Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 5)

3. - для независимых случайных вели­чин.

Дисперсия имеет размерность, равную квадрату размерности случай­ной величины X, что неудобно. Поэтому на практике часто применя­ют числовую характеристику , размерность которой совпадает с размерностью X. Величина называется средним квадратическим отклонени-ем.

Пример. Производится одно испытание. Вероятность появления собы-тия A в этом испытании равна p. Найти математическое ожидание и диспер-сию числа появлений события A.

Решение. Число появлений события A при одном испытании X – дис-кретная случайная величина, ряд распределения которой имеет вид

X	0	1
P	q	P

Поэтому

Пример. Независимые случайные величины X и Y заданы рядами рас-пределения:

Найти среднее квадратичное отклонение случайной величины .

Решение. По свойствам дисперсии

Так как сумма вероятностей возможных значений случайной ве­личины равна единице, то

По определению дисперсии

Составим ряды распределения случайных величин

X2	4		1	9	25
P	0,1		0,3	0,2	0,4
	1	4		16					1	16	256
P	0,7	0,2		0,1				P	0,7	0,2	0,1

Поэтому

Следовательно,

Пример. Случайная величина X задана рядом распределения

Найти дисперсию случайной величины Z = 3X² - 2X + 1.

Решение. Так как случайные величины X и X² не являются неза­висимыми, то составляем ряд распределения случайной величины Z:

Поэтому ряд распределения Z² будет иметь вид

В результате получим

1. ОСНОВНЫЕ ЗАКОНЫ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ

СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН

3.1. Биномиальный закон распределения

К биномиальному закону приводит задача о повторении незави­симых испытаний.

Биномиальным законом распределения называется распределение вероятностей дискретной случайной величины X = k - числа появлений события в n независимых испытаниях, описываемое формулой Бернулли:

Ряд распределения биномиального закона имеет вид

	0	1	…	K	…	n
			…		…

Справедливы теоремы:

1. При биномиальном распределении математическое ожидание (среднее значение) числа появлений события равно произведению числа испытаний на вероятность p появления события в одном испы­тании M(X) = np, а дисперсия равна D(X) = npq.

2. Наивероятнейшее число появлений события в n независимых испы-таниях ( такое число k^* , которое при данном n имеет наиболь­шую вероятность ) удовлетворяет двойному неравенству

np - q < k* < np + p .

Если (np – q) - дробное число, то существует единственное значение k*,

если (np – q) - целое число, то k* может принимать два значения.

Пример. Произведено 6 выстрелов по цели. Вероятность промаха при каждом выстреле одинакова и равна 0,4. Найти наивероятнейшее число попаданий и его вероятность; вероятность разру­шения цели, если для этого требуется не менее двух попаданий.

Решение. Каждый выстрел можно рассматривать как отдельное неза-висимое испытание. Поэтому применима схема повторяющихся не­зависимых испытаний. По условию n = 6, p = 0,6; q = 0,4. Поэтому np - q = 3,2; np + p = 4,2. Следовательно, k* = 4.

Вероятность 4-x попаданий равнa

Пусть A - событие, состоящее в том , что будет не менее двух по-паданий при 6 выстрелах. Удобно перейти к противоположно­му ему событию - менее двух попаданий (либо 0 – событие , либо 1 - событие ).

Очевидно, .

Так как события и несовместны, то или

Искомая вероятность

3.2. Закон распределения Пуассона

В предельном случае биномиального распределения, когда чис­ло испытаний n очень велико, а вероятность появления события в каждом отдельном испытании очень мала, вероятность появления со­бытия k раз в n независимых испытаниях может быть определена по приближенной формуле

,

где m = np = const - среднее число появлений события в раз­личных сериях испытаний, предполагаемое постоянным.

Эта формула выражает закон распределения вероятностей диск­ретной случайной величины k - числа появлений события в n неза­висимых испыта-ниях ( в случае массовых, но редких событий ), на­зываемый законом распре-деления Пуассона.

Замечание. Практически формулой Пуассона с достаточной сте­пенью точности можно пользоваться при p < 0,1; m < 10.

Пример. При массовом производстве шестерен вероятность изготов-ления годной шестерни равна 0,9975. Найти вероятность того, что из 800 наугад взятых шестерен более двух будут бракован­ными.

Решение. Пусть A - искомое событие, A - событие, состоящее в том, что не более двух шестерен окажутся бракованными ( или 0 или 1, или 2 ). По условию вероятность изготовления бракованной шестерни равна p=1-0,9975 = = 0,0025 << 0,1; n = 800 - велико, m = np = 2 < 10.

