enter_tnm (Нечеткие множества в системах управления), страница 5

Свойства max-min композиции

Операция (max-min)-композиции ассоциативна, т.е.

R₃(R₂R₁) = (R₃R₂ )R₁,

дистрибутивна относительно объединения, но недистрибутивна относительно пересечения:

R₃(R₂ R₁) = (R₃R₂) (R₃R₁),

R₃(R₂ R₁)(R₃ R₂)(R₃ R₁).

Кроме того, для (max-min)-композиции выполняется следующее важное свойство: если R₁R₂ то, RR₁ RR₂.

(max-) - композиция

В выражении _R1R2(x, z) = [_R1(x, y)_R2(y, z)] для (max-min)-композиции отношений R₁ и R₂ операцию  можно заменить любой другой, для которой выполняются те же ограничения, что и для : ассоциативность и монотонность (в смысле неубывания) по каждому аргументу. Тогда:

_R1R2(x, z) = [_R1(x, y)_R1(y, z)]

В частности, операция  может быть заменена алгебраическим умножением, тогда говорят о (max - prod)-композиции.

Обычное подмножество  - уровня нечеткого отношения

Обычным подмножеством  - уровня нечеткого отношения R называется четкое (обычное) отношение R такое, что

_R1(x,y) =

Очевидно, что из ₁ ₂ следует R_1  R_2.

Теорема декомпозиции

Любое нечеткое отношение R представимо в форме:

R = R, 0<1,

где R_ означает, что все элементы R_ умножаются на .

Условные нечеткие подмножества.

Пусть X и Y - универсальные множества, взаимосвязь которых задана нечетким отношением R: (XY)[0,1], т.е. для каждой пары (x,y)XY задано значение функции принадлежности _R(x,y)[0,1].

Пусть А - некоторое нечеткое множество, заданное на Х, т.е. определена функция принадлежности _A(x) для всех х из Х. Тогда нечеткое множество А и нечеткое отношение R индуцируют в Y нечеткое подмножество B с функцией принадлежности

_B(y) = min[_A(x),  _R(x,y)] = [ _A(x) _R(x,y)].

Обозначение: B = AR.

Пример:

Пусть X = {x₁, x₂, x₃}, Y = {y₁, y₂, y₃, y₄} и заданы нечеткое отношение

XRY =		y1	y2	y3	y4
	x1	0,8	1	0	0,3
	x2	0,8	0,3	0,8	0,2
	x3	0,2	0,3	0	0,4

и нечеткое множество A = {0,3/x₁,0,7/x₂,1/x₃}.

Проведем операцию  для А и столбца y₁ :

x1 x2 x3 0,3 0,7 1

L

y1 0,8 0,8 0,2

=

y1 0,30,8 0,70,8 10,2

=

y1 0,3 0,7 0,2

После выполнения операции V на элементах полученного столбца имеем:

_B(y₁) = 0,3V0,7V0,2 = 0,7.

Проделав аналогичные вычисления для y₂, y₃, y₄ имеем:

_B(y₂) = 0,3

_B(y₃) = 0,7

_B(y₄) = 0,4.

И окончательно:

A		R		B
0,3 0,7 1	·	0,8 1 0 0,3 0,8 0,3 0,8 0,2 0,2 0,3 0 0,4	=	0,7 0,3 0,7 0,4

Замечание. При заданном R, если А индуцирует В, то ближайшее четкое подмножество А индуцирует В.

Нечеткие подмножества последовательно обуславливающие друг друга

Если

А₁ индуцирует А₂ посредством R₁,

А₂ индуцирует А₃ посредством R₂,

.............................................

А_n-1 индуцирует А_n посредством R_n-1,

то

А₁ индуцирует А_n посредством R_n-1R_n-2 ...R₁,

где R_n-1R_n-2 ...R₁ - определенная выше композиция нечетких отношений R₁, R₂, ..., R_n.

Пример:

Вернемся к примеру (max-min)-композиции.

