)

f₁ и f₂ можно представить в виде двух рядов :

(20)

(21)

Ряд (19) – ряд Лорана, при этом ряд (20) сходится в круге радиуса R, ряд (21) сходится вне круга радиуса R функции f₂(Z). Общая область сходимости ряда – кольцо между r и R.

f₁(Z) – правильная часть.

f₂(Z) – главная часть ряда Лорана.

Ряд Тейлора – частный случай ряда Лорана при отсутствии главной его части.

Классификация изолированных особых точек. Вычеты.

Определение 1. Особой точкой функции f(Z) определенной в области (замкнутой) G, ограниченной Жордановой кривой, называется точка Z=Z₀  G в которой аналитичность функции f1(Z) нарушается. Рабочая точка Z=Z₀ функции f(Z), ограниченной в круге |Z-Z0|0. В зависимости от поведения функции f(Z) в окрестности изолированных особых точек последние классифицируются на :

1. Устранимые особые точки. Ими называются особые точки, для которых существует , где А – конечное число.

2. Если для особой точки существует предел , то такая особая точка называется полюсом.

3. Если не существует, то точка Z=Z₀ называется существенной особой точкой.

Если С_-n=0, то особая точка есть устранимая особая точка.

Пусть f(Z₀)=C₀ и C_-n для всех n=1,2,3,..,m отличного от 0, а для всех n  m+1 C_-n=0, тогда Z=Z₀ будет являться полюсом порядка m.

При m>1 такой полюс будет называться простым.

, если m  , то в этом случае в точке Z=Z₀ имеем существенную особенность.

Определение 2. Вычетом функции f(Z) в круге |Z-Z₀| , где L – ориентированный против часовой стрелки контур целиком расположенный в круге радиуса R, содержащем Z₀. Вычет существует только для изолированных особых точек. Очевидно, что вычет функции f(z) при Z=Z₀ равен первому коэффициенту ряда главной части Лорана :

Если полюс имеет кратность m  1, то для определения вычетов используется формула :

(3)

при m=1 :

Основная теорема о вычетах.

Пусть f(z) аналитическая в области G кроме конечного числа полюсов Z = a₁, a₂, …, a_k.  –произвольный, кусочно-гладкий замкнутый контур содержащий внутри себя эти точки и целиком лежащий внутри области G. В этом случае интеграл равен сумме вычетов относительно a₁, a₂, …, a_k и т.д. умноженный на 2i :

(5)

Пример :

Найти вычет

Особые точки : Z₁=1, Z₂= - 3.

Определим порядок полюсов – все полюсы первого порядка.

Используем формулу (3) :