3.Динамические мат.модели и характеристики АС и их элементов (Проектирование автоматических систем. Теория принятия решений. Принцип Парето)

3. ДИНАМИЧЕСКИЕ МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ И ХАРАКТЕРИСТИКИ АС.

(динамические)

3.1. Динамические звенья автоматических технических систем и их свойства.

АС представляют некоторой совокупностью элементов, обладающих определенными функциональными и динамическими свойствами.

Состояние динамической системы и характер ее движения в любой момент времени определяются некоторым количеством переменных. Минимальное число независимых переменных-координат ,необходимое и достаточное для полного определения характеристик движения системы, называют числом степеней свободы. Элемент системы, обладающий одной степенью свободы, определяют как динамическое звено.

Рис. 3.1. Толкатель.

Рис. 3.2. Манипулятор промышленного робота.

На рис.3.1. однооперационный манипулятор – толкатель сталкивает деталь с конвейера, является звеном транспортной технологической системы. Толкатель реализует одну степень свободы. На рис. 3.2. манипулятор промышленного робота переносит подобную деталь, реализуя при этом три степени свободы: А₁, А₂, А₃ (угловые). Манипулятор во втором случае сам является сложной динамической системой , т.к. состоит из нескольких элементарных звеньев, скомпонованных в одну цепочку.

В установившемся состоянии, при постоянном внешнем воздействии, АС находится в положении статического равновесия. Зависимость выходного параметра от входного воздействия в статическом режиме называется статической характеристикой АС. Если на звено кроме входного воздействия

Х подается внешнее воздействие Z (рис.3.3) , то его статический режим характеризуется семейством характеристик (для каждого фиксированного значения Z_i .

Рис.3.3. Изображение динамического звена

на схемах.

Рис.3.4. Статические характеристики звена.

В динамическом режиме при изменении X или Z на изменение выходного параметра Y влияют также физические свойства динамического звена (инерционные, упругие, диссипативные) , (рис.3.4).

Рис.3.5. Динамическая характеристика звена.

На рис.3.5. имеет место скачкообразное увеличение X от X₁ до X₂. Изменение

Y₁ до Y₂ происходит не мгновенно, а в течении некоторого времени (t₂ - t₁). Это изменение при заданном изменении от X₁ до X₂ называют динамической характеристикой звена или АС.

Статические характеристики звена АС представляют собой алгебраические и трансцендентные функции y от x, его динамические свойства описываются дифференциальными уравнениями, передаточной функцией, частотными и временными характеристиками.

Динамическое звено характеризуется свойствами линейности и стационарности. Линейным является звено, ММ которого (алгебраическое или дифференциальное уравнение) включает только линейные комбинации переменных x и y и их производные.

Стационарным считают звено, в котором сдвиг входного воздействия во времени приводит к такому же сдвигу выходного параметра без изменения его формы и параметров. Динамические свойства нестационарных звеньев со временем изменяются.

Стационарные линейные динамические звенья или системы описываются линейными дифференциальными уравнениями с постоянными коэффициентами. Нестационарные линейные – с переменными коэффициентами.

Для линейных стационарных систем применим принцип суперпозиций :

реакция системы на несколько одновременно действующих входных воздействий равна сумме реакций системы на каждое воздействие в отдельности.

3.2. Линеаризация математических моделей.

Реальные технические обьекты описываются нелинейными дифференциальными и алгебраическими уравнениями. Для предварительной

оценки технических решений и прогнозирования используют линеаризованные ММ. Для этого применяют метод разложения нелинейных

функций в ряд Тейлора. В результате ММ динамического звена в виде дифференциального уравнения второго порядка

(3.1)

преобразуется в линейное с постоянными коэффициентами

(3.2.)

Геометрическая линеаризация применяется для статических характеристик

звена или системы. Используют метод осреднения или метод малого отклонения. Первый используют при больших изменениях входного воздействия х , а второй – при малых отклонения от положения статического равновесия.

Рис. 3.6. Метод малого отклонения. 1- кривая

y=f(x); 2- линейная аппроксимация.

Рис.3.7.Метод осреднения. 1 – кривая y=f(x); 2 – линейная

аппроксимация.

