Лекции ОИ (МУ, Лекции и Семинары по ТФКП)

_{ОПЕРАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ}

1. Преобразование Лапласа и формула обращения

1.1. Интеграл Фурье

Пусть в промежутке функция удовлетворяет условиям Дирихле, а именно:

а) ограничена на этом отрезке;

б) кусочно-непрерывна на нем (имеет конечное число точек разрыва первого рода);

в) кусочно-монотонная (в частности, имеет лишь конечное число экстремумов).

Тогда, как известно из теории тригонометрических рядов, функция может быть на этом отрезке представлена сходящимся к ней тригонометрическим рядом

. (1.1)

По теореме Дирихле:

1. в точках непрерывности сумма ряда равна значению функции;

2. в точках разрыва сумма ряда равна , а на концах промежутка , то есть при и равна .

Коэффициенты ряда (1.1) определяются по формулам Эйлера-Фурье:

(1.2)

Так как косинус есть функция четная, а синус – функция нечетная, то , , формулу (1.1) можно записать в виде или, с учетом формул (1.2),

,

откуда

. (1.3)

Обозначим

, (1.4)

приведем формулу (1.3) к виду:

. (1.5)

Если в промежутке функция абсолютно интегрируема, т.е.

, (1.6)

где - конечное число, то переходя в равенстве (1.5) к пределу при и замечая, что , получаем формулу: , или

. (1.7)

Интеграл, стоящий в правой части равенства (1.7), называется интегралом Фурье.

Замечая, далее, что

(1.8)

(т.к. - является нечетной функцией аргумента ) преобразуем формулу (1.7)

,

откуда

. (1.9)

Интеграл, стоящий в правой части формулы (1.9), называется интегралом Фурье в комплексной форме.

1.2. Преобразование Лапласа и формула обращения

Докажем теперь, что если функция не интегрируема абсолютно, удовлетворяет условиям:

, (1.10)

Где и - некоторые постоянные положительные числа, то при

(11.10а)

функцию

(1.10б)

можно представить интегралом Фурье:

. (1.10в)

В самом деле, если условия (1.10) и (1.10а) выполняются, то

Таким образом, в интервале функция оказывается абсолютно интегрируемой, что и доказывает возможность представления ее в этом интервале интегралом Фурье (1.10в).

Заменяя в равенстве (1.10в) на (формула (1.10б)):

и умножая обе части этого равенства на , получим

,

обозначим

. (1.11)

Так как при ; при , то последняя формула для принимает вид:

, (1.12)

это преобразованный интеграл Фурье.

Если положить:

, (1.13)

То

. (1.14)

В операционном исчислении формула (1.13) является основной. Формула эта, в правой части которой стоит так называемый интеграл Лапласа, определяет преобразование Лапласа, при помощи которого функция вещественного независимого переменного преобразуется в функцию комплексного независимого переменного .

Функцию называют начальной функцией или оригиналом, а функцию , получаемую из при помощи преобразования Лапласа, изображением функции .

Легко доказать, что, если функция удовлетворяет условиям Дирихле и условиям (1.10), то изображение представляет собой функцию, регулярную при всех значениях комплексного независимого переменного , удовлетворяющих неравенствам (1.10а), то есть регулярную по всей полуплоскости, расположенной справа от прямой .

Формула (1.14), в правой части которой стоит так называемый интеграл обращения, определяет преобразование обратное преобразованию Лапласа, то есть преобразование, при помощи которого функция комплексного переменного преобразуется в функцию вещественного независимого переменного .

2. Основные теоремы и формулы операционного исчисления

2.1. Оригинал и изображение

В качестве исходной формулы для дальнейших выводов возьмем формулу

, (2.1)

определяющую преобразование Лапласа.

Функция вещественного независимого переменного , стоящая в формуле (2.1) под знаком интеграла Лапласа, называется начальной функцией или оригиналом ; функция комплексного независимого переменного называется изображением функции .

