8363-1 (Об основаниях теории множеств)

Об основаниях теории множеств

П. Дж. Коэн

Высказываться о философских проблемах теории множеств, — разумеется, не совсем то, что высказываться о самой теории множеств. Я, по крайней мере, в этом положении чувствую себя непривычно и неловко. Я остро ощущаю тщетность попыток сформулировать позицию, приемлемую для всех или хотя бы для многих, и одновременно сознаю непоследовательность и трудности моей собственной точки зрения. Конечно же, те, кто до меня совершали этот рискованный переход от математики к философии, обычно шли на это на более позднем этапе своей научной карьеры. Наконец, к довершению трудностей, почти немыслимо добавить что-нибудь новое к этому старому спору. В самом деле, я склонен думать, что на такие фундаментальные вопросы любые технические достижения почти не проливают света — хотя, конечно, они могут повлиять на распространение той или иной точки зрения.

Но вот, невзирая на все эти оговорки, я чувствую некоторое воодушевление от возможности высказать свои мысли, надеюсь, не слишком догматично, и указать на обстоятельства, на которые, пожалуй, следует указать. Фундаментальные открытия в логике были сделаны так недавно, что мы ещё в состоянии разделять глубокое волнение от этих поисков вслепую. Всплеск исследовательской активности в теории множеств, о котором свидетельствует нынешняя встреча, возможно, усиливает наш энтузиазм. Тон сегодняшних философских дискуссий, однако, как будто изменился. Возможно, математики полностью выложились в неистовых спорах прошлого, или их аудитория утомилась от полемики, — как бы то ни было, сейчас принято формулировать свою точку зрения, но не пытаться тут же обращать слушателя в собственную веру. В этом духе собираюсь выступить и я, чистосердечно уверив слушателей в своей терпимости к чужим взглядам.

Хотя я не представляю себе, что можно было бы назвать «истинным» прогрессом в основаниях математики, очень интересно проследить с точки зрения историка, как высказывались на эту тему разные поколения, и попытаться угадать, как окрашивал их мнения дух времени. Сам я предпочитаю рассматривать математическую деятельность как сугубо человеческое предприятие, а отнюдь не как безличное наступление науки, свободной от всех человеческих слабостей. Так, позиция по вопросам оснований, которую занимает тот или иной математик, в большой мере определяется его воспитанием и окружением. Мне кажется, что желание принять принципы, ведущие к интересной и красивой математике, в прошлом безусловно преодолело разнообразную и серьёзную критику. В этом докладе я хотел бы указать на аналогичные тенденции, которые существуют сегодня.

Прежде в центре споров находились многие вопросы, о которых я без особых на то причин высказываться не стану, например, закон исключённого третьего. Хотя он и связан с проблемами теории множеств, скажем, через использование непредикативных определений, сам по себе он не относится к теории множеств и здесь обсуждаться не будет. Я не намерен заниматься также всеми остальными проблемами законности применения исчисления предикатов, вопросами о природе формализации математики и чисто философскими вопросами, мало связанными со спецификой математического знания. Для меня важнейшей проблемой представляется существование бесконечных совокупностей. Отношение к бесконечным множествам по традиции было критерием размежевания математиков. Знаменитые логические антиномии никогда не играли заметной роли в математике просто потому, что они не имели ничего общего с обычно используемыми рассуждениями. Никогда не рассматривались все мыслимые объекты универсума, длины описаний и т.п. Все эти трудности принадлежат, собственно, истории развития понятия формальной системы. Подобно этому, парадоксы Зенона вовсе не производят на нас впечатления демонстрации серьёзных трудностей, ради чего они и были придуманы. В общем, я склонен считать, что многие из этих проблем исторически связаны с переходным периодом от классической философии к нынешней математике.

