enter_tnm (Нечеткие множества в системах управления), страница 3

Алгебраическая сумма этих множеств обозначается и определяется так:

xE =  _A(x) + _B(x)_A(x)_B(x).

Для операций {, } выполняются свойства:

- коммутативность;

- ассоциативность;

A = , A  = A, AE = A, A E = E

- теоремы де Моргана.

Не выполняются:

- идемпотентность;

- дистрибутивность;

а также A = , A = E.

Замечание. Доказательства приводимых свойств операций над нечеткими множествами мы оставляем читателю.

Для примера докажем свойство: . Обозначим _A(x) через a, _B(x) через b. Тогда в левой части для каждого элемента х имеем: 1-ab, а в правой: (1-a)+(1-b)-(1-a)(1-b) = 1-a+1-b-1+a+b-ab = 1-ab. 

Докажем, что свойство дистрибутивности не выполняется, т.е. A(B C)  (AB) (AC). Для левой части имеем: a(b+c-bc) = ab+ac-abc; для правой: ab+ac-(ab)(ac) = ab+ac+a²bc. Это означает, что дистрибутивность не выполняется при aa². 

Замечание. При совместном использовании операций {, ,,} выполняются свойства:

А(BC) = (AB)(A  C);

А (BC) = (AB)(AC);

А (BC) = (A B)(A C);

А (BC)=(A B)(A C).

Продолжим обзор основных операций над нечеткими множествами.

На основе операции алгебраического произведения (по крайней мере для целых  эта основа очевидна) определяется операция возведения в степень  нечеткого множества A, где  - положительное число. Нечеткое множество A определяется функцией принадлежности _A^ = ^_A(x). Частным случаем возведения в степень являются:

CON(A) = A² - операция концентрирования,

DIL(A) = A^0,5 - операция растяжения,

которые используются при работе с лингвистическими неопределенностями.

Умножение на число. Если  - положительное число, такое, что   _A(x)1, то нечеткое множество A имеет функцию принадлежности:

A(x) = A(x).

Выпуклая комбинация нечетких множеств. Пусть A₁, A₂,.., A_n - нечеткие множества универсального множества E, а ₁, ₂, ..., _n - неотрицательные числа, сумма которых равна 1.

Выпуклой комбинацией A₁, A₂,.., A_n называется нечеткое множество A с функцией принадлежности:

xE _A(x₁, x₁,..., x_n) = ₁_A1(x) + ₂_A2(x) + ... + _n_Ai(x).

Декартово произведение нечетких множеств. Пусть A₁, A₂, ..., A_n - нечеткие подмножества универсальных множеств E₁, E₂, ..., E_n соответственно. Декартово произведение A = A₁A₂  ...A_n является нечетким подмножеством множества E = E₁E₂  ...E_n с функцией принадлежности:

_A(x₁, x₁, ..., x_n) = min{ _A1(x₁), _A2(x₂) , ... , _Ai(x_n) }.

Оператор увеличения нечеткости используется для преобразования четких множеств в нечеткие и для увеличения нечеткости нечеткого множества.

Пусть A - нечеткое множество, E - универсальное множество и для всех xE определены нечеткие множества K(х). Совокупность всех K(х) называется ядром оператора увеличения нечеткости Ф. Результатом действия оператора Ф на нечеткое множество A является нечеткое множество вида:

Ф(A, K) = _A (x)K(х),

где _A(x)K(х) - произведение числа на нечеткое множество.

Пример:

E = {1,2,3,4};

A = 0,8/1+0,6/2+0/3+0/4;

K(1) = 1/1+0,4/2;

K(2) = 1/2+0,4/1+0,4/3;

K(3) = 1/3+0,5/4;

K(4) = 1/4.

Тогда

Ф(A,K) = _A(1) K(1) _A(2)K(2) _A(3)K(3) _A(4)K(4) =

= 0,8(1/1+0,4/2)  0,6(1/2+0,4/1+0,4/3) =

= 0,8/1+0,6/2+0,24/3.

Четкое множество -уровня (или уровня ). Множеством -уровня нечеткого множества A универсального множества E называется четкое подмножество A универсального множества E, определяемое в виде:

A ={x/ _A(x)}, где 1.