R1	·	R2	=	R1R2
y1 y2 y3 x1 0,1 0,7 0,4 x2 1 0,5 0		z1 z2 z3 z4 y1 0,9 0 1 0,2 y2 0,3 0,6 0 0,9 y3 0,1 1 0 0,5		z1 z2 z3 z4 x1 0,3 0,6 0,1 0,7 x2 0,9 0,5 1 0,5

Пусть А={0,3/x₁, 0,7/x₂ }, тогда

А1		R1		А2
0,3 0,7	·	0,1 0,7 0,4 1 0,5 0	=	0,7 0,5 0,3

А2		R2		А3
0,7 0,5 0,3	·	0,9 0 1 0,2 0,3 0,6 0 0,9 0,1 1 0 0,5	=	0,7 0,5 0,7 0,5

А1		R1R2		А3
0,3 0,7	·	0,3 0,6 0,1 0,7 0,9 0,5 1 0,5	=	0,7 0,5 0,7 0,5

Немного о бинарных отношениях вида XRX

Нечеткие отношения вида XRX задаются функцией принадлежности  _R(x,y), но с условием, что x и y - элементы одного и того же универсального множества. В зависимости от своих свойств (основные - симметричность, рефлексивность, транзитивность) конкретные нечеткие отношения задают отношения сходства и различия, порядка или слабого порядка между элементами Х. Они имеют обширную сферу приложений в задачах автоматической классификации и принятия решений (сравнение альтернатив).

3. НЕЧЕТКАЯ И ЛИНГВИСТИЧЕСКАЯ ПЕРЕМЕННЫЕ

Понятие нечеткой и лингвистической переменных используется при описании объектов и явлений с помощью нечетких множеств.

Нечеткая переменная характеризуется тройкой <, X, A>, где

 - наименование переменной,

X - универсальное множество (область определения ),

A - нечеткое множество на X, описывающее ограничения (т.е.  _A(x)) на значения нечеткой переменной .

Лингвистической переменной называется набор < ,T,X,G,M>, где

 - наименование лингвистической переменной;

Т - множество ее значений (терм-множество), представляющих собой наименования нечетких переменных, областью определения каждой из которых является множество X. Множество T называется базовым терм-множеством лингвистической переменной;

G - синтаксическая процедура, позволяющая оперировать элементами терм-множества T, в частности, генерировать новые термы (значения). Множество T G(T), где G(T) - множество сгенерированных термов, называется расширенным терм-множеством лингвистической переменной;

М - семантическая процедура, позволяющая превратить каждое новое значение лингвистической переменной, образуемое процедурой G, в нечеткую переменную, т.е. сформировать соответствующее нечеткое множество.

Замечание. Чтобы избежать большого количества символов

символ  используют как для названия самой переменной, так и для всех ее значений;

пользуются одним и тем же символом для обозначения нечеткого множества и его названия, например терм "молодой", являющийся значением лингвистической переменной  = "возраст", одновременно есть и нечеткое множество М ("молодой").

Присвоение нескольких значений символам предполагает, что контекст позволяет разрешить возможные неопределенности.

Пример: Пусть эксперт определяет толщину выпускаемого изделия с помощью понятий "малая толщина", "средняя толщина" и "большая толщина", при этом минимальная толщина равна 10 мм, а максимальная - 80 мм.

Формализация такого описания может быть проведена с помощью следующей лингвистической переменной <, T, X, G, M>, где

 - толщина изделия;

T - {"малая толщина", "средняя толщина", "большая толщина"};

X - [10, 80];

G - процедура образования новых термов с помощью связок "и", "или" и модификаторов типа "очень", "не", "слегка" и др. Например: "малая или средняя толщина", "очень малая толщина" и др.;

М - процедура задания на X = [10, 80] нечетких подмножеств А₁="малая толщина", А₂ = "средняя толщина", А₃="большая толщина", а также нечетких множеств для термов из G(T) в соответствии с правилами трансляции нечетких связок и модификаторов "и", "или", "не", "очень", "слегка" и др. операции над нечеткими множествами вида: А  В, А В, , CON А = А² , DIL А = А^0,5 и др.