Применяя формулу Пуассона и теорему сложения вероят­ностей для несовместных событий, найдем

.

Следовательно,

Одним из основных понятий теории массового обслуживания и надеж-ности является понятие простейшего (пуассоновского) потока событий.

Потоком событий называется последовательность событий, кото-рые наступают в случайные моменты времени. Примерами могут служить вызовы на АТС, число отказов в определенный период времени, прибытие автомашин на стоянку и т. п. Простейшим называется поток, обладающий свойствами стационарности, отсутствия последействия и ординарности [ ].

При этом интенсивностью потока называется среднее число собы-тий, которые появляются в единицу времени. Если известна, то вероят-ность появления k событий простейшего потока за время t определяется формулой Пуассона

(

Пример. Среднее число заказов такси, поступающих на диспетчерский пункт в одну минуту, равно трем. Найти вероятность того, что за 2 мин. поступит: а) пять вызовов; б) не менее пяти вызовов.

Решение. По условию Поэтому

3.3. Геометрическое распределение

Пусть производится ряд независимых испытаний (”попыток”) для достижения некоторого результата (события ), и при каждой попытке собы-тие может появиться с вероятностью . Тогда число попыток до появ-ления события , включая удавшуюся, - дискретная случайная величина, воз-можные значения которой 1,2… … . Вероятности их по теореме умно-жения вероятностей для независимых событий равны

где .

Вероятности образуют для ряда последовательных зна-чений бесконечно убывающую геометрическую прогрессию с первым чле-ном и знаменателем (поэтому распределение называется геометриче-ским).

Ряд распределения имеет вид

	1	2	3	….	M	…
				….		…

Математическое ожидание и дисперсия равны

.

Пример. Производится ряд попыток включить двигатель. Каждая зани-мает время и заканчивается успешно независимо от других с вероятностью . Построить ряд распределения общего времени , которое потребуется для включения двигателя, найти его математическое ожидание и дисперсию.

Решение. Число попыток - дискретная случайная величина с воз-можными значениями Поэтому общее время - тоже слу-чайная величина, подчиненная геометрическому закону распределения, и ее ряд распределения будет иметь вид

				…		…
				…		…

По свойствам математического ожидания и дисперсии

,

.

Пример. Имеется лампочек; каждая из них с вероятностью имеет дефект. Лампочка ввинчивается в патрон и включается ток; при этом дефектная лампочка сразу же перегорает и заменяется новой. Построить ряд распределения числа лампочек , которое будет испробовано и найти веро-ятность того, что свет появится при третьем включении.

Решение. По условию Ряд распределения будет

	1	2	3	…		…
				…		…

.

3.4. Закон равномерного распределения вероятностей

Непрерывная случайная величина Х подчинена закону равномерного распределения вероятностей, если на интервале, которому принадлежат все возможные значения Х , плотность вероятностей постоянна и равна

График плотности вероятностей равномерно распределенной случайной величины Х и ее функции распределения F(x) показан на рисунке.

Обычно вместо параметров a и b используют математическое ожидание Х и половину ширины области возможных значений случайной величины.

Очевидно,

Дисперсия закона равномерного распределения .

Вероятность попадания равномерно распределенной случайной величи-ны на интервал , принадлежащий , равна

.

Пример. Поезда метрополитена идут с интервалом 2 мин. Пассажир вы-ходит на платформу в некоторый момент времени. Найти среднее значение Т ожидания поезда, его дисперсию и вероятность того, что пассажир уедет через 0,5 мин.

Решение. Т – случайная величина, равномерно распределенная в интер-вале (0,2). Следовательно,

Пример. Диаметр вала Х₁ , подчинен закону равномерной плотности распределения на участке (48; 52) мм. Диаметр отверстия D=51мм. Найти математическое ожидание и среднее квадратическое отклонение зазора между валом и отверстием и вероятность того, что вал войдет в отверстие.

Решение. По условию, b=52 мм,

Поэтому

, , .

3.5. Показательный (экспоненциальный ) закон распределения

Показательное распределение широко применяется в теории надеж-ности, в теории массового обслуживания.

Непрерывная случайная величина подчинена показательному закону распределения, если ее плотность вероятностей равна

Интегральная функция распределения показательного закона:

Графики и показаны на рисунке.

Вероятность попадания на конечный интервал случайной величи-ны, распределëнной по показательному закону, равна

Числовые характеристики показательного распределения

следовательно,

Поэтому математическое ожидание равно среднему квадратическому отклонению. Это равенство является характерным признаком показательного распределения.