Пример: A = 0,2/x₁ + 0/x₂ + 0,5/x₃ + 1/x₄ ,

тогда A_0.3 = {x₃,x₄},

A_0.7 = {x₄}.

Достаточно очевидное свойство: если ₁ ₂ , то A_1 A_2 .

Теорема о декомпозиции. Всякое нечеткое множество A разложимо по его множествам уровня в виде:

A = A _, где A_ - произведение числа  на множество A, и  "пробегает" область значений M функции принадлежности нечеткого множества A.

Пример: A = 0,1/x₁ + 0/x₂ + 0,7/x₃ + 1/x₄ представимо в виде:

A = 0,1(1,0,1,1)  0,7(0,0,1,1,)  1(0,0,0,1)=

= (0,1/x₁ + 0/x₂ + 0,1/x₃ + 0,1/x₄) (0/x₁ + 0/x₂ + 0,7/x₃ + 0,7/x₄)

(0/x₁ + 0/x₂ + 0/x₃ + 1/x₄) = 0,1/x₁ +0/x₂ +0,7/x₃ +1/x₄ .

Если область значений функции принадлежности состоит из n градаций ₁ ₂ ₃ ... _n, то A (при фиксированных значениях градаций) представимо в виде:

A = _iA_i,

т.е. определяется совокупностью обычных множеств { A_1, A_2, ..., A_i}, где A_1 A_2 , ..., A_i.

Расстояние между нечеткими множествами, индексы нечеткости

Пусть A и B - нечеткие подмножества универсального множества E. Введем понятие расстояния (A, B) между нечеткими множествами. При введении расстояния обычно предъявляются следующие требования:

(A, B)  0 - неотрицательность;

(A, B) = (B, A) - симметричность;

(A, B) < (A, C) + (C, B).

К этим трем требованиям можно добавить четвертое: (A, A) = 0.

Определим следующие расстояния по формулам:

Расстояние Хемминга (или линейное расстояние):

(A, B) = _A(x_i) - _B(x_i) .

Очевидно, что (A, B)[0, n].

Евклидово или квадратичное расстояние:

(A, B) = , (A, B)[0, ].

Относительное расстояние Хемминга:

(A, B) = , (A, B)[0,1].

Относительное евклидово расстояние:

(A, B)= , (A, B)[0,1].

Расстояние Хемминга и квадратичное расстояние, в случае когда E бесконечно, определяются аналогично с условием сходимости соответствующих сумм:

если E счетное, то

(A, B) = _A(x_i) - _B(x_i) ,

(A, B) = ;

если E = R (числовая ось), то

(A, B) = ,

(A, B) = .

Замечание. Здесь приведены два наиболее часто встречающихся определения понятия расстояния. Разумеется, для нечетких множеств можно ввести и другие определения понятия расстояния.

   Перейдем к индексам нечеткости или показателям размытости нечетких множеств.

Если объект х обладает свойством R (порождающим нечеткое множество A) лишь в частной мере, т.е.

0<_A(x)<1, то внутренняя неопределенность, двусмысленность объекта х в отношении R проявляется в том, что он, хотя и в разной степени, принадлежит сразу двум противоположным классам: классу объектов, "обладающих свойством R", и классу объектов, "не обладающих свойством R". Эта двусмысленность максимальна, когда степени принадлежности объекта обеим классам равны, т.е. _A(x) = (x) = 0,5, и минимальна, когда объект принадлежит только одному классу, т.е. либо _A(x) = 1 и (x) = 0, либо _A(x) = 0 и (x) = 1.

В общем случае показатель размытости нечеткого множества можно определить в виде функционала d(A) со значениями в R (положительная полуось), удовлетворяющего условиям:

d(A) = 0 тогда и только тогда, когда А - обычное множество;

d(A) максимально тогда и только тогда, когда _A(x) = 0.5 для всех xE.

d(A)d(B), если A является заострением B, т.е.

_A(x)_B(x) при _B(x) < 0,5;

_A(x)_B(x) при _B(x) > 0,5;

_A(x)- любое при _B(x) = 0,5.

d(A) = d( ) - симметричность по отношению к 0,5.

d(AB)+d(AB) = d(A)+d(B).

Замечание. Приведенная система аксиом при введении конкретных показателей размытости часто используется частично, т.е., например, ограничиваются свойствами P1, P2 и P3, либо некоторые свойства усиливаются или ослабляются в зависимости от решаемой задачи.