Замечание. Наряду с рассмотренными выше базовыми значениями лингвистической переменной "толщина" (Т={"малая толщина", "средняя толщина", "большая толщина"}) возможны значения, зависящие от области определения Х. В данном случае значения лингвистической переменной "толщина изделия" могут быть определены как "около 20 мм", "около 50 мм", "около 70 мм", т.е. в виде нечетких чисел.

Продолжение примера:

Функции принадлежности нечетких множеств:

"малая толщина" = А₁ , "средняя толщина"= А₂, " большая толщина"= А₃ .

Функция принадлежности:

нечеткое множество "малая или средняя толщина" = А₁А₁.

Нечеткие числа

Нечеткие числа - нечеткие переменные, определенные на числовой оси, т.е. нечеткое число определяется как нечеткое множество А на множестве действительных чисел R с функцией принадлежности _A(x)[0,1], где x - действительное число, т.е. xR.

Нечеткое число А нормально, если _A(x)=1, выпуклое, если для любых xyz выполняется

_A(x)_A(y)_A(z).

Множество  - уровня нечеткого числа А определяется как

А = {x/ _A(x)}.

Подмножество S_AR называется носителем нечеткого числа А, если

S = {x/_A(x)>0}.

Нечеткое число А унимодально, если условие _A(x) = 1 справедливо только для одной точки действительной оси.

Выпуклое нечеткое число А называется нечетким нулем, если

_A(0) = (_A(x)).

Нечеткое число А положительно, если xS_A, x>0

и отрицательно, если xS_A, x<0.

Операции над нечеткими числами

Расширенные бинарные арифметические операции (сложение, умножение и пр.) для нечетких чисел определяются через соответствующие операции для четких чисел с использованием принципа обобщения следующим образом.

Пусть А и В - нечеткие числа, и - нечеткая операция, соответствующая операции над обычными числами. Тогда

С = А B _C(z)= (_A(x)_B(y))).

Отсюда:

С = _C(z)= (_A(x)_B(y))),

С =  _C(z)= (_A(x)_B(y))),

С =  _C(z)= (_A(x) _B(y))),

С =  _C(z)= (_A(x)_B(y))),

С =  _C(z)= (_A(x)_B(y))),

С =  _C(z)= (_A(x)_B(y))).

Нечеткие числа (L-R)-типа

Нечеткие числа (L-R)-типа - это разновидность нечетких чисел специального вида, т.е. задаваемых по определенным правилам с целью снижения объема вычислений при операциях над ними.

Функции принадлежности нечетких чисел (L-R)-типа задаются с помощью невозрастающих на множестве неотрицательных действительных чисел функций действительного переменного L(x) и R(x), удовлетворяющих свойствам:

а) L(-x)=L(x), R(-x)=R(x);

б) L(0)=R(0).

Очевидно, что к классу (L-R) функций относятся функции, графики которых имеют следующий вид:

Примерами аналитического задания (L-R) функций могут быть

L(x) = , p0;

R(x)= , p 0 и т.д.

Пусть L(y) и R(y) - функции (L-R)-типа (конкретные). Унимодальное нечеткое число А с модой а (т.е. _A(a)=1) c помощью L(y) и R(y) задается следующим образом:

_A(x) =

где а - мода; >0, >0 - левый и правый коэффициенты нечеткости.

Таким образом, при заданных L(y) и R(y) нечеткое число (унимодальное) задается тройкой А = (а, , ).

Толерантное нечеткое число задается, соответственно, четверкой параметров А=(а₁, a₂, , ), где а₁ и a₂ - границы толерантности, т.е. в промежутке [а₁,a₂] значение функции принадлежности равно 1.

Примеры графиков функций принадлежности нечетких чисел (L-R)-типа приведены ниже.

