Лекции Паро- и газотурбинные установки эксперимент (лекции, билеты), страница 4

- вычисляют параметры формул, которые наилучшим образом соответствовали бы принятой формуле. Подбор эмпирических формул необходимо начинать с самых простых выражений. Так, например, результаты измерений многих явлений и процессов аппроксимируются простейшими эмпирическими уравнениями типа

y = a + bx ( 40)

где а и b - постоянные коэффициенты.

Поэтому, при анализе графиков необходимо по возможности стремиться к использованию линейной функции. Для этого используют метод выравнивания (сглаживания), заключающийся в том, что кривую, построенную по результатам измерений, представляют линейной функцией. Для преобразования некоторой зависимости (кривой) y = f ( x ) в прямую линию, введем новые переменные

,

В некотором уравнении они должны быть связаны линейной зависимостью

Y = a + bX ( 41)

Значения X и Y вычисляются на основе решения уравнений (40). После этого строится прямая, по которой вычисляется a (точка пересечения прямой с осью ординат) и b (тангенс угла, образованного прямой и осью абсцисс), этот угол называется углом наклона, а тангенс этого угла есть, как известно из математики, геометрический смысл производной).

При графическом определении a и b обязательно, чтобы прямая строилась на координатной сетке, у которой началом является точка у = 0 и х = 0. Для расчета необходимо точки Y_i и X_i принимать на крайних участках прямой. Для определения постоянных уравнения прямой в уравнение (Y = а + bX) подставляют координаты двух крайних точек, взятых с графика. Из полученной системы уравнений вычисляют a и b.

Пример: Подобрать эмпирическую формулу для следующих измерений

Графический анализ этих измерений показывает, что точки ложатся на прямую линию и их можно выразить зависимостью ( 11 ). Берем координаты крайних точек и подставляем в ( 14 ). Тогда a + b 7 = 54

а + b = 12.1

и b = 6, 98 a = 5, 12.

Эмпирическая формула принимает вид y = 5, 12 + 6,98 x.

Графический метод выравнивания можно применять, если экспериментальная кривая превращается в прямую линию на логарифмической сетке.

Рассмотрим пример подбора эмпирической формулы для следующей серии измерений:

На основе этих данных можно построить график, соответствующий

кривым: y = ae^bx

После логарифмирования этого выражения получим . Обозначим .

Тогда , т. е. в полулогарифмических координатах выражение для Y представляет собой прямую линию. Подстановка в уравнение координат крайних точек дает:

Из решения получим а = 1, 85 b = 0, 58. Окончательно эмпирическая формула приобретает вид:

При подборе эмпирических формул широко используются полиномы вида:

( 42)

где A₀, А₁,…А_n – постоянные коэффициенты.

Полиномами можно аппроксимировать любые результаты измерений, если они графически выражаются непрерывными функциями. Особенно ценным является то, что даже при неизвестном точном выражении функции можно определить значения коэффициентов А. Порядок расчета коэффициентов полинома сводится к следующему.

Определяется число членов ряда (обычно не более 3………4). В принятое выражение последовательно подставляют координаты х и у нескольких (m) экспериментальных точек и получают систему из m уравнений. Каждое уравнение приравнивают соответствующему отклонению:

……………………………… (43)

Число уравнений должно быть не меньше числа коэффициентов А , что позволяет их определить из решения системы 43. Для определения коэффициентов А можно применять метод наименьших квадратов.

Сущность метода наименьших квадратов заключается в том, что если все измерения функций y₁, y₂,…y_n произведены с одинаковой точностью, и распределения величины ошибок измерения соответствуют нормальному закону, то параметры искомого уравнения определяют из условия, при котором сумма квадратов отклонений измеренных значений от расчетных по формуле принимает наименьшее значение; т.е.: . Тогда и кривая расположится наиболее близко ко всем экспериментальным точкам. Пусть х _i - точки на абсциссе графика, соответствующие величинам параметра – независимого переменного, у _i - ординаты этих точек ( х _i и у _i - результат n измерений ); искомая связь у = f ( x ) описывается уравнением прямой:

y = a x + b

Расстояние по ординате от точек у _i до прямой а х _i + b будет равно а х _i + b - y _i, то есть отклонениям Δ_i. Для оптимальной прямой должно быть соблюдено условие:

Для нахождения оптимальных величин коэффициентов а и b в теории дифференциальных исчислений получены следующие выражения:

(44)

Если искомая функция ожидается нелинейной, то необходимо выразить ее через линейные зависимости способом, изложенным выше.