Рассмотрим индексы нечеткости (показатели размытости), которые можно определить, используя понятие расстояния.

Обычное множество, ближайшее к нечеткому

Пусть A - нечеткое множество. Вопрос: какое обычное множество AE является ближайшим к A, т.е. находится на наименьшем евклидовом расстоянии от нечеткого множества A. Таким подмножеством, обозначаемым A, является подмножеством с характеристической функцией:

.

Обычно принимают _A(x_i) = 0, если _A(x_i) = 0,5.

Используя понятие обычного множества, ближайшего к нечеткому, введем следующие индексы нечеткости нечеткого множества А.

Линейный индекс нечеткости:

Здесь (A, A) - линейное (хеммингово) расстояние, множитель - обеспечивает выполнение условия 0<d(A)<1.

Квадратичный индекс нечеткости

, 0<d(A)<1.

Здесь (A, A) - квадратичное (евклидово) расстояние.

Замечания.

1. Мы ввели линейный и квадратичный индексы нечеткости, используя понятие расстояния и понятие обычного множества, ближайшего к нечеткому. Эти же индексы можно определить, используя операцию дополнения, следующим образом:

- линейный индекс,

- квадратичный индекс.

2. Отметим следующие свойства, связанные с ближайшим обычным множеством:

АВ=АВ,

АВ=АВ;

а также xE:|_A(x_i)-_A(x_i)|= , откуда для линейного индекса нечеткости имеем:

,

т.е. в этом представлении становится очевидным, что d(A)=d( ).

3. Нечеткое множество с функцией принадлежности иногда называют векторным индикатором нечеткости.

Оценка нечеткости через энтропию

Ограничимся случаем конечного универсального множества. Энтропия системы с n состояниями ₁,₂, ..., _n, с которыми связаны вероятности p₁,p₂, ..., p_n определяется выражением:

H(p₁, p₂, ..., p_n) = - p_i ln p_i, H_min = 0, H_max = 1.

В случае нечетких множеств положим:

_A(x_i) =

Тогда общую формулу, позволяющую подсчитать энтропию по нечеткости, можно записать в следующем виде:

H(_A(x₁), _A(x₂), ..., _A(x_n)) = - _A(x_i) ln _A(x_i).

Замечание. Попытки использования энтропии в теории нечетких множеств (в приведенном выше виде) показали, что это не лучший способ оценки. Однако работы по обобщению понятия энтропии для нечетких множеств продолжаются.

Принцип обобщения

Принцип обобщения - одна из основных идей теории нечетких множеств - носит эвристический характер и используется для расширения области применения нечетких множеств на отображения. Пусть X и Y - два заданных универсальных множества. Говорят, что имеется функция, определенная на X со значением в Y, если, в силу некоторого закона f, каждому элементу XX соответствует элемент yY.

Когда функцию f: XY называют отображением, значение f(x)Y, которое она принимает на элементе xX, обычно называют образом элемента x.

Образом множества АХ при отображении сY называют множество f(A)Y тех элементов Y, которые являются образами элементов множества А.

Замечание. Мы напомнили классическое определение отображения, которое в теории нечетких множеств принято называть четким отображением, т.к. наряду с ним мы введем понятие нечеткого отображения (или нечеткой функции).

Будем говорить, что имеется нечеткая функция f, определенная на X со значением в Y, если она каждому элементу xX ставит в соответствие элемент yY со степенью принадлежности _f(x,y). Нечеткая функция f определяет нечеткое отображение f:X Y.

Принцип обобщения заключается в том, что при заданном четком f:XY или нечетком f:X Y отображении для любого нечеткого множества А, заданного на Х, определяется нечеткое множество f(A) на Y, являющееся образом A.

Пусть f:XY заданное четкое отображение,

а A = {_A(x)/х}- нечеткое множество в Х. Тогда образом А при отображении f является нечеткое множество f(A) на Y с функцией принадлежности:

_f(A)(y) = _A(x); yY,

где f ^-1(y)={x/f(x)=y}.

В случае нечеткого отображения f:X Y, когда для любых xX и yY определена двуместная функция принадлежности _f(x,y), образом нечеткого множества А, заданного на Х, является нечеткое множество f(A) на Y с функцией принадлежности:

_f(A)(y) = min(_A(x), _f(x,y)).