Мы не будем здесь рассматривать операции над (L-R) числами; отметим, что в конкретных ситуациях функции L(y), R(y), а также параметры ,  нечетких чисел (а, , ) и (а₁, a₂, ,  ) должны подбираться таким образом, чтобы результат операции (сложения, вычитания, деления и т.д.) был точно или приблизительно равен нечеткому числу с теми же L(y) и R(y), а параметры  и  результата не выходили за рамки ограничений на эти параметры для исходных нечетких чисел, особенно если результат в дальнейшем будет участвовать в операциях.

Замечание. Решение задач математического моделирования сложных систем с применением аппарата нечетких множеств требует выполнения большого объема операций над разного рода лингвистическими и другими нечеткими переменными. Для удобства исполнения операций, а также для ввода-вывода и хранения данных, желательно работать с функциями принадлежности стандартного вида.

Нечеткие множества, которыми приходится оперировать в большинстве задач, являются, как правило, унимодальными и нормальными. Одним из возможных методов аппроксимации унимодальных нечетких множеств является аппроксимация с помощью функций (L-R)-типа.

Примеры (L-R)-представлений некоторых лингвистических переменных:

Терм ЛП	(L-R)-представление	Графическое представление
Средний	А = (а, , )LR  = >0	a b
Малый	А = (а, , )LR  = 	 =  
Большой	А = (а, , )LR =	  = 
Приблизительно в диапазоне	А = (а1, а2, , )LR  = >0	  a1 a2
Определенный	А = (а, 0, 0)LR  =  = 0	 = 0  = 0
Разнообразный зона полной неопределенности	А = (а, , )LR  =  = 	 =  = 

4. НЕЧЕТКИЕ ВЫСКАЗЫВАНИЯ И НЕЧЕТКИЕ МОДЕЛИ СИСТЕМ

Нечеткими высказываниями будем называть высказывания следующего вида:

Высказывание < есть '>, где  - наименование лингвистической переменной, ' - ее значение, которому соответствует нечеткое множество на универсальном множестве Х.

Например высказывание <давление большое> предполагает, что лингвистической переменной "давление" придается значение "большое", для которого на универсальном множестве Х переменной "давление" определено соответствующее данному значению "большое" нечеткое множество.

Высказывание < есть m'>, где m - модификатор, которому соответствуют слова "ОЧЕНЬ", "БОЛЕЕ ИЛИ МЕНЕЕ", "МНОГО БОЛЬШЕ" и др.

Например: <давление очень большое>, <скорость много больше средней> и др.

Составные высказывания, образованные из высказываний видов 1. и 2. и союзов "И", "ИЛИ", "ЕСЛИ.., ТО...", "ЕСЛИ.., ТО.., ИНАЧЕ".

Высказывания на множестве значений фиксированной лингвистической переменной

То, что значения фиксированной лингвистической переменной соответствуют нечетким множествам одного и того же универсального множества Х, позволяет отождествлять модификаторы "очень" или "не" с операциями "CON" и "дополнение", а союзы "И", "ИЛИ" с операциями "пересечение" и "объединение" над нечеткими множествами .

Для иллюстрации понятия лингвистической переменной мы в качестве примера рассматривали лингвистическую переменную "толщина изделия" с базовым терм-множеством Т = {"малая", "средняя", "большая"}. При этом на Х = [10, 80] мы определили нечеткие множества А₁, А₂, А₃, соответствующие базовым значениям: "малая", "средняя", "большая".

В этом случае высказыванию <толщина изделия очень малая> соответствует нечеткое множество CONA = A²; высказыванию <толщина изделия не большая или средняя> - нечеткое множество А₂ высказыванию <толщина изделия не малая и не большая> А₁ .

Высказывания <толщина изделия много больше средней> или <толщина изделия близка к средней> требуют использования нечетких отношений R ("много больше,чем") и R ("близко к"), заданных на ХХ. Тогда этим высказываниям будут соответствовать нечеткие множества AR₁ и AR₂, индуцированные нечеткими отношениями R₁ и R₂.