Вместе с тем, метод наименьших квадратов не позволяет установить вид функции, наилучшим образом аппроксимирующей экспериментальные данные. В связи с этим, часто возникает необходимость проверки возможности использования нескольких видов исходных формул с помощью вычислений на ЭВМ.

2.3 Регрессионный анализ.

Регрессионный анализ – это исследование закономерностей связи между процессами, которые зависят от многих факторов (иногда неизвестных). То есть две величины х и у не связаны между собой конкретной функциональной зависимостью, но имеют вероятностную связь, или одному значению х соответствует несколько значений у . В таких случаях связь называют регрессионной. Таким образом, функция у = f (x) является регрессионной (корреляционной), если каждому значению аргумента соответствует статистический ряд распределения у. Следовательно, регрессионные зависимости характеризуются вероятностными (стохастическими) связями. Поэтому, установление регрессионных зависимостей между величинами у и х возможно лишь тогда, когда выполнены статистические измерения.

Статистические зависимости описываются математическими моделями процесса, то есть регрессионными выражениями, связывающими независимые значения х с зависимой переменной у. Модель подбирается по возможности простой и адекватной.

Регрессионный анализ сводится к установлению уравнения регрессии, т. е. вида кривой между случайными величинами (аргументами х и функциями у), оценке тесноты связей между ними, достоверности результатов измерений.

Чтобы предварительно определить наличие подобной связи между х и у, наносят точки на графике и по ним строят корреляционное поле.

По тесноте группирования точек вокруг прямой или кривой линии, по наклону прямой можно визуально судить о наличии корреляционной связи.

Корреляционное поле характеризует вид связи между х и у. По форме поля можно ориентировочно судить о форме графика - прямолинейная или криволинейная зависимость.

Вследствие статистического характера связи исследуемого процесса одно значение х может иметь несколько значений у. Если на поле корреляций провести линию, которая аппроксимирует средние значения у, то получится регрессионная зависимость.

Различают однофакторные и многофакторные регрессионные зависимости.

Однофакторная регрессия может быть аппроксимирована прямой линией, параболой, гиперболой, логарифмической, показательной, степенной функцией, полиномом и т. п.

Двухфакторное поле можно аппроксимировать плоскостью, параболоидом второго порядка, гиперболоидом…

При построении регрессионной зависимости оптимальной является такая функция, в которой выполняется условие наименьших квадратов , где у₁ - фактические ординаты поля, у_ср – среднее значение ординаты с абсциссой х. Поле корреляции аппроксимируется уравнением прямой у = а + bx. Коэффициенты а и b вычисляют по выражениям:

(45)

Критерием близости корреляционной зависимости между х и у к линейной функциональной зависимости у = а + bx является коэффициент корреляции r, показывающий степень тесноты связи х и у и определяемый отношением:

(46)

где n - число измерений. Значение r всегда меньше единицы. При r = 1 , х и у связаны линейной зависимостью: каждому значению х соответствует только одно значение у. Если r < 1 , линейной связи не существует. При r = 0 линейная корреляционная связь между х и у отсутствует, но может существовать нелинейная регрессия. Обычно считают тесноту связи удовлетворительной при r 0, 5 ; хорошей при r = 0, 8…….0, 85.

1. Оформление результатов экспериментов.

Результаты экспериментов оформляются в виде протоколов, актов, отчетов.

Протокол испытаний (акт) - это документ, в котором зафиксированы (представлены) первичные материалы измерений, которые осуществлялись в соответствии с принятой программой работ. Протокол составляется на каждый опыт (эксперимент), на группу опытов или на все испытания. Протокол является основным источником информации для последующих действий с результатами.

Отчет по результатам испытаний составляется на основании протоколов (актов) и, как правило, включает в себя следующие разделы:

• Название работы. Название работы должно быть кратким, определенным, отвечающим содержанию работы. Название работы выносится на титульную страницу, где также указывается организация, где выполнена работа, Ф. И. О. Руководителя, номер (индекс) и шифр темы, Ф. И. О. Ответственного исполнителя (исполнителей), год оформления работы.

• Список исполнителей работы и лиц, участвовавших в составлении отчета. Приводятся сведения от всех участниках работы с кратким указанием степени участия.

• Оглавление (содержание). В краткой форме показывается содержание работы путем обозначения основных глав, разделов, параграфов и других подразделений отсчета.

• Введение. В данном разделе дается постановка основной проблемы эксперимента, ее значение, актуальность, цели и задачи испытаний, излагаются предпосылки работы, перечисляются организации и лица, оказывавшие содействие при выполнении работы. Во введении обычно не затрагиваются факты и выводы, излагаемые в последующих разделах отсчета. Во введении может быть дан краткий обзор литературных источников по данной проблеме.

