tv_teor (Методичка - Теория Вероятностей (теория)), страница 2

1.3. Геометрическое определение вероятности

Классическое определение вероятности неприменимо к испытаниям с бесконечным числом элементарных исходов. Задачи, связанные с такими испытаниями, сводятся к случайному бросанию точки в некоторую область.

Пусть на плоскости имеется некоторая область G и в ней подобласть g . Предполагая, что вероятность попадания случайной точки в какую-либо часть области G не зависит ни от ее формы, ни от ее расположения в области G, а пропорциональна мере этой части области, определим вероятность по-падания случайной точки в заданную подобласть как отношение мер об-ластей:

.

Здесь mes – мера области: в одномерном случае – длина отрезка, в двумерном – площадь, в трехмерном – объем. Определенная таким образом вероятность называется геометрической вероятностью.

Пример. (Задача Бюффона). Плоскость разграфлена параллельными прямыми, отстоящими друг от друга на расстоянии . На плоскость на-удачу бросается игла длиной . Найти вероятность того, что игла пересечет какую-нибудь параллель.

Решение. Пусть - расстояние от центра иглы до ближайшей парал-лели, - угол между иглой и параллелью. Величины и полностью опре-деляют положение иглы на плоскости. Очевидно, , .

Поэтому всевозможные положения иглы изобразятся точками прямо-угольника со сторонами и (см. рисунок). Для пересечения иглы с параллелью необходимо, чтобы .

Предельная линия показана на рисунке. Следовательно, благоприятные исходы изобразятся точками заштрихованной области. Иско-мая вероятность будет равна

.

1.4. Алгебра событий

Непосредственное вычисление вероятности на основе классического определения обычно затруднительно, и в теории вероятнос­тей, как правило, применяются косвенные методы, позволяющие по известным вероятностям простых событий определять вероятности сложных событий, с ними связан-ных.

Раздел теории вероятностей, изучающий правила, которым подчиня-ются алгебраические операции над событиями, и называется алгеброй событий.

В основе алгебры событий лежат понятия суммы и произведения событий.

Суммой событий называется событие, состоящее в появлении хотя бы одного из них. В частности, суммой двух событий A и B будет событие, сос­тоящее в появлении или события A или события B, или обоих вмес­те. Если события A и B несовместны, то их сумма A+B - событие, состоящее в появлении только одного из них ( безразлично како­го ).

Произведением событий называется событие, состоящее в совместном их появлении. Произведение событий A и B обозначается знаком AB.

Геометрическая интерпретация суммы и произведения событий показа-на на рисунке. Если событие - попадание случайной точки в левую об-ласть, - попадание случайной точки в правую область, то сумма событий - попадание наудачу брошенной точки в область, ограниченную внеш-ним контуром, произведение со­бытий - в зачернённую область:

Противоположными событиями называются два единственно воз-можных несовместных события, образующие полную группу.

Событие, противоположное событию A, обозначается через

Очевидно (U - достоверное событие), (V - не­возмож-ное событие ) .

Если известны или могут быть непосредственно (на основе классиче-ского определения) найдены вероятности простых событий, то вероятности сложных событий вычисляются c помощью основных теорем теории веро-ятностей.

Теорема сложения вероятностей для несовместных событий

Вероятность суммы n попарно несовместных событий равна сум­ме вероятностей этих событий

.

Cледствие 1. Сумма вероятностей несовместных событий, обра­зую-щих полную группу, равна единице

.

Следствие 2. Сумма вероятностей противоположных событий равна единице

.

Теорема сложения вероятностей для совместных событий: Вероят-ность суммы двух совместных событий равна сумме вероятностей этих событий минус вероятность их совместного появления

.

Теорема умножения вероятностей для зависимых событий: Вероят-ность произведения двух событий равна произведению вероятности одного из них на условную вероятность другого

.

Замечания:

1. События A и B называются зависимыми, если вероятность события B меняется в зависимости от того, произошло или нет событие A.

2. Условной вероятностью события B называется вероятность этого события, вычисленная в предположении, что ему предшество­вало появление события A. Она обозначается так :

Для n зависимых событий теорема умножения вероят-ностей записывается в виде

Теорема умножения вероятностей для независимых событий: Веро-ятность произведения независимых событий равна произве­дению вероят-ностей этих событий

Теорема о вероятности появления хотя бы одного события: Если произведено n независимых испытаний, причем вероятности появления собы-тий в каждом из них известны и равны соответственно , то вероятность появления хо­тя бы одного из событий равна

,

где - вероятность противоположного события .