Случай двух и более лингвистических переменных

Пусть <, T_, X, G_, M_> и <, T_, Y, G_, M_> - лингвистические переменные, и высказываниям < есть '>, < есть  '> соответствуют нечеткие множества А и В заданные на X и Y.

Составные нечеткие высказывания вида 3, связывающие значения лингвистических переменных  и , можно привести к высказываниям вида 1, введя лингвистическую переменную (, ), значениям которой будут соответствовать нечеткие множества на XY.

Напомним, что нечеткие множества А и В, заданные на X и Y, порождают на XY нечеткие множества и , называемые цилиндрическими продолжениями, с функциями принадлежности:

(x,y) = _A(x) при любом y,

(x,y) = _B(y) при любом x,

где (x,y) XY.

Нечеткие множества, соответствующие составным высказываниям

< есть ' и  есть '> и

< есть ' или  есть '>,

определяются по следующим правилам (преобразования к виду 1), справедливым при условии невзаимодействия переменных, т.е. множества X и Y таковы, что их элементы не связаны какой-либо функциональной зависимостью.

Правила преобразований нечетких высказываний

Правило преобразования конъюнктивной формы

Справедливо выражение:

< есть ' и  есть '><(, ) есть ('')>.

Здесь  - знак подстановки, '' - значение лингвистической переменной (, ), соответствующее исходному высказыванию < есть ' и  есть '>, которому на XY ставится в соответствие нечеткое множество  c функцией принадлежности

(x,y) = (x,y) (x,y) = _A(x)_B(y).

Правило преобразования дизъюнктивной формы

Справедливо выражение:

< есть ' или  есть '><(,) есть ('')>, где значению ('') лингвистической переменной (, ) соответствует нечеткое множество  , с функцией принадлежности

(x,y) = (x,y)V (x,y) = _A(x)V_B(y).

Замечание 1. Правила справедливы также для переменных вида <, T₁, X, G₁,M₁> и <, T₂, Y, G₂, M₂>, когда в форме значений лингвистических переменных формализованы невзаимодействующие характеристики одного и того же объекта. Например, для построения нечеткого множества высказывания <ночь теплая и очень темная> нужно использовать правило конъюнктивной формы, а для высказывания <ночь теплая или очень темная> - правило дизъюнктивной формы.

Замечание 2. Если задана совокупность лингвистических переменных {<_i, T_i, X_i, G_i, M_i>}, i = 1, 2, .., n, то любое составное высказывание, полученное из высказываний < есть '> с использованием модификаторов "очень", "не", "более или менее" и др. и связок "и", "или", можно привести к виду < есть '>, где  - составная лингвистическая переменная (₁,₂,..,_n ), ' - ее значение, определяемое (как и функция принадлежности) в соответствии с вышеуказанными правилами.

Правило преобразования высказываний импликативной формы

Справедливо выражение:

<если  есть ', то  есть '> <(, ) есть ('')>, где значению ('') лингвистической переменной (, ) соответствует нечеткое отношение XRY на XY.

Функция принадлежности _R(x,y) зависит от выбранного способа задания нечеткой импликации.

Способы определения нечеткой импликации

Будем считать, что заданы универсальные множества X и Y, содержащие конечное число элементов. Под способом определения нечеткой импликации "если А, то В" (где А и В нечеткие множества на X и Y соответственно) будем понимать способ задания нечеткого отношения R на XY, соответствующего данному высказыванию.

