7469-1 (Конструирование задач)

Конструирование задач

Работу выполнила Литвиненко Анастасия, ученица 10 “Б” класса МГ № 48

Норильск, 2000 г.

Введение

Человечество уже много сотен лет решает задачи различного плана. Задачи ставила перед человеком природа, защита собственной жизни, постройка жилища. В зависимости от решения жизнь была то легче, то труднее. Много лет решению уделялось все внимание, но однажды возник вопрос: как же составить задачу. С тех пор, наверное, прошел большой период времени, и математика продвинулась далеко вперед, став "царицей всех наук", а вопрос остался и сейчас, как кто-то тысячелетия назад, я спрашиваю: как составить задачу?

Эта тема уже довольно давно заинтересовала меня, я пыталась найти ответ на свой вопрос в разных источниках, но в большинстве из них были представлены лишь исходная задача, задача, полученная на ее основе, определение способа составления и ничего больше. Тогда, изучив различные материалы, я решила ответить на этот вопрос сама. В представленной работе и содержится ответ.

Так как задачи бывают разные: учебные, конкурсные, олимпиадные, задачи ловушки и т.д., конструировать их можно тоже по-разному: можно создавать условия задачи на основе собственных наблюдений, а можно - выбирая опорой какие-то данные. Именно этот вид конструирования и рассматривается в данной работе.

Решение задачи часто требует нестандартного аналитического мышления, а значит и ее составление требует того же. Существует несколько способов конструирования, их пять: Обобщение, Конструкция, Частный случай, Перефразировка, Варьирование условий.

К каждому из них был составлен алгоритм конструирования, который упрощает составление задачи.

Данная работа состоит из Введения, пяти глав и Заключения. Каждая часть представляет один из способов конструирования задач, некоторые из них содержат задачи, составленные по данному алгоритму.

1. Перефразировка.

Этот прием делится на несколько видов, первый из которых так и называется: перефразировка.

Перефразировка. Этот способ конструирования можно использовать для самоконтроля. Если человек легко может перефразировать задачу, значит, он знает, что дано, и что нужно получить, видит соотношения между ними. Если он овладел и способом решения, то в дальнейшем без особых усилий сможет решить любую подобную задачу.

Алгоритм конструирования:

1.1.1. Выделение опорных утверждений.

Задачи бывают разные: на нахождение и на доказательство; в задачах на доказательство основными понятиями являются условие и заключение; в задачах на нахождение - данные и искомые величины. В задачах на нахождение часто особо выделяют задачи на построение какой-либо геометрической фигуры. Задачи на нахождение и задачи на доказательство тесно связаны. Чаще всего, узнав доказательство той или иной теоремы, учащиеся решают задачи на нахождение, в которых теорема находит свое непосредственное применение.

1.1.2. Решение задачи.

Это необходимо для того, что бы в дальнейшем проверить, не повлияла ли перефразировка на ход решения и результат задачи.

1.1.3. Выбор утверждений для перефразировки и их изменение.

Чаще всего это замена какого-либо термина или определения, что помогает "завуалировать" утверждение или действие.

1.1.4. Перефразировка.

1.1.5. Решение полученной задачи.

Пример 1:

Задача: "Если треугольник вписан в окружность, то любая его сторона будет равна произведению двух радиусов этой окружности на синус угла, противоположного этой стороне". ("Геометрия 7-11" А.В. Погорелов)

1.1.1. Основные понятия: треугольник, вписанный в окружность, а=2Rsin.

1.1.2. Дано: АСВК; окр.О; ВК - диаметр; АВС.

Доказать: проекция АС равна АВ.

Доказательство:

Т.к. треугольник вписан в окружность, то из вершины В можно провести диаметр ВК. Соединив точку К с вершиной А, получим ВАК=СВА, т.к. они имеют общую хорду АВ. Пусть ВС=а, АКВ=, тогда, т.к. ВК -диаметр, АВК - прямоугольный, то (по теореме синусов) а=2Rsin.Ч.т. д.