Нет сомнения, что в ряде случаев бесконечными множествами можно пользоваться без особых опасений. Очевидно, всё равно, сказать ли, что некоторым свойством обладают все целые числа или все элементы множества целых чисел. Точно также, сказать, что n принадлежит множеству четных чисел, всё равно, что сказать «n чётное». Иными словами, можно заменить использование некоторых множеств названием соответствующих свойств. Если бы это удавалось сделать всегда, у нас осталось бы мало оснований для беспокойства. В теории чисел, желая избежать апелляции к понятию произвольного множества целых чисел, мы должны формулировать принцип индукции отдельно для каждого свойства, которое можно выразить. Однако чрезвычайная сложность теории множеств, особенно её непредикативный характер, мешают просто представлять себе множества как стенограмму свойств. Всё же самые мощные и характерные аксиомы теории множеств — аксиомы степени и подстановки — описывают множества свойствами, а гёделевская теория конструктивных множеств показывает, что некоторую модель теории множеств можно получить, рассматривая вообще только множества, в некотором смысле отвечающие свойствам. То обстоятельство, что аксиома подстановки есть на самом деле бесконечная схема аксиом, в определённых отношениях является недостатком. Действительно, создаётся впечатление, что мы позволяем рассматривать лишь некоторые свойства, вместо того чтобы указать фундаментальное описание способов построения множеств. Конечно, всё это связано с теоремой Гёделя о неполноте, согласно которой никакая конечно аксиоматизируемая система не может быть полной. Эта теорема является величайшим препятствием для любой попытки полностью понять природу бесконечных множеств. Одновременно, показывая, что высшие бесконечности отражаются в теории чисел, ибо позволяют нам доказывать недоказуемые без них утверждения, теорема Гёделя чрезвычайно затрудняет отстаивание той точки зрения, что высшие бесконечности можно попросту отвергнуть. Наша привычка к теореме о неполноте не должна мешать нам постоянно видеть эту фундаментальную недостаточность всех формальных систем, которая имеет гораздо более далеко идущие последствия, чем независимость частных утверждений вроде гипотезы континуума. Именно это лежит в основе моего пессимистического мнения о том, что любое техническое достижение и в будущем не прольёт света на основные философские проблемы.

Рядовому математику, желающему лишь увериться в том, что его дело стоит не на песке, самым привлекательным способом избежать трудностей может показаться программа Гильберта. С этой точки зрения математика есть формальная игра, в которой следует заботиться лишь о непротиворечивости. С течением времени, когда операционный подход распространился на другие области, скажем, физику, привлекательность этой позиции, возможно, увеличилась. Можно работать лишь с непосредственно данными объектами, а в математике к таким относятся скорее формальные языки, чем бесконечные множества. Действительно, гильбертовская программа формализации по-прежнему остаётся единственной вполне точной (мы не говорим правильной) точкой зрения в этих вопросах. Вот убедительный пример того, как само по себе течение времени мало повлияло на появление новых и оригинальных концепций в основаниях. Но, разумеется, формализму присущи свои трудности, и прежде чем вернуться к нему, мы рассмотрим его главную альтернативу, точку зрения, которую можно назвать платонизмом, а мы предпочтём называть реализмом.

Сторонник реалистической философии полностью принимает ценности традиционной математики. Все вопросы типа гипотезы континуума допускают положительный или отрицательный ответ в реальном мире безотносительно к их независимости от той или иной системы аксиом. Вероятно, большинство математиков предпочли бы эту точку зрения. В ней начинают сомневаться лишь после осознания некоторых трудностей теории множеств. Если эти трудности особенно смущают математика, он спешит под прикрытие формализма, предпочитая, однако, в спокойное время обретаться где-то между двух миров, наслаждаясь лучшим, что есть в обоих. Главное преимущество реализма состоит в том, что он избавляет от необходимости обосновывать аксиомы теории множеств. Нет нужды устанавливать их непротиворечивость и, что кажется мне столь же важным, нет нужды объяснять, почему именно эти аксиомы оказались настолько успешными и достойными специального внимания. Соответственно самая большая слабость формализма состоит в невозможности объяснить, почему аксиомы теории множеств, предположительно не отражающие никакой реальности, способны доказывать арифметические утверждения, не доказуемые с помощью более финитистских средств. Слабость, которую, как я полагаю, вынужден будет признать любой реалист, состоит в неспособности объяснить нескончаемую последовательность новых аксиом, вроде высших аксиом бесконечности. Несомненно, самый закоренелый реалист содрогнётся, рассматривая кардиналы достаточно недостижимого типа. А есть ещё аксиомы, как аксиома об измеримом кардинале, которые сильнее всех предложенных аксиом бесконечности и относительно которых, по-видимому, нет ни малейших интуитивно убедительных свидетельств в пользу принятия или отвержения. Недавние результаты о независимости также бросают вызов реалистической позиции. Хотя некоторые чувствуют, что какая-то интуитивно приемлемая аксиома сможет в конце концов разрешить проблему континуума и подобные ей вопросы, нет ни малейшей надежды на такой исход для аксиомы об измеримом кардинале, которую ревностные теоретико-множественники, вероятно, вынуждены будут признать в качестве аксиомы, ни к чему не сводимой. Однако даже в этом отношении позиция реалистов завиднее, чем формалистов, потому что для последних существуют даже неразрешимые теоретико-числовые предложения, скажем, Consis (ZF). Оптимистическая точка зрения реалиста может состоять в том, что утверждение Consis (ZF + измеримый кардинал) как-нибудь сведётся к вопросу о непротиворечивости достаточно сильных предложений того же типа, что аксиомы бесконечности. Самая оптимистическая точка зрения заключается в надежде, что любой вопрос теории чисел решается с помощью подходящей аксиомы бесконечности.