С целью обоснованного выбора определения нечеткой импликации, японскими математиками Мидзумото, Танака и Фуками было проведено исследование всех известных по литературе определений (плюс предложенные авторами). Рассмотренные определения задавали следующие нечеткие отношения для высказывания "если А, то В":

R_m = (AB)( Y)

_Rm(x,y) = (_A(x) _B(y)) V (1 - _A(x));

R_a = ( Y)(XB)

_Ra(x,y) = 1  (1-_A(x) + _B(y));

R_c = AB

_Rc(x,y) = _A(x) _B(y);

R_s = AY XB

_Rs(x,y) = ;

R_g = AY XB

_Rg(x,y) = ;

R_sg = ( AY XB )  ( )

;

R_gg = ( AY XB)  ( )

;

R_gs = ( AY XB)  ( )

;

R_ss = ( AY XB)  ( )

;

R_b = ( Y)(XB)

_Rb(x,y) = (1-_A(x))  _B(y);

R = AY XB

;

R = AY XB

R_* = AY XB

_R*(x,y) = 1 - _A(x)+ _A(x) _B(y);

R_# = AY XB

_R#(x,y)=( _A(x) _B(y)) ((1 - _A(x)) (1 - _B(y)) (_B(y) (1 - _A (x));

R = AY XB

Правилом вывода являлось композиционное правило вывода с использованием (max-min)-композиции.

В качестве значений на входе системы рассматривались:

A' = A;

A' = "очень А"= А² , _A^0,5(x) = _A(x)² ;

A' = "более или менее А" = А^0,5 _A^0,5(x)= _A(x)^0,5;

A' = _A(x)^0,5, (x) = 1 - _A (x).

Приведем таблицу итогов исследования. В ней символ "0" означает выполнение соответствующей схемы вход-выход, символ "x" - невыполнение. Следствие "неизвестно" (Н) соответствует утверждению: "если x=A, то нельзя получить никакой информации об y".

В данной таблице первая графа -"Посылка", вторая -"Следствие".

1

2

Rm

Ra

Rc

Rs

Rg

Rsg

Rgg

Rgs

Rss

Rb

R

R

R*

R#

R

A

B

x

x

0

0

0

0

0

0

0

x

x

x

x

x

x

A2

B2

x

x

x

0

x

0

x

x

0

x

x

x

x

x

x

A2

B

x

x

0

x

0

x

0

0

x

x

x

x

x

x

x

A0,5

B0,5

x

x

x

0

0

0

0

0

0

x

x

x

x

x

x

A0,5

B

x

x

0

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

Н

0

0

x

0

0

x

x

x

x

0

0

0

0

x

x

A

B

x

x

x

x

x

0

0

0

0

x

x

x

x

x

x

Кроме ответа о выполнении соответствующей схемы (0 или х),авторами исследованы явные выражения для функций принадлежности следствий по каждому из вариантов определения нечеткой импликации, на основе чего ими был сформулирован вывод:

- R_m и R_a не могут быть использованы;

- R_c может использоваться частично; - R_s , R_g , R_sg , R_gg , R_gs , R_ss рекомендованы к использованию;

- R_b , R, R, R_* , R_# , R не рекомендованы к использованию.

Логико-лингвистическое описание систем, нечеткие модели.

Логико-лингвистические методы описания систем основаны на том, что поведение исследуемой системы описывается на естественном (или близком к естественному) языке в терминах лингвистических переменных.

Входные и выходные параметры системы рассматриваются как лингвистические переменные, а качественное описание процесса задается совокупностью высказываний следующего вида:

L₁ : если <A₁ > то <B₁ >,

L₂ : если <A₂ > то <B₂ >,

....................

L_k : если <A_k > то <B_k >,

где <A_i>, i=1,2,..,k - составные нечеткие высказывания, определенные на значениях входных лингвистических переменных, а <B_i>, i = 1,2,..,k - высказывания, определенные на значениях выходных лингвистических переменных.

С помощью правил преобразования дизъюнктивной и конъюнктивной формы описание системы можно привести к виду:

L₁ : если 1 > то 1 >,

L₂ : если 2 > то 2 >,

....................

L_k : если k > то k >,

где A₁,A₂,..,A_k - нечеткие множества, заданные на декартовом произведении X универсальных множеств входных лингвистических переменных, а B₁, B₂, .., B_k - нечеткие множества, заданные на декартовом произведении Y универсальных множеств выходных лингвистических переменных.

