5.Элементарные динамические звенья 2 (Проектирование автоматических систем. Теория принятия решений. Принцип Парето)

4.4. Дифференцирующее звено.

- описывается уравнение (4.1) при g = - 1:

(4.25)

или

(4.26)

Выходная величина пропорциональна скорости скорости изменения входного параметра. В качестве примера технического устройства типа

дифференцирующего звена может служить электромашина постоянного

тока в качестве тахогенератора, электроконденсатор и др. устройства.

Для тахогенератора :

(4.27)

где k – коэффициент пропорциональности.

У тахогенератора , по сравнению с электродвигателем, входная и выходная переменная поменялись местами, поэтому тахогенератор отображается дифференцирующим звеном, электродвигатель – интегрирующим,

Для конденсатора в процессе зарядки справедливо:

(4.28)

Конденсатор в процессе разрядки – интегрирующее звено.

Передаточная функция дифференцирующего звена :

(4.29)

Временные характеристики – переходная и импульсная переходная:

(4.30)

(4.31)

Рис. 4.7. Переходная и импульсная

переходная характеристики.

Производную по времени от дельта – функции называют дельта –

функцией второго порядка.

Комплексная частотная характеристика звена:

(4.32)

где .

АЧХ и ФЧХ :

(4.33)

(4.34)

Рис. 4.8. Комплексная частотная, АЧХ, ФЧХ и ЛАЧХ

интегрирующего звена.

ФЧХ – колебание выходного параметра y(t) опережает по фазе колебание

x(t) на угол .

4.5. Инерционные звенья. Апериодическое звено.

ММ элементарных инерционных звеньев является линейное дифференциальное уравнение вида :

(4.35)

или

где - постоянная времени; - оператор дифференцирования; - порядок дифференциального уравнения ; - выходной параметр; - коэффициент

передачи; - входное воздействие.

Апериодическое звено описывается уравнением (4.35) при :

(4.36)

или

(4.37)

Решение этого уравнения записывают в виде:

(4.38)

где С – постоянная интегрирования; p –корень характеристического

уравнения.

Переходная характеристика апериодического звенас учетом С и p :

(4.39)

Импульсная переходная характеристика :

(4.40)

Рис. 4.9. Переходная и импульсная переходная

характеристики.

Переходная характеристика после единичного воздействия изменяется монотонно, постепенно приближаясь к новому установившемуся значению

. Скорость изменения выходного параметра оценивается и уменьшается до 0. Установившееся движение дос-

тигается теоретически лишь при . Такой процесс называется апериодическим, откуда и название звена. находят из графика

переходной характеристики.

Переходный процесс в апериодическом звене теоретически длится бесконечно. На практике : = 3Т – время переходного процесса;

Апериодическим звеном представляют двигатели, генераторы, уси-

лители, преобразующие, усилительные и исполнительные элементы.

Двигатель внутреннего сгорания трактора описывается линеаризованным дифференциальным уравнением:

(4.41)

Применяя прнцип суперпозиций переходные процессы можно оценивать отдельно от входных воздействий и .

Аналогично оцениваются электрические, гидравлические и пневматические двигатели.

На рис.4.10. представлена схема гидравлического усилителя.

Рис.4.10. Гидроусилитель.

Пренебрегая инерционными, упругими и другими свойствами механических

и гидравлических элементов, уравнение движения поршня 1 :

(4.42)

где А – площадь поршня гидроусилителя; y – координата поршня; k_p – коэф-

фициент передачи, определяемый из расходной характеристики гидрораспределителя; - перемещение золотника 2 относительно его корпуса 3: координаты золотника и корпуса).

устанавливает зависимость между расходом жидкости через гидрораспределитель и перемещением .

где коэффициент передачи обратной связи :

В итоге получим :

(4.43)

Инерционные свойства апериодического звена характеризуются постоянной

времени Т. Чем больше Т, тем ниже скорость нарастания выходного

параметра и больше отставание его от входного воздействия.

Передаточная функция апериодического звена:

(4.44)

Комплексная частотная характеристика звена :

(4.45)

при

АЧХ и ФЧХ :

(4.46)

(4.47)

ЛАЧХ :

(4.48)

Первое слагаемое – постоянная величина, вторая – переменная. ЛАЧХ приэтом заменяется двумя прямыми, пересекающимися в точке .