Формула (2.1), связывающая изображение с оригиналом, часто заменяется символической формулой:

, ,

п онимаемой в том смысле, что функция является оригиналом для функции , или формулой

, ( ,

показывающей, что функция является изображением.

Стрелка в этих символических формулах своим острием всегда должна быть направлена к оригиналу.

Иногда для изображения связи между оригиналом и изображением пользуются символическими формулами

и

.

Изображения имеют только те функции, для которых имеет смысл интеграл Лапласа (2.1).

Примером функции, не имеющей изображения, может служить функция . Точно так же не всякая функция комплексного переменного может рассматриваться как изображение некоторой функции вещественного переменного. Например, не имеет оригинала функция , так как полюсы этой функции распределяются по всей вещественной оси. То есть на плоскости нет ни одной прямой, параллельной мнимой оси, справа от которой эта функция была бы регулярной.

Мы будем рассматривать только такие начальные функции , которые удовлетворяют трем условиям:

1) при ,

2) при ,

где и - некоторые положительные постоянные числа,

1. на любом конечном отрезке для функции выполняются условия Дирихле.

Кроме того, всегда будем считать, что в формуле (1)

;

при этих условиях интеграл Лапласа, определяющий функцию , будет сходиться (и притом равномерно), во всей полуплоскости, ограниченной прямой . Функции, удовлетворяющие всем этим условиям, называются «изображенными по Лапласу».

Единичная функция

Важную роль в операционном исчислении играет функция, равная нулю при и равная единице при ; эта функция называется единичной функцией и обозначается :

.

Изображение единичной функции легко определяется по формуле (2.1):

,

Следовательно, при , то есть

.

Основные свойства изображений

Отметим простейшие свойства изображений.

1. Умножение начальной функции (оригинала) на постоянную величину влечет за собой умножение на ту же постоянную изображения:

, если и

, т.к. , ; .

1. Изображение алгебраической суммы конечного числа начальных функций равно алгебраической сумме изображений этих функций:

, где

.

1. Изображение любой линейной комбинации начальных функций равно той же линейной комбинации изображений этих функций:

, где

.

Доказательство этих свойств основано на применении простейших теорем об определенном интеграле.

Отметим, что при использовании операционного исчисления в практических целях обычно обращаются к так называемым каталогам, содержащим некоторое число начальных функций и их изображений, определенных заранее путем непосредственного вычисления интеграла Лапласа или при помощи соответствующих теорем и формул (вывод некоторых из них будет дан ниже). Ясно, что такие каталоги могут быть использованы и для практического решения обратной задачи, состоящей в определении начальной функции по данному изображению этой функции.

2.2. Дифференцирование и интегрирование начальной функции (оригинала) и изображения

В дальнейшем при формулировке и доказательстве теорем операционного исчисления мы всегда будем считать, что все рассматриваемые начальные функции:

1. изображаемы по Лапласу;

2. нужное число раз дифференцируемы;

3. имеют производные, также изображаемы по Лапласу.

Оригинал будем обозначать малыми буквами, а изображения – соответствующими большими буквами (например, ,

и т.д.).

1. Дифференцирование оригинала

Допустим, что оригинал дифференцируемая функция и его производная также является оригиналом, причем

при .

Пусть , . Найдем связь между и . По определению изображения имеем

.

Выберем здесь так, чтобы одновременно выполнялись неравенства

. Выполняя в правой части интегрирование по частям, причем , находим

.

Таким образом, мы получили следующий результат: из соотношения следует соотношение

. (2.2)

Предполагая, что оригинал дифференцируем раз и что также является оригиналом, методом индукции из формулы (2.2) получим следующий результат:

Из соотношения следует соотношение

. (2.3)

Например, зная, что , имеем

; .

1. Интегрирование оригинала

Примем без доказательства, что если - оригинал, то оригиналом будет служить и .

Найдем теперь изображение .

Так как , то полагая , по формуле (2.2) находим связь между и :

,

отсюда . Мы пришли к следующему результату:

Из соотношения следует