В частности, если события имеют одинаковую ве­роят-ность, равную p, то вероятность появления хотя бы одного из них равна

.

Пример. В каждом опыте событие А появляется с вероятностью . Сколько опытов необходимо провести, чтобы с вероятностью, не меньшей 0,99 быть уверенным в том, что событие А произойдет хотя бы один раз?

Решение. По условию вероятность появления события хотя бы один раз в n независимых испытаниях

здесь .

Отсюда или .

Непосредственным подбором найдем, что наименьшее допустимое

Пример. Прибор состоит из 4-х узлов, которые за время работы t могут выходить из строя независимо друг от друга. Надежность (вероятность безот-казной работы) i-го узла равна , ве­роятность отказа

Найти вероятнос­ти следующих событий: A - все узлы работают безот-казно; B - первый узел отказал, остальные нет; C - один из узлов отказал, ос-тальные нет; D - отказали два узла из 4-х; E - отказало не менее двух узлов; F - отказал хотя бы один узел.

Решение .

1). Событие A произойдет, если одновременно произойдут события . Следовательно, оно является их произведе­нием .

Применяя к этому равенству событий теорему умножения веро­ятностей для независимых событий, получим

.

2). Событие B произойдет, если одновременно произойдут события . Следовательно . Вероятность этого события будет равна

.

3). Событие C может осуществиться если откажет первый узел, а ос-тальные три работают или, если откажет второй узел, а рабо­тают первый, тре-тий и четвертый и т.д. Следовательно, C - слож­ное событие, представляющее собой сумму произведений простых событий:

.

Применяя к этому равенству сначала теорему сложения вероятностей для не­совместных событий, а затем к каждому слагаемому теорему умноже­ния вероятностей для независимых событий, получим

4). D - событие, которое может осуществиться шестью различ­ными спо-собами: .

Поэтому

5). Для вычисления вероятности события удобно предвари­тельно перейти к противоположному событию ( отказ менее двух узлов). Собы-тие произойдет, если осуществится или событие A или событие C, то есть оно является их суммой: . Поэтому вероятность события E будет равна

.

Согласно следствию 2 из теоремы сложения вероятностей .

6). Для вычисления вероятности события F применим теорему о вероят-ности появления хотя бы одного события. Тогда получим

.

Пример. Найти вероятность безотказной работы функциональной цепи, состоящей из независимо работающих элементов, если вероятность работы каждого элемента цепи равна p.

Решение. Введем обозначения для всех возможных в данной за­даче случайных событий. Пусть A - искомое событие (безотказная работа всей цепи ); - безотказная работа i- го элемента цепи ( i =1,2,...,6 ); - отказ i - го элемента цепи; C – работа верхнего участка, состоящего из элементов 1,2; - работа лево­го контура ( элементы 1-4 ); - работа правого контура (элементы 5,6 ).

Тогда , ,

- вероятность отказа верхнего участка цепи (1,2);

- вероятность отказа левого контура, - вероятность работы левого контура,

- вероятность работы правого контура.

Работа всей цепи . Поэтому вероятность работы всей цепи равна

Замечания .

1. Для упрощения расчета систем, содержащих параллельно и после-довательно соединенные элементы, целесообразно при парал­лельном соеди-нении элементов рассматривать предварительно состояние отказа, а при после­довательном соединении - состояние работы элементов.

2. Как видно из решения, при увеличении чис­ла параллельно сое-диненных элементов (при резервировании) по­вышается надежность (вероят-ность безотказной работы ) системы, а при увеличении числа последова-тельно соединенных элементов на­дежность системы понижается.

1.5. Формула полной вероятности

Вероятность события A, которое может наступить лишь при условии появления хотя бы одного из несовместных событий образующих полную группу, равна сумме произведений вероятностей этих событий на соответствующую условную вероятность события A:

.

События ( i = 1, 2,...,n ), появление одного из которых предшествует появлению события A, принято называть гипотезами ( или априорными гипо-тезами ).

Пример. Три автомата штампуют однотипные детали, которые посту-пают на общий конвейер. Производительности автоматов относятся как 2:3:5. Каждый из автоматов штампует нестандартных де­талей в среднем 2,5%; 2% и 1,5% соответственно. Найти вероят­ность того, что взятая наудачу с конвейера деталь окажется стан­дартной ( событие A ).

Решение. Пусть - гипотеза, состоящая в том, что наудачу взятая деталь изготовлена первым автоматом, - вторым, - третьим. Очевидно, вероятности осуществления гипотез пропорциональны про­изводительности автоматов. Поэтому

.