Совокупность импликаций {L₁, L₂, ..., L_k} отражает функциональную взаимосвязь входных и выходных переменных и является основой построения нечеткого отношения XRY, заданного на произведении XY универсальных множеств входных и выходных переменных. Если на множестве X задано нечеткое множество A, то композиционное правило вывода B = AR определяет на Y нечеткое множество B с функцией принадлежности

_B(y) = (_A(x) _R(x,y))

Таким образом, композиционное правило вывода в этом случае задает закон функционирования нечеткой модели системы.

Рассмотрим широко цитируемый пример решения задачи нечеткого логического управления: построение модели управления паровым котлом.

Модель управления паровым котлом

Прототипом модели послужил паровой двигатель (лабораторный) с двумя входами (подача тепла, открытие дросселя) и двумя выходами (давление в котле, скорость двигателя).

Цель управления: поддержание заданного давления в котле (зависит от подачи тепла) и заданной скорости двигателя (зависит от открытия дросселя). В соответствии с этим, схема системы управления двигателем выглядит следующим образом:

Рассмотрим одну часть задачи - управление давлением.

Входные лингвистические переменные:

РЕ - отклонение давления (разность между текущим и заданным значениями);

СРЕ - скорость изменения отклонения давления.

Выходная лингвистическая переменная:

НС - изменение количества тепла.

Значения лингвистических переменных:

NB - отрицательное большое;

NM- отрицательное среднее;

NS- отрицательное малое;

NO- отрицательное близкое к нулю;

ZO- близкое к нулю;

PO - положительное близкое к нулю;

PS - положительное малое;

PM - положительное среднее;

PB - положительное большое.

Управляющие правила (15 правил), связывающие лингвистические значения входных и выходных переменных, имеют вид: "Если отклонение давления = А_i и, если скорость отклонения давления = В_i , то изменение количества подаваемого тепла равно С_i", где А_i, В_i ,С_i - перечисленные выше лингвистические значения.

Полный набор правил задавался таблицей:

╬	Отклонение давления РЕ	Скорость изменения отклонения давления СРЕ	Изменение количества подаваемого тепла НС
1	NB	NB или NM	PB
2	NB или NM	NS	PM
3	NS	PS или NO	PM
4	NO	PB или PM	PM
5	NO	NB или NM	NM
6	PO или ZO	NO	NO
7	PO	NB или NM	PM
8	PO	PB или PM	NM
9	PS	PS или NO	NM
10	PB или PM	NS	NM
11	PB	NB или NM	NB
12	NO	PS	PS
13	NO	NS	NS
14	PO	PS	PS
15	PO	PS	NS

Лингвистические значения отклонений задавались нечеткими подмножествами на шкалах X, Y, Z следующей таблицей:

	-6	-5	-4	-3	-2	-1	0	+1	+2	+3	+4	+5	+6
PB											0,3	0,7	1
PM									0,3	0,7	1	0,7	0,3
PS							0,3	0,7	1	0,7	0,3
PO						0,3	1	0,7	0,3
NO					0,3	0,7	1	0,3
NS			0,3	0,7	1	0,7	0,3
NM	0,3	0,7	1	0,7	0,3
NB	1	0,7	0,3

То есть области значений входных переменных PE, CPE и выходной переменной НС представлялись 13 точками [-6, -5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6], равномерно расположенными между максимальными отрицательными и положительными значениями этих переменных.

Приведем управляющие правила к виду: "если (А_i В_i ), то С_i", где (А_iВ_i) декартово произведение нечетких множеств А и В , заданных на шкалах X и Y с функцией принадлежности

(x,y)= _Ai(x)_Bi(y),

определенной на XY.

Для каждого из правил вида "если (А_iВ_i ), то С_i", где (А_iВ_i)- входное нечеткое множество, а С_i - соответствующее нечеткое значение выхода, определялось нечеткое отношение

R_i=(А_iВ_i)С_i, i = 1, 2, ..., 15

с функцией принадлежности

_Ri((x,y),z)= (_Ai(x)_Bi(y))_Ci(z).