Рис.4.11. Комплексная характерискика, АЧХ,ФЧХ и ЛАЧХ.

4.6. Колебательное звено

ММ колебательного звена представляется линейным дифференциальным уравнением (4.35) при

(4.49)

Обозначим и :

(4.50)

относительный коэффициент затухания.

Если то технический обьект в переходном процессе будет совершать

затухающие колебания.

Переходна характеристика колебательного звена :

(4.51)

где

(4.52)

(4.53)

- коэффициент затухания; - частота затухающих колебаний.

Импульсная преходная характеристика :

(4.54)

Рис.4.12. Переходная и импульсная переходная характеристики

колебательного звена.

Конструктивной особенностью колебательного звена является

наличие инерционного элемента, накапливающего кинетическую энергию ,

и упругого элемента, накапливающего потенциальную энергию и осуществляющих между собой их обмен,

Технические устройства , представляемые колебательным звеном,

показаны на рис.4.13.

Рис.4.13. Колебательные звенья: а) механическая

поступательная система, б) обьемный гидропривод.

Дифференциальное уравнение колебаний твердого тела массой , подвешенного на пружине с коэффициентом жесткости и снабженного

гидравлическим демпфером с коэффициентом сопротивления (рис.4.13,а)

имеет вид :

(4.55)

Разделив обе части на , уравнение приводится к виду:

.

Постоянная времени: относительный коэффициент затухания

коэффициент передачи .

Нагрузка на привод обьемного гидропривода (рис.4.13,б) эквивалентной

пружиной с коэффициентом жесткости . Движение приведенной массы механической и гидравлической частей системы опишется линейным диф-

ференциальным уравнением:

(4.56)

Приведенную массу определяют из условия сохранения кинетической

энергии:

(4.57)

где массы поршней первого и второго гидроцилиндров

с учетом массы жидкости, находящейся в них . и - диаметры гид-

роцилиндров ; - масса жидкости в трубопроводе ; - диаметр трубопровода.

(4.58)

где - длина трубопровода.

Передаточная функция колебательного звена :

(4.59)

Комплексная частотная характеристика колебательного звена :

(4.60)

при

(4.61)

(4.62)

АЧХ и ФЧХ :

(4.63)

(4.64)

Рис.4.14. Комплексная характеристика,

АЧХ, ФЧХ и ЛФЧХ.

Параметрами колебательного звена являются постоянная времени ;

относительный коэффициент затухания и коэффициент передачи .

Их можно определить по осциллограмме переходной характеристике.

Измерив ординаты установившегося значения выходной величины

и ступенчатого воздействия и вычислив их соотношение с учетом

масштабов записи этих переменных, находят значение .

Частота затухающих колебаний :

(4.65)

где - период затухающих колебаний, измеренный по осциллограмме

переходного процесса.

4.7. Консервативное звено.

Если обьект представляют абстрактным динамическим звеном, описываемым дифференциальным уравнением второго порядка, потерями на

трение в котором пренебрегают , то такое звено называют консервативным.

У него колебания выходной величины при неизменном внешнем воздействии

не затухают.

(4.66)

или в операторной форме :

(4.67)

Полагая, что =0 :

Переходная характеристика :

(4.68)

Импульсная переходная характеристика :

(4.69)

где - собственная частота консервативного звена.

Рис.4.15. Переходна и импульсная переходная

характиристики.

Незатухающие колебания происходят с частотой, равной собственной, которая является резонансной : 1/Т.

Передаточная функция и комплексная частотная характеристика :

(4.70)

(4.71)

Рис. 4.16. Комплексная характеристика,

ФЧХ, АЧХ и ЛАЧХ.

4.8. Трансцендентные звенья.

Они описываются неалгебраическими передаточными функцичми, например звено чистого запаздывания:

(4.72)

Звено запаздывания используют при отображении динамических свойств

транспортеров, гидро- и пневмоприводов с длинными магистралями и т.п.

(При установке на транспортер груза, его поступление в приемное устройство будет отставать по времени).

Переходная характеристика :

(4.73)

Импульсная переходная характеристика :

(4.74)

Рис.4.15. Переходная и импульсная переходная