Пусть - время безотказной работы элемента (непрерывная случайная величина), а - время, по прошествии которого происходит отказ. Тогда функция распределения определяет вероятность отказа за время . Поэтому вероятность противоположного события то есть вероятность безотказной работы за время будет равна

Эту функцию называют функцией надежности.

Показательному распределению с интегральной функцией

подчинена длительность безотказной работы системы на интервале времени ( - постоянная положительная величина, имеющая смысл интенсивности отказов).

Пример. Испытываются два независимо работающих элемента. Длитель-ность времени безотказной работы первого элемента имеет показательное распределение второго Найти вероятность того, что за время = 6 час. откажут оба элемента; оба элемента будут работать; откажет только один элемент.

Решение. Вероятность отказа первого элемента за 6 часов равна

Вероятность отказа второго элемента за то же время

Вероятность отказа двух элементов по теореме умножения вероятностей равна

Вероятности безотказной работы каждого элемента

Поэтому вероятность отказа только одного элемента будет равна

3.6. Нормальный закон распределения

Непрерывная случайная величина подчинена нормальному закону распределения (закону распределения Гаусса), если ее плотность вероятнос-тей равна

.

Здесь и -параметры, вероятностный смысл которых таков:

математическое ожидание. - среднее квадратическое отклонение нормально распределенной случайной величины X.

График плотности вероятностей нормально распределенной случайной величины (называемый нормальной или гауссовой кривой) покпзпн на рисунке.

Вероятность попадания нормально распределенной случайной величины на произвольный конечный интервал ( ) равна

где - функция Лапласа.

Функция Лапласа табулирована. При пользовании таблицами следует иметь в виду, что она нечетная:

Вероятность попадания нормально распределенной случайной величи-ны на интервал, симметричный относительно среднего значе­ния, равна

В частности, при Поэтому вероятность противоположного события: Такой ма-лой вероятностью можно пренебречь. На этом и базируется важное для при-ложений правило трех сигм:

Если случайная величина распределена по нормальному закону, то с ве-

роятностью, близкой к достоверности, можно считать, что практически все рассеивание укладывается на интервале от центра распределения, то есть можно пренебречь вероятностью попадания случай-ной величины вне интервала .

Пример. На станке изготовляется партия однотипных дета­лей. Длина детали X - случайная величина, распределенная по нормальному закону с параметрами Найти:

1) вероятность того, что длина наудачу взятой детали заклю­чена между 17,7 см и 18,4 см;

2) какое отклонение длины детали от номинального размера можно гарантировать с вероятностью 0,95 ?

3) в каких пределах будут заключены практически все длины деталей ?

Решение.

1).

2). Воспользуемся формулой . По условию . Поэтому или По таблице функции Лапласа ( см. приложение 2) находим , откуда .

Следовательно, или

3). По правилу трех сигм можно считать, что практически все длины деталей с вероятностью 0,9973 будут заключены в интервале , то есть , откуда .

Пример. Автомат штампует детали. Контролируется длина детали X, которая распределена по нормальному закону с математи­ческим ожиданием ( проектной длиной ), равным 60 мм. Фактическая длина изготовленных деталей не менее 58 мм и не более 62 мм. Найти вероятность того, что длина наудачу взятой детали:

а) больше 61 мм; б) меньше 60,5 мм.

Решение. Предварительно найдем неизвестный параметр нор­мального распределения из условия или

откуда и по таблицам функции Лапласа находим

Следовательно, Поэтому

,

.

4. ПРЕДЕЛЬНЫЕ ТЕОРЕМЫ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТИ

Предельные теоремы делятся на две группы. Теоремы первой группы, объединенные общим названием “закон больших чисел”, устанавливают условия, при которых среднее арифметическое случайных величин прибли-жается к некоторым неслучайным (детерминированным) величинам.

Теоремы второй группы, объединенные общим названием “централь-ная предельная теорема”, устанавливают условия, при которых закон распределения суммы случайных величин приближается к нормальному закону.

4.1. Закон больших чисел

Как показывает опыт, при некоторых сравнительно широких условиях сумма достаточно большого числа случайных величин почти утрачивает ха-рактер случайной величины и может быть предсказана с большой степенью определенности. Это, так называемое, свойство устойчивости массовых слу-чайных явлений объясняется тем, что случайные отклонения от среднего, неизбежные в каждом отдельном опыте, в массе опытов взаимно погаша-ются. Именно эта устойчивость средних значений и составляет физическое содержание закона больших чисел.

Основными теоремами закона больших чисел являются теоремы Чебышева и Бернулли. Их доказательство базируется на весьма общей лемме, известной под названием неравенства Чебышëва.