Исторически математика как будто не склонна терпеть неразрешимые предложения. Такое предложение может быть возведено в ранг аксиомы и стать широко принятым после многократного употребления. Такова в общих чертах судьба аксиомы выбора. Я склонен оценить эту тенденцию просто как форму оппортунизма. Разумеется, это безличный и весьма конструктивный оппортунизм. Тем не менее, вера в ценность и важность математики не должна полностью изглаживать из нашего сознания честную оценку беспокоящих проблем. В случае с гипотезой континуума (КГ) эта тенденция может, хотя и с малым вероятием, привести теорию множеств к расщеплению на несколько ветвей в зависимости от принятой мощности континуума. Несколько цинично можно сказать, что оппортунизм решает философские проблемы так, чтобы развитие математики давало заработок возможно большему числу математиков. В последнее время много занимались вопросами независимости в теории множеств. Удивительный эффект состоит в том, что большая лёгкость в обращении с этими вопросами привела к бóльшей вере в «реальность» математических объектов теории множеств. Было бы поистине печально, если бы эта волна успеха закончилась полным пренебрежением к философским проблемам гипотезы континуума и смежных вопросов как непоследовательным. Разумеется, хорошая математика красива, тогда как философские дискуссии по большей части бесплодны и уж, конечно, не красивы.

С реалистической позиции можно гадать о судьбе КГ. Казалось бы, только аксиомы типа аксиомы конструктивности, ограничивающие природу рассматриваемых множеств, могут разрешить её. С другой стороны, мало надежды, что такая аксиома будет принята в качестве интуитивно очевидной. Более правдоподобно, что в качестве аксиомы будет принято её отрицание. Оправдание этого может состоять в том, что континуум, данный как множество всех подмножеств, не может быть достигнут любыми средствами, строящими кардиналы, исходя из меньших, на основе аксиомы подстановки. Таким образом, континуум следует считать большим, чем ₁; _n, _ω и т.д. Разумеется, всё это — чистая спекуляция. Технические последствия принятия различных аксиом, связанных с КГ, уже в какой-то мере привлекли внимание. Хотя эта работа может представлять большую эстетическую ценность, в высшей степени неправдоподобно, что она способна привести к прояснению фундаментальных философских проблем.

К этому моменту должно быть ясно, что я выбираю формализм. Едва ли можно назвать этот выбор мужественным, — вероятно, большинство известных математиков, высказывавшихся на этот счёт, в той или иной форме отвергали позиции реализма. Сформулировать свою точку зрения совершенно явно меня побудила речь Абрахама Робинсона в Иерусалиме в 1964г. Она вынуждает принять на себя тяжёлую ношу. Едва ли не тяжелей остального необходимость допустить, что КГ, — возможно, первый приходящий в голову важный вопрос о бесконечных множествах — не имеет внутреннего смысла. Жизнь была бы гораздо приятнее, не будь гильбертовская программа потрясена открытиями Гёделя. Я твёрдо верю, что программа Гильберта ни в каком смысле не может быть восстановлена. Доказательства непротиворечивости всегда вызывают острую неудовлетворённость и явно сохраняют черты порочного круга.