1.1.3. Фразу "сторона равна произведению двух радиусов на синус противолежащего угла" можно заменить на "проекция диаметра, перпендикулярного одной стороне на другую сторону, равна третьей стороне", т.к. смысл не изменится.

1.1.4. Полученная в итоге задача выглядит так: "Докажите, что для вписанного в окружность треугольника проекция диаметра, перпендикулярного одной стороне, на другую сторону, равна третьей стороне", (ж. “Квант”)В этой задаче специально используются "лишние" данные, чтобы задача была более красивой и ...запутанной.

1.1.5. Решение этой задачи точно такое же, как и у исходной задачи, поэтому оно не приводится.

1.2. Замена фигуры. Алгоритм конструирования:

1.2.1. Выделение основной фигуры задачи.

1.2.2. Решение задачи.

1.2.3. Замена фигуры и уточнение полученной задачи.

Пример 2:

Задача: " На плоскости отмечено пять точек, никакие три из которых не лежат на одной прямой. Постройте пятиугольник, в котором данные точки являются серединами сторон". ( "Как задать вопрос?" Н.П. Тучнин).

1.2.1. Основная фигура задачи - пятиугольник.

1.2.2. Дано: т.В1, В2, В3, В4, В5.

Найти: т. А1, А2, А3, А4, А5.

Решение:

Для наглядности начертим на плоскости пятиугольник и отметим середины сторон, как если бы задача была решена. Проведем в пятиугольнике диагональ и получим две фигуры: четырехугольник и треугольник, середины сторон четырех-

угольника являются вершинами параллелограмма. Соединив точки В2, В3, В4, получим треугольник и достроим его до параллелограмма и найдем середину диагонали, которая параллельна прямой В1 В5 (по теореме о средних линиях треугольника). Таким образом, можно легко построить точки А1, А2 и А5, а зная их и А3, А4, при помощи параллелограмма.

1.2.3. Пусть будет не пятиугольник, семиугольник. Для этого нужно взять не пять, а семь точек, любые три из которых не лежат на одной прямой. В результате получается довольно трудная задача: " На плоскости отмечены семь точек, никакие три из которых не лежат на одной прямой. Постройте семиугольник, для которого эти точки являются серединами сторон". ( Составлена самостоятельно).

1.3. Перевод задачи с геометрического языка на алгебраический.

В результате таких преобразований обычно получаются красивые и интересные задачи, которые имеют сложное решение. Этот способ перефразировки иллюстрирует тесное взаимодействие алгебры и геометрии. Конечно, перевод возможен не только с геометричес- кого языка на алгебраический, но и наоборот, хотя решение алгебраических задач на гео- метрическом языке встречается гораздо реже, ввиду сложности и характерности решения, присущего таким задачам.

Алгоритм конструирования:

1.3.1. Выбор условий, которые можно заменить алгебраическими выражениями.

1.3.2. Решение задачи.

1.3.3. Изменение условий.

1.3.4. Редактирование формулировки.

1.3.5. Решение полученной задачи.

Пример 3:

Задача: "Если треугольник вписан в окружность, то любая его сторона будет равна произведению двух радиусов этой окружности на синус угла, противоположного этой стороне". ("Геометрия 7-11" А.В. Погорелов)

1.3.1. В данном случае перефразировки обычно берутся не отдельные фразы или термины, а части фигур (стороны, углы, диагонали и т.д.).

Условия для перевода: сторона СВ треугольника АВС, сторона АК треугольника АВК, ВАС, АВК, радиус и диаметр.

1.3.2. Решение этой задачи приведено в пункте 1.1.2.

1.3.3. Пусть СВ=а, АК=в, ВАС=, АВК=, ВК=х, ОН (радиус)=у.

1.3.4. Конечная формулировка выглядит так: “Найти отношение а к в системе:

а= sinх

в= sinу, на основании теоремы синусов”. (Составлена самостоятельно).

1.3.5. Решение: по теореме синусов, а=2 Rsin , тогда выражения а= sinх, в= sinу будут частными случаями теоремы, в этом случае sin =2, sin=1/2, а х и у - диаметр и радиус соответственно, х=2у,в=у, а=в, а/в=1/3.