В методе малого отклонения кривую y=f(x) заменяют касательной в точке

x₀, y₀. Ошибка аппроксимации E зависит от отклонения . Уравнение статической характеристики в результате линеаризации имеет вид :

(3.3)

где (dy/dx)₀ – производная , определяемая в точке с координатами x₀, y₀ и равная тангенсу угла наклона касательной.

Если k=(dy/dx)₀ , тогда y=k*x , где k – коэффициент передачи звена.

Для элементарного звена – усилителя мощности этот коэффициент называется коэффициент усиления.

В методе усреднения операцию дифференцирования заменяют символом

p, а операцию интегрирования - символом 1/p. В итоге дифференциальное уравнение приобретает вид алгебраического уравнения. Так уравнение (3.2) при использовании оператора p приводится к виду:

Отсюда можно непосредственно получить уравнение линеаризованной статической характеристики звена:

(3.4)

3.3. Передаточные функции.

ММ АС упрощается при использовании преобразования Лапласа, с помощью которого линейное дифференциальное уравнение приводят к алгебраическому с комплексными переменными.

(3.5)

Это преобразование функции x(t) вещественного переменного ставит в соответствие функцию X(s) комплексного переменного s, где s= .

Функцию x(t) называют оригиналом, а X(s) – изображение по Лапласу.

В символической форме (3.5) можно записать:

(3.6)

где : L – оператор Лапласа.

Преобразование Лапласа можно применять только для линейных дифференциальных уравнений.

Если свойства системы описываются диф. уравнением:

(3.7)

то в операторной форме оно записывается как:

(3.8)

Используя преобразования Лапласа получаем алгебраическое уравнение относительно Y(s):

(3.9)

Это называется прямым преобразованием Лапласа.

Выражение

(3.10)

определяет предаточную функцию, которая является отношением лапласова изображением выходной величины к лапласову изображению входной величины при нулевых начальных условиях. При этом комплексная переменная s отождествляется с оператором дифференцирования p.

Из (3.10) следует:

(3.11)

Для звена с двумя входными воздействиями согласно принципу суперпозиций:

(3.13)

Обратный переход от изображения Y(s) к оригиналу y(t) выполняется путем обратного преобразования Лапласа. Существуют разработанные таблицы соответствия оригиналов и изображений.

3.4. Переходная и импульсная переходная характеристики.

Для оценки переходных процессов применяют единичное ступенчатое и единичное импульсное воздействие.

Единичное ступенчатое воздействие описывается функцией (рис.3.8) :

(3.13)

Рис. 3.8. Единичное ступенчатое воздействие.

Переходная характеристика определится :

(3.14)

Переходная характеристика представляет собой обратное преобразование Лапласа от передаточной функции динамического звена или АС, деленной на

комплексную переменную s .

Рис.3.9. Переходная характеристика.

1 – для апериодических процессов, без смены закона производной и без экстремума; 2 – колебательные переходные процессы, производная меняет знак; 3 – монотонные процессы, производная не меняет знак.

Реакция динамического звена или АС на единичное импульсное воздействие

называется импульсной переходной характеристикой. Единичное импульсное воздействие представляется очень узким импульсом, описываемым функцией - дельта функцией Дирака ( , ,

) , (рис.3.10)

(3.15)

t

Рис. 3.10. График единичного импульсного

воздействия.

Используя соответствующие подстановки, получим:

(3.16)

Рис.3.11. График импульсной переходной характеристики;

1 – апериодические процессы; 2 – колебательные процессы

(со сменой знака производной).

Изображение Лапласа дельта – функции:

(3.17)

Изображение выходного параметра:

(3.18)

Переходя от изображения к оригиналу, получим:

(3.19)

Импульсная переходная характеристика представляет собой обратное преобразование Лапласа от передаточной функции:

(3.20)

(3.21)

Переходная и импульсная переходная характеристики, так же как и диф. уравнения, описывают динамические свойства звена или АС и представляют их характеристики. Их легко находят и экспериментально.

Если внешнее воздействие отлично ступенчатого или импульсного, то его представляют как сумму последовательных ступенчатых или импульсных

воздействий, а реакцию системы, согласно принципа суперпозиций, находят как сумму реакций на эти воздействия, следуемые друг за другом через некоторые промежутки времени .

3.5. Частотные характеристики.

Если в качестве воздействия использовать фактор, изменяющийся по гармоническому закону:

(3.22)