Совокупности всех правил соответствовало нечеткое отношение

R = R_i

с функцией принадлежности

_R(x,y,z) = _Ri((x,y),z).

При заданных значениях А, В входных переменных регулирующее значение С входной переменной определялось на основе композиционного правила вывода:

С = (АВ) R,

где - (max-min)-композиция.

Функция принадлежности С имеет вид:

_C(z) = (_A(x)  _B (y))  _R(x,y,z).

Числовое значение z₀ (изменение подаваемого тепла) определяется при этом либо из условия _C(z₀) = _C (z),

либо по формуле

z₀ = ,

где N - количество точек в Z (в данном случае N=13).

Задача управления скоростью двигателя решалась аналогично. Результаты практического использования показали, что разработанная нечеткая модель управления сравнима с классическими моделями оптимального управления.

Появление первых работ по построению моделей нечеткого логического управления для конкретных систем определило ряд общих вопросов, касающихся логических основ моделей, в их числе:

о полноте и непротиворечивости совокупности правил управления;

об адекватности представления правил управления вида "если А, то В" нечеткими отношениями, определяемыми разными способами;

о правильности способа вывода, основанного на (max-min)-композиции и возможности использования других видов операции композиции.

 

Полнота и непротиворечивость правил управления

Наиболее часто требование полноты для системы "если А_i, то В_i", i=1,2,..,n, сводится к

X = Supp A_i,

где Supp A_i - носитель нечеткого множества A_i. Содержательно это означает, что для каждого текущего состояния х процесса существует хотя бы одно управляющее правило, посылка которого имеет ненулевую степень принадлежности для х.

Непротиворечивость системы управляющих правил чаще всего трактуется как отсутствие правил, имеющих сходные посылки и различные или взаимоисключающие следствия.

Степень непротиворечивости i-го и k-го правил можно задавать величиной

C_ik = | (_Ai(x) _Ak(x)) - (_Bi(y) _Bk (y))|.

Суммируя по k, получаем оценку непротиворечивости i-го правила в системе:

C_i = C_ik, 1<i<N, ki.

Если эта оценка превосходит некоторое пороговое значение, то правило из системы удаляется. В частности, для рассматриваемой выше модели управляющей системы парового котла, оценки степеней непротиворечивости равны:

╬ правила	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15
Ci	2,4	3,4	4,2	3,8	4,2	1,8	4,5	3,5	4,0	3,9	1,7	3,3	4,1	3,7	3,3

Таким образом, при пороговом значении g=3 в модели остается всего три правила 1, 6 и 11.

Литература

Заде Л.А. Понятие лингвистической переменной и его применение к принятию приближенных решений. М.:Мир, 1976.

Кофман А. Введение в теорию нечетких множеств. М.: Радио и связь, 1982.

Нечеткие множества в моделях управления и искусственного интеллекта /Под ред. Д.А. Поспелова. М., 1986.

Прикладные нечеткие системы /Под ред. Тэтано Т., Асаи К., Сугэно М: Мир, 1993.

Нечеткие множества и теория возможностей. Последние достижения / Под ред. Р.Ягера М.: Радио и связь, 1986.

Орловский С.А. Проблемы принятия решений при нечеткой исходной информации. М.: Наука, 1981.

Борисов А.Н., Крумберг О.А., Федоров И.П. Принятие решений на основе нечетких моделей. Примеры использования. Рига:/ "Зинатне", 1990.

Малышев Н.Г., Берштейн Л.С., Боженюк А.В. Нечеткие модели для экспертных систем в САПР. М.: Энергоатомиздат, 1991.

Мелихов А.Н., Бернштейн Л.С., Коровин С.Я. Ситуационные советующие системы с нечеткой логикой. М.: Наука, 1990.

Р.Беллман, Л.Заде. Вопросы принятия решений в расплывчатых условиях // Вопросы анализа и процедуры принятия решений. / М.: Мир,1976.

Нечеткие множества в системах управления

39 из 39