15 (Вычислительные методы алгебры (лекции))

§15. Метод Гаусса решения систем уравнений.

Для решения систем уравнений используют методы: точные и приближенные.

К точным относятся:

• метод Гаусса;

• метод Крамера;

• метод оптимального исключения;

• метод квадратного корня.

К приближенным методам решения систем уравнений относятся:

• метод простой итерации;

• метод Зейделя;

• метод Ньютона.

Метод Гаусса состоит в том, чтобы исходную систему вида Ах=b (1) с произвольной матрицей А свести к системе вида:

(2), где - уже треугольная матрица.

Процесс сведения системы (1) к системе (2) называется прямым ходом метода Гаусса.

А нахождение неизвестных - обратный ход метода Гаусса.

При вычислениях по методу Гаусса велика вероятность случайных ошибок. С целью избежать их вводится контрольный столбец:

, где

Элементы контрольного столбца преобразовываются по тем же формулам, что и элементы матрицы А.

Второй шаг контроля состоит в проверке равенства суммы элементов преобразованной строки и контрольного элемента. Эти величины должны совпадать с точностью до 1,2 единиц последнего разряда.

Метод Гаусса с выбором главного элемента.

Среди уравнений выбирают уравнение, содержащее наибольший по абсолютной величине коэффициент (главный элемент).

Затем уравнение делят на этот главный элемент и из остальных уравнений системы исключают неизвестные, определяемые этим главным элементом.

Далее, оставляя неизменным выбранное уравнение с главным элементом, из остальных уравнений системы выбирают новый главный элемент. Потом это уравнение с новым главным элементом делят на новый главный элемент и исключает неизвестное или определяемое из остальных уравнений системы.

Для удобства главный элемент помещают в левый верхний угол, переставляя строки и столбцы системы уравнений.

В результате преобразований приходим к единичной матрице.

Здесь переставляются уравнения, что приводит к изменению порядка исключенных неизвестных, и во многих случаях уменьшают погрешности, связанные с округлениями.