• Основное содержание. В этот раздел включаются описания методов и средств эксперимента, экспериментальные данные, приводится анализ результатов, обобщение и выводы – ответы на поставленные задачи. При составлении этого раздела необходимо представить четко вопросы по предлагаемому материалу, которые могут прежде всего заинтересовать заказчика данной работы, и в соответствии с этим дать по ним возможно исчерпывающий ответ. Особое внимание необходимо обращать на точность изложения, не допускать возможности двусмысленного толкования. Вновь введенные понятия, определения, термины необходимо доступно разъяснить. Общеизвестные термины и понятия раскрывать необязательно, так как отчет предназначен для специалистов данной отрасли. Каждая таблица, включенная в текст, должна иметь наименование (заголовок) и номер, либо для всей работы, либо для данной главы. Таблица должна содержать ответы как минимум на четыре вопроса: что, когда, где, откуда. Если в таблице имеются пропуски, то нужно пояснить, что они значат. Текст к таблицам необходимо делать как можно более кратким. В данном разделе должна быть изложена информация об эксперименте в объеме, достаточном для формулирования выводов по работе.

• Выводы. Выводы должны отвечать тому материалу, который изложен в предыдущих разделах, прежде всего в содержании. Выводы – это итоги в виде кратко сформулированных и пронумерованных кратких тезисов (положений). Иногда их представляют в связанном, но предельно сжатом изложении. При этом необходимо руководствоваться принципом: в выводах надо двигаться от частных к более общим и важным положениям. В выводах формулируются результаты экспериментов в сжатой форме, а не повторяется то, о чем говорилось в основном содержании отчета.

• Заключение. В этом разделе дается обобщение наиболее существенных положений работы, подводятся итоги экспериментов, показывается обоснованность новых положений, выдвигаются вопросы и проблемы, которые требуют разрешения. Заключение не должно повторять выводы. Оно должно быть небольшим по величине, но емким по содержанию – количеству информации. Заключение должно быть составлено так, чтобы специалист (эксперт) по данному направлению, прочитав заключение, мог отчетливо представить качественную сущность данной работы без ее методических и других конкретных аспектов и сделать выводы о возможных направлениях дальнейших исследований.

• Перечень использованных литературных источников. Цитируемые литературные источники могут указываться в тексте (если их немного), а если их много, то в тексте указывается порядковый номер источника по списку литературы, приведенному в конце отчета. В каждой позиции библиографии должны быть указаны: фамилия и инициалы автора (авторов), наименование книги (статьи), издательство, год издания, объем в страницах.

• Приложение. В этот раздел помещаются вспомогательные таблицы, графики, дополнительные материалы и т. д. При этом каждому материалу в приложении надо присвоить самостоятельный порядковый номер, который указывается в тексте отчета.

• Аннотация. Аннотация – это краткая характеристика отчета с точки зрения содержания, назначения, формы и других особенностей. Аннотация выполняет прежде всего сигнальные функции и должна прежде всего отвечать на вопрос: о чем говорится в отчете. Поэтому, аннотация включает в себя фразы преимущественно в форме оборотов типа «рассматривается», «обсуждается», «исследуется», «рассмотрено», «исследовано», «доказано» и т. п.

• Реферат. Реферат – это сокращенное изложение содержания отчета (или его части) с основными фактическими сведениями и выводами. Реферат выполняет познавательную функцию, отвечая на вопрос «что говорится в первичном документе». Реферат поэтому может включать в себя фразы, выраженные любой грамматической формой.

Состав отчета по результатам эксперимента может дополняться и изменяться по сравнению с вышеизложенным, по согласованию между заказчиком данной работы и ее исполнителем. Если эксперимент является научно – исследовательской работой в рамках какой – либо государственной программы, то состав и требования к нему (отчету) определяются соответствующим ГОСТ. Так, основные требования к оформлению научно – технического отчета (отчета по НИР) содержит ГОСТ 7.32-81. Согласно этому ГОСТу, отчет включает аннотацию, реферат, введение и текст отчета. В текст отчета входят: постановка задачи, формулировка технического задания, анализ известных методов и способов решения задачи, обоснование принятого решения по методам испытаний, расчеты и результаты экспериментов, выводы, заключение.

1. Защита авторских прав экспериментатора.

Результаты умственного труда, используемого при экспериментах, являются промышленной собственностью. Она разделяется на открытия, изобретения, полезные модели, промышленные образцы, товарные знаки.