tv_teor (Методичка - Теория Вероятностей (теория)), страница 4

Ряд распределения может быть построен только для дискретных слу-чайных величин.

Пример. В партии, содержащей 12 изделий, имеются 3 брако­ванных. Выбраны случайным образом 4 изделия для проверки их ка­чества. Найти за-кон распределения случайной величины X - числа бракованных изделий сре-ди отобранных.

Решение. Число бракованных изделий среди отобранных - это заранее неизвестная дискретная случайная величина, возможные значения которой

.

Здесь N=12, m=4, n=3, поэтому

В результате получим

Пример. Автомобиль должен проехать по улице, на которой установ-лены 3 светофора, дающие независимо друг от друга зеленый сигнал в тече-ние 30 сек., желтый - в течение 5 сек., красный – в течение 25 сек. Постро-ить закон распределения числа остановок автомобиля.

Решение. Число остановок автомобиля X - дискретная случай­ная величина, возможные значения которой Вероятность оста-новки перед каждым светофором

,

следовательно, вероятность проезда q = 1 - p = 0,5.

Проезд автомобиля мимо каждого светофора можно рассматривать как отдельное независимое испытание. По формуле Бернулли на­ходим

(k= 0, 1, 2, 3).

Поэтому ряд распределения числа остановок автомобиля будет иметь вид

Функциональные характеристики

случайной величины

Для аналитического описания закона распределения случайной вели-чины применяют интегральную функцию распределения вероятностей или дифференциальную функцию распределения вероятностей случайной величины (её также называют плотностью распределения вероятностей или плотностью вероятностей).

Интегральная функция распределения

вероятностей случайной величины

Интегральной функцией распределения вероятностей случайной величины F(x) называется вероятность того, что в результате опыта случай-ная величина X примет значение, меньшее произвольно заданного числа x, то есть

Свойства F(x).

1. так как F(x) – вероятность.

2. так как - невозможное событие.

так как - достоверное событие.

3. Если возможные значения то

4. - неубывающая функция, то есть , если .

5. Вероятность попадания случайной величины X на конечный интервал [a,b) равна приращению интегральной функции на этом интервале

6. В пределе, при стягивании интервала в точку

Следовательно, если X – непрерывная случайная величина, то F(x)-непрерывная функция, и вероятность того, что X примет одно определенное значение (то есть вероятность попадания X в точку a), равна нулю. Поэтому для непрерывной случайной величины X справедливы равенства

Если F(x) разрывна в точке a, то скачок функции F(x) в этой точке равен вероятности попадания X в неё. Поэтому для дискретных случайных величин

где суммирование распространяется на все те значения , которые меньше x, и график функции распределения дискретной случайной величины пред-ставляет собой ступенчатую функцию.

Пример. Ряд распределения дискретной случайной величины имеет вид

Найти интегральную функцию распределения и построить ее график.

Решение. По теореме сложения вероятностей для несовместных собы-тий найдем:

1. Для , так как значения случайная величина Х не принимает;

2. При , так как Х может принять зна-чение 1 с вероятностью 0,3;

3. При ;

4. Если , то

, так как событие достоверно.

Следовательно, искомая функция распределения имеет вид

Пример. Случайная величина Х задана интегральной функцией рас-пределения

Найти вероятность того, что в результате трех независимых испытаний величина Х дважды примет значение, принадлежащее интервалу (0,25; 0,75).

Решение. Вероятность попадания Х на интервале (0,25; 0,75) в одном испытании равна

.

По формуле Бернулли

Плотность вероятностей

Пусть X – непрерывная случайная величина с функцией распределения F(x), которую будем предполагать не только непрерывной, но и дифферен-цируемой. Вероятность попадания X на малый интервал равна

Отношение этой вероятности к длине участка в пределе при обозначают через f(x):

Функция -первая производная от интегральной функции распределения называется плотностью вероятностей или диффе-ренциальной функцией распределения. График плотности вероятностей назы-вается кривой распределения.

В отличие от F(x) плотность вероятностей не является универсальной харак-теристикой распределения, а существует только для непрерывных случайных величин.

Вероятность попадания непрерывной случайной величины на конечный интервал равна определенному интегралу от плотности вероятностей, взятому в пределах от до :

.

Полагая в этой формуле и учитывая определение F(x), полу-чим

,

то есть определение по известной плотности вероятностей сводится к вычислению интеграла с пере­менным верхним пределом.

Свойства f(x).

1. , то есть f(x) - неотрицательная функция.

2. Условие нормировки . Следовательно, площадь, ограниченная графиком плотности вероятностей и осью , равна единице.

3. Если все возможные значения то

Пример. Непрерывная случайная величина X задана плот­ностью веро-ятностей:

Найти: параметр ; интегральную функцию распределения F(x); вероятность попадания X на интер­вал .

Решение.

1). По условию нормировки , отсюда

2). При , поэтому

При .

При .

Итак,

3).

Пример. Плотность вероятностей задана графически с точ­ностью до неизвестного параметра b (см. рисунок). Найти: полное аналитическое выра-жение для f(x); F(x);

Решение.

1). Так как площадь под кривой распределения по условию норми­ровки равна единице, то откуда Следовательно,

2). Интегральная функция распределения будет равна:

при

при

при

при

Итак,

3). .

Замечание. Так как для непрерывной случайной величины F(x) - непрерывная функция, то ее значения не должны претерпевать разрывов на границах интервалов изменения x. Это должно служить контролем правиль-ности вычислений F(x).

2.2. Числовые характеристики случайной величины

Задание закона распределения с помощью функций F(x) или f(x) позволяет полностью и однозначно описать случайную величину. Но во многих случаях в этом либо нет необходимости, либо закон распределения бывает неизвестен. Тогда ограничиваются меньшими сведениями, а именно некоторыми ха­рактерными неслучайными числами, каждое из которых ха-рактеризует то или иное свойство распределения случайной величины.

Такие числа, позволяющие отразить наиболее существенные особен-ности распределения случайной величины, называются числовыми харак-теристиками случайной величины. Важнейшими из них являются мате-матическое ожидание и дисперсия.

Математическим ожиданием (или средним значением) дискретной случайной величины называется сумма произведений всех возможных значе-ний случайной величины на соответствуюшие им вероятности

.

M(X) называют еще центром распределения или характеристикой положения случайной величины на числовой оси. Это среднее значение, вокруг которого группируются остальные возможные значения случайной величины .

Для непрерывной случайной величины

Если возможные значения непрерывной случайной величины то

Свойства М(Х)

1. М(С) = С, где С = const.

2. М(СХ) = С М(Х).

3.

4. Для независимых случайных величин X,Y

Дисперсия - это характеристика рассеивания (разбросанности) воз-можных значений случайной величины относительно ее среднего значения. Она определяется как математическое ожидание квадра­та отклонения слу-чайной величины от ее математического ожидания

Для вычисления дисперсии удобно пользоваться формулой

D(X) = M(X² ) – M² (X).

Для дискретных случайных величин ,

для непрерывных случайных величин

Если возможные значения X принадлежат интервалу то

Свойства дисперсии

1. D(C) = 0, так как постоянная величина C рассеивания не имеет.

2. D(CX) = C² D(X), то есть постоянный множитель можно выносить за

знак дисперсии, возводя его в квадрат.