8363-1 (Об основаниях теории множеств), страница 2

Как уже говорилось, величайшая слабость формализма состоит в необходимости объяснить успешность чисто формальных аксиом, составляющих теорию множеств. Моя точка зрения, неоднократно выражавшаяся и прежде, состоит в том, что эти аксиомы экстраполируют язык более финитистской математики. Тенденции к такому расширению очень сильны. Для пояснения позвольте мне сначала напомнить ситуацию, в которую рано или поздно попадает каждый логик. Беседуя с квалифицированным математиком, не знающим логики, обнаруживаешь трудность общения, едва лишь речь заходит о формальных системах и анализе структуры формул. Математик гораздо охотнее будет говорить о моделях какой-нибудь системы аксиом, нежели о множестве всех формул, доказуемых исходя из них. Разумеется, согласно теореме о полноте обе точки зрения эквивалентны. Однако имеется естественная тенденция заменить обсуждение методов и предложений обсуждением подходящих абстракций, рассматриваемых как «объекты» теории. Например, развитие вещественного анализа в XIX веке было отмечено изменением отношения к понятию функции. Сначала функция рассматривалась как явное правило, сопоставляющее числа числам. В конечном счёте функция стала представляться целостным объектом безотносительно к явному заданию способа её вычислять. Непрерывная нигде не дифференцируемая функция Вейерштрасса приобрела те же права на существование, что и sinx. Когда Кантор впервые обсуждал теорию множеств, возможно, значительная часть сопротивления была вызвана просто мнением, что говорить можно лишь о тех множествах, которые уже были явно определены. Всем нам известно, что точка зрения Кантора восторжествовала полностью. В конечном счёте главной причиной этого было, возможно, удобство. Гораздо проще говорить об абстрактных множествах, чем постоянно заботиться об их построении. Более свежий пример той же тенденции — теория категорий. Здесь говорят, скажем, о категории групп. Можно спросить, в чём преимущество выражения «G есть объект категории групп» перед выражением «G — группа». Простой ответ состоит в том, что перенос методов из одной категории в другую и даже доказательство общих теорем о категориях может подсказать очень полезные идеи. И всё же, если я не ошибаюсь по недостатку сведений о современных течениях, теоретико-множественные трудности работы с категориями не вдохновили многих специалистов по теории множеств и не оказали серьёзного влияния на логику в целом. Таким образом, полностью приняв весьма непредикативную теорию множеств, внутреннюю убедительность которой мы понимаем, мы как логики менее склонны принимать теорию категорий, корни которой лежат в алгебраической топологии и алгебраической геометрии. Хотя, возможно, существующих аксиом бесконечности было бы достаточно для формализации теории категорий, настойчивый специалист по ним мог бы возразить, что сами категории следует считать примитивными объектами. В определённом смысле они подобны классам в теории множеств Гёделя—Бернайса. И в этом случае классы, предназначенные всего лишь для замены бесконечной схемы аксиом Цермело—Френкеля, стали широко приняты как самостоятельные объекты. Другой пример того, как привычка притупляет критические способности, доставляет аксиома о недостижимом кардинале. Её принятие обычно оправдывают чисто отрицательными аргументами; дескать, неразумно считать, что любое множество достижимо. Здесь усматривается аналогия с переходом от конечных множеств к бесконечным. Совершив по индукции трансфинитную последовательность тех или иных операций замыкания, мы якобы всё ещё способны двинуться дальше и найти за этими пределами недостижимый кардинал. Мне кажется, однако, что это неубедительное рассуждение, поскольку оно скорее предназначено оправдать существование стандартной модели теории множеств, а эта гипотеза несравненно слабее. Честнее было бы признать, что недостижимые кардиналы можно принять, ибо, как показал опыт, это не ведёт к противоречиям, и мы развили некоторую интуицию, позволяющую надеяться, что противоречие не появится никогда.

Став на позиции формализма, я чувствую себя обязанным объяснить, почему я не призываю отменить всю инфинитистскую математику. Я хотел бы высказать следующее мнение: мы занимаемся теорией множеств по той причине, что ощущаем наличие неформального доказательства её непротиворечивости. Вот на чём основано это чувство: в каждом конкретном случае мы говорим лишь о специфических множествах, определённых свойствами и, прослеживая противоречие в обратном порядке, мы можем в конце концов свести его к теоретико-числовому. Использование непредикативных определений усложняет задачу интуиции, потому что неограниченная непредикативность определённо ведёт к хорошо известным парадоксам. Всё же обычная аксиома подстановки даёт нам возможность начать с какого-то множества упомянутую выше редукцию, ибо во вновь определяемом множестве каждый элемент должен быть занумерован подходящим элементом множества, построенного раньше. Уже высказав мнение, что техническое развитие не приводит к прояснению основ, я не намерен пытаться дать строгое доказательство непротиворечивости, основанное на каком-нибудь мощном высшем принципе, эквивалентном теории Цермело—Френкеля. Я ограничусь лишь наброском общей схемы, внутри которой развиваются эти интуитивные соображения.