Неравенство Чебышëва

Вероятность того, что отклонение случайной величины Х от ее мате-матического ожидания М(х) по абсолютной величине меньше малого поло-жительного числа ε , больше или равна

.

Неравенство Чебышëва дает верхнюю оценку для вероятности откло-нения значений случайной величины от своего математического ожидания.

Пусть имеется последовательность независимых случайных величин

, , .

Говорят, что последовательность сходится по вероятности к вели-чине (случайной или неслучайной), если при любом имеет место равенство

.

Теорема Чебышëва

Если - последовательность попарно независимых случайных ве-личин, дисперсии которых равномерно ограничены одним и тем же посто-янным числом С : , то каково бы ни было малое положительное число , имеет место равенство

,

то есть при среднее арифметическое случайных величин

сходится по вероятности к их общему математическому ожиданию.

Хотя случайные отклонения отдельных величин X_k от своих матема-тических ожиданий могут быть существенны и разного знака (как больше, так и меньше нуля), но в среднем арифметическом (это тоже случайная величи-на), они взаимно погашаются. Поэтому при достаточно большом n среднее арифметическое значение случайных величин практически уже не случай-но и с вероятностью, близкой к достоверности, может приниматься в качестве приближенной оценки математического ожидания . Этим и объясняется рекомендуемый в практической деятельности способ много-кратного измерения изучаемой случайной величины с тем, чтобы получить ее значение, близкое к истинному.

Теорема Бернулли

Если в каждом из n независимых испытаний вероятность появления события постоянна, то с вероятностью, близкой к достоверности, можно ут-верждать, что при неограниченном увеличении числа испытаний относи-тельная частота W появления события сходится по вероятности к его веро-ятности Р:

.

Следовательно, теоремой Бернулли доказывается устойчивость отно-сительной частоты, которое раньше (см. пример с многократным подбра-сыванием монеты) рассматривалось как эмпирический факт.

Пример. Случайная величина Х имеет нормальное распределение с параметрами a, . Оценить по неравенству Чебышева . Срав-нить с точным значением этой вероятности.

Решение. Из неравенства Чебышева следует, что

В рассматриваемом случае , следовательно,

По точной формуле имеем

Пример 2. Событие А происходит в каждом опыте с вероятностью 0,2. Оценить /с помощью неравенства Чебышева/ вероятность того, что число появлений события А в 1000 независимых опытов будет заключено в преде-лах от 200 до 300.

Решение. Число появлений события А в 1000 независимых испыта-ний – случайная величина Х с математическим ожиданием

и дисперсией

Наибольшая разность между заданным числом появлений события А и его средним значением М(Х) равна

Применяя неравенство Чебышева, получим

Пример 3. Среднее значение длины детали 50 см, а дисперсия 0,1. Пользуясь неравенством Чебышева, оценить вероятность того, что случайно взятая деталь окажется по длине в поле допуска /не меньше 49,5 см и не больше 50,5 см/.

Решение. По условию .

Пример 4. Оценить вероятность того, что если Х – дискретная случайная величина, имеющая ряд распределения

	1	2	3
	0,5	0,3	0,2

Решение. Находим М(Х) и D(X)

Поэтому

4.2. Центральная предельная теорема

(теорема Ляпунова)

В отличие от закона больших чисел, объектом рассмотрения которого являются случайные величины, центральная предельная теорема рассматр-вает их законы распределения и устанавливает условия, при которых возникает нормальный закон распределения:

Если случайная величина Х представляет собой сумму большого числа взаимно независимых случайных величин, распределенных по различным законам, причем влияние каждой из них на всю сумму ничтожно мало, то Х имеет распределение, близкое к нормальному.

В частности, если - независимые случайные величи-ны, имеющие один и тот же закон распределения (не важно какой) с матема-тическим ожиданием М(Х) и D(X), то при неограниченном увеличении n закон распределения суммы неограниченно приближается к нормальному с параметрами .

Условия справедливости центральной предельной теоремы выполня-ются очень часто, например, в теории ошибок измерений, теории стрельбы и т.д., что и объясняет особую роль нормального закона.

В практических задачах центральная предельная теорема часто при-меняется для вычисления вероятности того, что сумма нескольких случайных величин окажется в заданных пределах.

Если -последовательность независимых случайных величин с математическими ожиданиями и дисперсиями , причем n достаточно велико, а величины сравнимы по поряд-ку своего влияния на сумму, то вероятность попадания случайной величины на интервал равна

,

где Ф(х) – функция Лапласа.

СОДЕРЖАНИЕ

Стр.

