11 (Вычислительные методы алгебры (лекции))
Описание файла
Документ из архива "Вычислительные методы алгебры (лекции)", который расположен в категории "". Всё это находится в предмете "математика" из , которые можно найти в файловом архиве . Не смотря на прямую связь этого архива с , его также можно найти и в других разделах. Архив можно найти в разделе "рефераты, доклады и презентации", в предмете "математика" в общих файлах.
Онлайн просмотр документа "11"
Текст из документа "11"
§11. Решение уравнений с одним неизвестным. Дихотомия.
Пусть требуется решить уравнение (1), где – непрерывная функция.
Число называется корнем уравнения (1), если .
Если функция определена и непрерывна на и на концах отрезка принимает значения разных знаков, то на существует хотя бы один корень.
Отделить корень уравнения значит найти такой интервал, внутри которого находится один и только один корень данного уравнения.
Для отделения корней можно применить следующий признак:
Если на отрезке функция непрерывна и монотонна, и на концах отрезка принимает значения разных знаков, то на данном отрезке существует только один корень уравнения (1).
Достаточным условием монотонности функции на отрезке является сохранение знака производной.
Отделить корень можно и графически: нарисовать график и указать точки пересечения с осью Ох.
Совершенный метод отделения корней – метод Штурма.
Дихотомия (метод деления отрезка пополам).
существует хотя бы один корень на ;
Рассмотрим и . Из этих двух выберем тот, на концах которого функция принимает значения разных знаков и поделим его пополам и т.д.
Если нужно найти корень с точностью до , то мы продолжаем делить отрезок до тех пор, пока длина отрезка не станет меньше , тогда середина последнего отрезка дает значение корня с требуемой точностью.
Дихотомия проста и очень надежна: к простому корню она сходится всегда для любой непрерывной функции в том числе и недифференцируемой, при этом она устойчива к ошибкам округления. Скорость сходимости метода дихотомии не велика, т.е. за одну итерацию точность увеличивается вдвое.
Недостатки: прежде чем применить, необходимо найти отрезок, на концах которого функция принимает значения разных знаков. Если на этом отрезке несколько корней, то неизвестно к какому из них сходится дихотомия. Метод не применим к корням четной кратности.
Метод применим к корням нечетной кратности, но хуже устойчив к ошибкам округления. Метод не применим к системам уравнений.