Вот один из способов размышлять о доказательствах непротиворечивости. Начнём с конечного числа аксиом, скажем, S₁. Для каждого множества, существование которого постулируется, выберем по символу и подставим его в соответствующее утверждение. Получится новая система утверждений S₂. Чтобы перейти к S_k, мы выбираем новые символы для всех множеств, существование которых утверждалось ранее; кроме того, для каждого утверждения вида x A(x) и каждого уже введённого символа c мы добавляем A(c). Предположим, что на некотором шаге появится противоречие между суждениями без кванторов. Для удобства мы можем на некоторых стадиях расщепить вывод на две ветви, добавляя в одной из них A, а в другой ~A. Предположим, что к противоречию приводит и то и другое. Положение дел ещё можно упростить, не добавляя всех суждений, а лишь необходимые. Наша цель — набросать способ уменьшения сложности противоречия. Начнём с символов  и ω. Допустим, что на некотором шаге мы встретились с множеством x₁, которое определяется частным случаем аксиомы подстановки, отвечающим некоторому свойству. Если другое множество x₂ в конца концов появляется в формуле x₂  x₁, мы можем попытаться исключить x₁, заменив его соответствующим свойством x₂, и расщепить вывод на две ветви, предположив, что x₂ им обладает или нет. Если само множество x₁ появляется позже, мы попытаемся заменить его конечным множеством тех его элементов, которые появляются в ходе вывода. Разумеется, чтобы уточнить всё это, необходим анализ непредикативных определений и упорядочение степеней непредикативности. Зная, что теорема о неполноте делает эту задачу по существу безнадёжной, мы не станем ею заниматься. Ключевой пункт состоит в том, что всякий элемент нового множества должен быть связан с некоторым элементом множества, построенного раньше, так что редукцию можно продолжать. В парадоксе Рассела этому мешает круг. Общеизвестно, что Гентцен провёл такое доказательство для теории чисел в пределах ординала ε₀. В случае Цермело—Френкеля неясно, можно ли определить аналогичный ординал. Если ответ положителен, было бы интересно изучить его связь с другими известными инвариантами, например, счётным ординалом минимальной модели. Это такой наименьший ординал α, что M_α, множество Гёделя на α-м шаге, является моделью для аксиом Цермело—Френкеля. Ординал из теории вывода должен быть меньше, ибо он «строит» наименьшую нестандартную модель аксиом.

Даже в самом оптимальном случае схема, которую я набросал, позволила бы справиться лишь с проблемами, связанными с аксиомой подстановки. Наша интуиция о недостижимых или измеримых кардиналах ещё недостаточно развита или по крайней мере не поддаётся передаче в общении. Мне кажется, тем не менее, что полезно развивать наше таинственное чувство, позволяющее судить о приемлемости тех или иных аксиом. Здесь, разумеется, мы должны полностью отказаться от научно обоснованных программ и вернуться к почти инстинктивному уровню, сродни тому, на котором человек впервые начинал думать о математике. Лично я, например, не в состоянии отказаться от этих проблем теории множеств просто потому, что они отражаются в теории чисел. Я сознаю, что моя позиция в прагматическом плане мало чем отличается от позиции реализма. Всё же я чувствую себя обязанным сопротивляться великому эстетическому соблазну без околичностей принять множества как существующую реальность.

Читатель безусловно ощутит горечь пессимизма в моих заметках. Математика подобна прометееву труду, который полон жизни, силы и привлекательности, но содержит в самом себе зерно разрушающего сомнения. К счастью, мы редко останавливаемся, чтобы обозреть положение дел и подумать об этих глубочайших вопросах. Всю остальную жизнь в математике мы наблюдаем блестящую процессию и, возможно, сами участвуем в ней. Великие задачи теории множеств, казавшиеся неодолимыми, падают. Изучаются новые аксиомы, всё большие и большие кардиналы становятся доступнее интуиции. Маяк теории чисел сияет над этой зыбью. Когда сомнения начинают одолевать нас (что, я надеюсь, происходит нечасто), мы отступаем под безопасные своды теории чисел, откуда, собравшись с духом, снова бросаемся в неверные воды теории множеств. Такова наша судьба — жить, сомневаясь; преследовать цель, в абсолютности которой мы не уверены; короче, понимать, что наша единственная «истинная» наука имеет всё ту же смертную, возможно, опытную природу, что и все прочие человеческие предприятия.

Список литературы

Для подготовки данной работы были использованы материалы с сайта http://ega-math.narod.ru/