1. 1. СЛУЧАЙНЫЕ СОБЫТИЯ……………………………………… 3

1.1. Классическое определение вероятности………………… 3

1. Статистическое определение вероятности……………… 7

2. Геометрическое определение вероятности……………… 8

3. Алгебра событий………………………………………….. 9

4. Формула полной вероятности……………………………. 15

5. Формулы Бейеса…………………………………………… 17

6. Формула Бернулли………………………………………… 18

7. Локальная и интегральная теоремы Лапласа …………… 19

1. СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ…………………………………………… 23

   1. Функциональные характеристики случайной величины 25

   2. Числовые характеристики случайной величины…………. 31

2. ОСНОВНЫЕ ЗАКОНЫ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ СЛУЧАЙНЫХ

ВЕЛИЧИН………………………………………………………………... 36

1. Биномиальный закон распределения……………………… 36

2. Закон распределения Пуассона……………………………. 37

3. Геометрическое распределение……………………………. 39

4. Закон равномерного распределения вероятностей……….. 40

5. Показательный (экспоненциальный ) закон

распределения………………………………………………. 42

1. Нормальный закон распределения………………………… 44

1. ПРЕДЕЛЬНЫЕ ТЕОРЕМЫ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ……………48

   1. Закон больших чисел………………………………………...48

   2. Центральная предельная теорема (теорема Ляпунова)……51

РАСЧЕТНО-ГРАФИЧЕСКАЯ РАБОТА ПО ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ

ЛИТЕРАТУРА…………………………………………………………………

ПРИЛОЖЕНИЕ 1. Таблица значений функции ……………………...

ПРИЛОЖЕНИЕ 2. Таблица значений функции Лапласа…………………..

Таблица значений функции Лапласа

	Ф(x)		Ф(x)		Ф(x)		Ф(x)
0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.10 0.12 0.14 0.16 0.18 0.20 0.22 0.24 0.26 0.28 0.30 0.32 0.34 0.36 0.38 0.40 0.42 0.44 0.46 0.48 0.50 0.52 0.54 0.56 0.58 0.60 0.62	0.0000 0.0080 0.0160 0.0239 0.0319 0.0398 0.0478 0.0557 0.0636 0.0714 0.0793 0.0871 0.0948 0.1026 0.1103 0.1179 0.1255 0.1331 0.1406 0.1480 0.1554 0.1628 0.1700 0.1772 0.1844 0.1915 0.1985 0.2054 0.2123 0.2190 0.2257 0.2324	0.64 0.66 0.68 0.70 0.72 0.74 0.76 0.78 0.80 0.82 0.84 0.86 0.88 0.90 0.92 0.94 0.96 0.98 1.00 1.02 1.04 1.06 1.08 1.10 1.12 1.14 1.16 1.18 1.20 1.22 1.24 1.26	0.2389 0.2454 0.2517 0.2580 0.2642 0.2703 0.2764 0.2823 0.2881 0.2939 0.2995 0.3051 0.3106 0.3159 0.3212 0.3264 0.3315 0.3365 0.3413 0.3461 0.3508 0.3554 0.3599 0.3643 0.3686 0.3729 0.3770 0.3810 0.3849 0.3883 0.3925 0.3962	1.28 1.30 1.32 1.34 1.36 1.38 1.40 1.42 1.44 1.46 1.48 1.50 1.52 1.54 1.56 1.58 1.60 1.62 1.64 1.66 1.68 1.70 1.72 1.74 1.76 1.78 1.80 1.82 1.84 1.86 1.88 1.90	0.3997 0.4032 0.4066 0.4099 0.4131 0.4162 0.4192 0.4222 0.4251 0.4279 0.4306 0.4332 0.4357 0.4382 0.4406 0.4429 0.4452 0.4474 0.4495 0.4515 0.4535 0.4554 0.4573 0.4591 0.4608 0.4625 0.4641 0.4656 0.4671 0.4686 0.4699 0.4713	1.92 1.94 1.96 1.98 2.00 2.05 2.10 2.15 2.20 2.25 2.30 2.35 2.40 2.45 2.50 2.55 2.60 2.65 2.70 2.75 2.80 2.85 2.90 2.95 3.00 3.20 3.40 3.60 3.80 4.00 4.50 5.00	0.4726 0.4738 0.4750 0.4761 0.4772 0.4798 0.4821 0.4842 0.4861 0.4878 0.4893 0.4907 0.4918 0.4929 0.4938 0.4947 0.4953 0.4960 0.4965 0.4970 0.4974 0.4978 0.4981 0.4985 0.49865 0.49931 0.49966 0.49984 0.499928 0.499968 0.499997 0.499997

Характеристики

Список файлов книги