Ответ: ав=1.

1.4. Переход от прямого утверждения к обратному.

Некоторые задачи и теоремы имеют одну интересную особенность: они верны, если их решать от начала до конца, и если логическая цепочка выводов движется в обратном направлении, т.е. данные и искомые величины могут меняться местами.

Алгоритм составления:

1.4.1. Выявление данных и искомых величин.

1.4.2. Решение задачи или доказательство теоремы.

1.4.3. Переход данных величин в искомые и наоборот.

1.4.4. Повторное решение в обратном направлении.

1.4.5. Точная формулировка задачи.

Хочется отметить, что далеко не каждая задача имеет обратный перевод.

Пример 4:

Задача: "Если диагонали четырехугольника пересекаются и точкой пересечения делятся пополам, то этот четырехугольник - параллелограмм" ("Геометрия 7-11" А.В. Погорелов)

1.4.1. Данное: диагонали четырехугольника пересекаются и точкой пересечения делятся пополам, искомое: параллелограмм.

1.4.2. Дано: АСВК, ВО=ОК, АО=ОС.

Доказать: АВСК - параллелограмм.

Доказательство:

В О=ОК (по условию), АО=ОС (по условию), ВОС=АОК (вертикальные), то ВОС= АОК, АК= ВС, ОАК=ВСО, а т.к. это внутренние накрест лежащие, то АКВС, аналогично АВ=СК и АВСК, АВСК - параллелограмм.

1.4.3. Данные: параллелограмм; искомые: диагонали пересекаются и точкой пересечения делятся пополам.

1 .4.4. Повторное решение: АКВС,КАО=ВСО, АКО=СВО и АК=ВС, АОК= СОВ и АО=ОС, а ВО=ОК.

1.4.5. Формулировка задачи: "Диагонали параллелограмма пересекаются и точкой пересечения делятся пополам". (Составлена самостоятельно).

2. Конструкция.

В задачах этого типа выстраивается сооружение, в качестве деталей которого берутся задачи или теоремы, но данный способ конструирования имеет и обратный переход: чаще всего сложную задачу можно разложить на более простые составляющие, что применяется для решения сложных задач и называется "Частный случай", который рассматривается в следующем пункте.

Преобразование задач одного типа в задачи другого типа – одно из простейших творческих упражнений и часто рекомендуется для самостоятельной работы.

Некоторые задачи конструируются авторами под понравившуюся идею решения. Так же можно сконструировать задачу "под ответ".

Алгоритм конструирования:

2.1. Выбор задачи, утверждений решений или результатов для создания конструкции.

2.2. Решение задач или доказательство утверждений (если задача конструируется под ответ или способ решения этот пункт можно исключить).

2.3. Выбор "деталей" для будущей конструкции (данный пункт также необходим лишь в том случае, когда используются задачи или теоремы).

2.4. Соединение или корректировка выбранных данных.

2.5. Уточнение формулировки.

2.6. Решение получившейся задачи.

Пример 5:

В качестве иллюстрации этого способа конструирования выбрана довольно редко встречающаяся задача-ловушка, которая будет сконструирована под специально подобранные данные.

2.1. В данном случае основой задачи выступает выпуклый четырехугольник с заданными сторонами, две из которых равны одному числу, а две оставшиеся - другому.

2.4. Пусть этот четырехугольник будет иметь длины сторон 6 и 10, и лежать в основании четырехугольной пирамиды, высота которой равна 7, а грани наклонены к плоскости под углом 60.

2.5. Уточнение формулировки: "В основании четырехугольной пирамиды лежит выпуклый четырехугольник, две стороны которого равны 6 , а две оставшиеся - 10, высота пирамиды равна 7, боковые грани наклонены к плоскости под углом 60. Найдите объем пирамиды", (ж. “Квант”).

2.6. Дано: АВ=ВС=6, АК=КС=10, h=7, угол к плоскости 60, ОАВСК - пирамида, АВСК - четырехугольник.

Найти: VАВСКО.

Решение: