tv_teor (537874), страница 3

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 3)

Вероятность того, что деталь стандартна при условии, что она из­готовлена первым автоматом ( так как первый автомат произ-водит в среднем 97,5% стандартных деталей ). Аналогично, .

Следовательно, вероятность того, что наудачу взятая с кон­вейера де-таль стандартна и изготовлена первым автоматом, по тео­реме умножения ве-роятностей для зависимых событий равна

Аналогично.

Полная вероятность того, что наудачу взятая с конвейера деталь стандартна, равна

Пример. Имеются 2 урны: в первой белых шаров и черных; во второй белых и черных шаров. Из первой урны во вторую переклады-вается один шар, а затем из второй урны в первую перекладывается один шар. После этого из первой урны берут наугад один шар. Найти вероятность того, что он будет белым.

Решение. Пусть -искомое событие (извлеченный во второй раз из первой урны шар будет белым). Введем следующие гипотезы:

- состав шаров в первой урне не изменился (вынули белый шар и вернули белый или вынули черный шар и вернули черный),

- в первой урне белый шар заменен черным,

- в первой урне черный шар заменен белым.

Находим вероятности осуществления гипотез:

Условные вероятности осуществления события :

По формуле полной вероятности получим

Замечание. При решении задач на применение формулы полной веро-ятности следует контролировать правильность определения вероятностей ги-потез. Их сумма всегда равна единице, так как гипотезы образуют полную группу событий, и появление одной из них есть событие достоверное.

1.6. Формулы Бейеса

Так как при формулировке теоремы умножения вероятностей безразлично, какое событие считать “первым”, а какое “вторым”, то

.

Отсюда .

Подставляя вместо ее значение по формуле полной вероятности, получим, так называемые, формулы Бейеса

.

Формулы Бейеса позволяют переоценить вероятности гипотез после того, как становится известным результат испытания, в итоге которого появилось событие А, то есть позволяют вычислить вероят-ности гипотез после опыта.

Пример. Детали попадают на проверку стандартности к одному из двух контролёров. Вероятность того, что деталь попадает к первому контролёру равна 0,7; ко второму – 0,3. Вероятность того, что годная деталь будет приз-нана стандартной первым контролёром, равна 0,94; вторым – 0,98. Годная деталь при проверке была признана стандартной (событие А). Найти веро-ятность того, что ее проверял первый контролёр.

Решение. Возможны 2 гипотезы:

- деталь проверял первый контролёр,

- деталь проверял второй контролёр.

По условию задачи

Условные вероятности .

Вероятность того, что признанную стандартной годную деталь прове-рял первый контролёр, равна

1.7. Формула Бернулли

В практических приложениях теории вероятности часто используется схема повторяющихся независимых испытаний с двумя возможными исхо-дами в каждом испытании (биномиальная схема или схема Бернулли).

Если вероятность появления события A в каждом отдельном испы-тании постоянна и равна p, то вероятность появле­ния события k раз в n независимых испытаниях (следовательно, непоявления со­бытия n-k раз с вероятностью q = 1 - p) определяется по формуле Бернулли

Замечание. Вероятность того, что событие A в n независимых испыта-ниях наступит: а) менее k раз; б) не менее k раз; в) более k раз; г) не более k раз находят, применяя теорему сложения вероятностей для несовместных событий по формулам:

а)

б)

в)

г)

Пример. Вероятность изготовления стандартной детали при изготов-лении партии однотипных деталей равна 0,9. Что вероятнее: появление не более одной бракованной детали в партии из шести деталей или не более двух бракованных деталей в партии из 12 деталей ?

Решение. Пусть - появление не более одной бракованной детали в партии из шести деталей, - событие, состоящее в том, что все детали год-ные (0 бракованных), -одна бракованная деталь в малой партии. Тогда

По теореме сложения вероятностей для несовместных событий

Изготовление каждой отдельной детали и проверка ее качества могут рассматриваться как отдельное независимое испыта­ние.

Поэтому

Так как вероятность появления интересующего нас события: бракован-ной детали p = 0,1, то применяя к каждому слагаемому формулу Бернулли при получим

Аналогично вычисляя вероятность события -появления не более двух бракованных деталей в партии из 12-ти деталей, находим

Следовательно,

1.8. Локальная и интегральная теоремы Лапласа

При больших значениях n непосредственное применение формулы Бернулли затруднительно из-за вычислительных трудностей. В этом случае применяют локальную теорему Лапласа, которая справедлива, если число испытаний n достаточно велико (практически при ).

Если вероятность p появления случайного события A в каждом испытании постоянна, то вероятность появления события k раз в n испытаниях приближенно (тем точнее, чем больше n) равна

где

Для удобства вычислений по этой формуле функция

табулирована (см. приложение 1). Так как функция четная: , то в таблице приведены значения , соответствующие поло-жительным значениям аргумента.

Обобщением локальной теоремы Лапласа является интегральная теоре-ма Лапласа. Она позволяет найти вероятность того, что событие A появится не менее и не более раз (при тех же ограничениях)

,

где

Интегральную формулу Лапласа можно представить в виде, удобном для вы-числений:

где функция называется функцией Лапласа. Она также табулирована (см. приложение 2), причем в таблице приведены значения функции Ф(x) для положительных значений аргу­мента. Но при пользовании таблицей следует иметь в виду, что функция Лапласа нечетная: Ф(-x) = Ф(x).

Пример 1. Найти вероятность того, что событие А (переключение пе-редач) наступит 70 раз на трассе длиной 256 км, если вероятность пере-ключения на каждом км этой трассы равна 0,25.

Решение. Число испытаний n соответствует числу км на трассе. Так как n=256 велико, применим локальную теорему Лапласа. По условию

Вычислим .

По таблице находим Искомая вероятность равна

Пример. Вероятность появления события А в каждом из 200 незави-симых испытаний постоянна и равна Найти вероятность того, что со-бытие A появится: а) не менее 150 раз и не более 180 раз; б) не менее 150 раз; в) не более 149 раз.

Решение. Так как n велико и заданы интервалы изменения k, приме-ним интегральную теорему Лапласа.

1. по условию

Вычислим

Искомая вероятность равна

По таблице приложения 2 линейной интерполяцией найдем cледовательно,

б) В рассматриваемом случае следует принять

Поэтому

и по таблице приложения 2 Поэтому

в) События “А появилось не менее 150 раз” и “А появилось не более 149 раз” противоположны. Поэтому

Пример. Вероятность изготовления годной детали на станке равна 0,9. Сколько нужно обработать деталей, чтобы с вероятностью 0,98 можно было ожидать, что не менее 150 деталей будут годными?

Решение. По условию

Применяя интегральную формулу Лапласа, получим

или

Так как заведомо то Функция Лапласа возрастающая и . Поэтому можно принять . Тогда или .

По таблице приложения 2 находим Учитывая, что функция Лапласа нечетная, получим

или .

Решая это уравнение как квадратное относительно получим Окончательно, требуемое количество деталей

2. СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ

Случайной называется переменная величина, которая в результате опыта принимает то или иное значение, заранее неизвестно, какое именно.

Случайные величины принято обозначать заглавными латинскими буквами: X, Y, Z,..., а их возможные значения - соответствующими строчными буквами: x, y, z,...

Различают два типа случайных величин: дискретные и непрерывные.

Случайная величина называется дискретной, если ее возможные зна- чения образуют последовательность отдельных, изолированных друг от дру-га значений, которые можно перечислить, и непрерывной, если ее возмож-ные значения непрерывно заполняют некоторый интервал.

Примеры случайных величин:

- дискретных: число попаданий или промахов в серии выстрелов, число выпаданий герба или решки при подбрасывании монеты, в схеме Бернулли повторяющихся независимых испытаний- число появлений события при n испытаниях и т.п.;

- напрерывных: отклонение размера детали от номинального, ресурс (время безотказной работы) системы, физические параметры системы (температура, давление, влажность) длина тормозного пути автомобиля и т.п.

Случайная величина полностью определена с вероятностной точки зрения, если известен ее закон распределения.

Законом распределения случайной величины называется соотно-шение между возможными значениями этой величины и соответствую-щими им вероятностями.

Закон распределения может быть задан таблично, графически или аналитически.

Простейшей формой задания закона распределения дискретной случайной величины является таблица, состоящая из двух строк, в первой из которых перечислены воз­можные значения случайной величины X, а во второй - соответству­ющие им вероятности.

			…
			…

Такая таблица называется рядом распределения, а ее графи­ческое изображение - многоугольником распределения.

Заметим, что сумма вероятностей всех возможных значений случайной величины должна быть равна единице:

Характеристики

Список файлов книги