Замечание. Мы не приводим примеров использования принципа обобщения. Предлагаем подумать, каким образом можно определить нечеткое число и как с помощью принципа обобщения (не забывая декартова произведения) и классических операций возведения числа в степень(одноместная), сложения и умножения (двуместные) получать соответствующие нечеткие результаты. К нечетким отображениям мы вернемся, когда будем рассматривать понятие нечеткого отношения.

2. НЕЧЕТКИЕ ОТНОШЕНИЯ

Пусть Е = Е₁Е₂ ...Е_n - прямое произведение универсальных множеств и М - некоторое множество принадлежностей (например М = [0,1]). Нечеткое n-арное отношение определяется как нечеткое подмножество R на E, принимающее свои значения в М. В случае n=2 и М = [0,1], нечетким отношением R между множествами X = Е₁ и Y = Е₂ будет называться функция R:(X,Y) [0,1], которая ставит в соответствие каждой паре элементов (х,y)XY величину _R(x,y) [0,1]. Обозначение: нечеткое отношение на XY запишется в виде: xX, yY: xRy. В случае, когда X = Y, т.е. X и Y совпадают, нечеткое отношение R: XX[0,1] называется нечетким отношением на множестве X.

Примеры:

Пусть X = {x₁,x₂,x₃}, Y = {y₁,y₂,y₃,y₄}, М = [0,1]. Нечеткое отношение R=XRY может быть задано, к примеру, таблицей:

Пусть X = Y = (- , ), т.е. множество всех действительных чисел. Отношение x>>y (x много больше y) можно задаеть функцией принадлежности:

Отношение R, для которого _R(x,y) = e^-k(x-y)2, при достаточно больших k можно интерпретировать так: "x и y близкие друг к другу числа".

В случае конечных или счетных универсальных множеств очевидна интерпретация нечеткого отношения в виде нечеткого графа, в котором пара вершин (x_i,x_j) в случае XRX соединяется ребром с весом _R(x_i,x_j), в случае XRY пара вершин (x_i,y_j) соединяется ребром c весом _R(x_i,y_j).

Примеры:

Пусть Х={x₁,x₂,x₃}, и задано нечеткое отношение R: XX [0,1], представимое графом:

Пусть X={x₁,x₂} и Y={y₁,y₂,y₃}, тогда нечеткий граф вида:

задает нечеткое отношение XRY.

Замечание. В общем случае нечеткий граф может быть определен на некотором GXY, где G - множество упорядоченных пар (x,y) (необязательно всех возможных) такое, что G =  и G = XY.

Будем использовать обозначения вместо и вместо .

Пусть R: XY[0,1].

Носитель нечеткого отношения.

Носителем нечеткого отношения R называется обычное множество упорядоченных пар (x,y), для которых функция принадлежности положительна:

S(R)={(x,y): _R(x,y)>0}.

Нечеткое отношение содержащее данное нечеткое отношение, или содержащееся в нем.

Пусть R₁ и R₂ - два нечетких отношения такие, что:

(x,y)X Y: _R1(x,y)_R2(x,y),

тогда говорят, что R₂ содержит R₁ или R₁ содержится в R₂ .

Обозначение: R₁R₂ .

Пример:

Отношения R₁ , R₂ - отношения типа y>>x (y много больше x). При k₂ > k₁ отношение R₂ содержит R₁ .

Операции над нечеткими отношениями

Объединение двух отношений R₁ и R₂.

Объединение двух отношений обозначается R₁R₂ и определяется выражением:

_R1R2(x,y) = _R1(x,y) _R2(x,y)

Примеры:

1. Ниже изображены отношения действительных чисел, содержательно означающие: xR₁y - "числа x и y очень близкие", xR₂y - "числа x и y очень различны" и их объединение xR₁R₂y - "числа x и y очень близкие или очень различные".

Функции принадлежности отношений заданы на |y-x|.

где  - такое |y-x|, что _R1(x,y) = _R2(x,y)

2.

Пересечение двух отношений.

Пересечение двух отношений R₁ и R₂ обозначается R₁R₂ и определяется выражением:

_R1R2(x,y) = _R1(x,y) _R2(x,y)

.

Примеры: