mat_task (Решение математических задач в среде Excel)
Описание файла
Документ из архива "Решение математических задач в среде Excel", который расположен в категории "". Всё это находится в предмете "информатика" из , которые можно найти в файловом архиве . Не смотря на прямую связь этого архива с , его также можно найти и в других разделах. Архив можно найти в разделе "рефераты, доклады и презентации", в предмете "информатика, программирование" в общих файлах.
Онлайн просмотр документа "mat_task"
Текст из документа "mat_task"
1.Решение математических задач в среде Excel
1.1.Численное дифференцирование
Известно, что численными приближенными методами производная функции в заданной точке может быть вычислена с использованием конечных разностей. Выражение, записанное в конечных разностях, для вычисления производной функции одного переменного имеет вид:
Д
ля вычисления производной в Excel будем использовать приведенную зависимость.
Рассмотрим методику вычисления производной на примере упражнения.
Допустим требуется найти производную функции Y= 2x3 + x2 в точке x=3. Производная, вычисленная аналитическим методом, равна 60.
Для вычисления производной выполните следующие действия:
-
т
абулируйте заданную функцию в окрестности точки х=3 с достаточно малым шагом, например 0,001 (см рис.)
-
в ячейку С2 введите формулу вычисления производной. Здесь ячейка В2 содержит значение хк+1, ячейка А2 - хк.
-
буксировкой скопируйте формулу до строки 7, получим значения производных в точках табуляции аргумента.
Для значения х =3 производная функции равна значению 60,019, что близко к значению, вычисленному аналитически.
1.2.Численное вычисление определенных интегралов
Д
ля численного вычисления определенного интеграла методом трапеций используется формула:
Методику вычисления определенного интеграла в Excel с использованием приведенной формулы рассмотрим на примере.
Пусть требуется вычислить определенный интеграл
Величина интеграла, вычисленная аналитически равна 9. Для численного вычисления величины интеграла с использованием приведенной формулы выполните следующие действия:
-
табулируйте подинтегральную функцию в диапазоне изменения значений аргумента 0 – 3 (см. рис.).
-
в ячейку С3 введите формулу =(A3-A2)*B2+(A3-A2)*(B3-B2)/2+C2, которая реализует подинтегральную функцию.
-
С
копируйте буксировкой формулу, записанную в ячейке С3 до значения аргумента х = 3. Вычисленное значение в ячейке С17 и будет величиной заданного интеграла - 9.
1.3.Нахождение экстремумов функций с помощью инструмента Поиск решения
Если функция F(x) непрерывна на отрезке [a, b] и имеет внутри этого отрезка локальный экстремум, то его можно найти используя надстройку Excel Поиск решения.
Рассмотрим последовательность нахождения экстремума функции на примере следующего упражнения.
Пусть задана неразрывная функция Y= X2+X +2. Требуется найти ее экстремум (минимальное значение).
Для решения задачи выполните действия:
-
В ячейку А2 рабочего листа введите любое число принадлежащее области определения функции, в этой ячейке будет находиться значение Х;
-
В ячейку В2 введите формулу, определяющую заданную функцию. Вместо переменной Х в этой формуле должна быть ссылка на ячейку А2: =A2^2 + A2 +2
-
Выполните команду меню Сервис/Поиск решения;
-
Настройте параметры инструмента Поиск решения: число итераций – 1000, относительная погрешность 0,00001.
-
в поле Установить целевую ячейку укажите адрес ячейки, содержащей формулу ( А2), установите переключатель Минимальному значению, в поле Изменяя ячейки введите адрес ячейки, содержащей Х (А2);
-
Щелкните на кнопке Выполнить. В ячейке А2 будет помещено значение Х функции, при котором она имеет минимальное значение, а в ячейке В2 – минимальное значение функции.
Обратите внимание, что в окне Поиск решения можно устанавливать ограничения. Их целесообразно использовать, если функция многоэкстремальна, а нужно найти экстремум в заданном диапазоне изменения аргумента.
1.4.Решение систем линейных уравнений
1.4.1.Встроенные функции для работы с матрицами
В библиотеке Excel в разделе математических функций есть функции для выполнения операций над матрицами (табл.1.1).
Таблица 1.1
Русифицированное имя функции | Англоязычное имя функции | Выполняемое действие |
МОБР (параметр) | MINVERSE (parametr) | обращение матрицы |
МОПР (параметр) | MDETERM (parametr) | вычисление определителя матрицы |
МУМНОЖ (список параметров) | MMULT (parametrlist) | Умножение матриц |
Параметрами функций, приведенных в таблице, могут быть адресные ссылки на массивы, содержащие значения матриц, или имена диапазонов и выражения, например
МОБР (А1: B2) или МОПР (матрица_1).
1.4.2.Решение систем линейных уравнений
Известно, что система линейных уравнений в матричном представлении записывается в виде:
AX=B.
Решение такой системы записывается в виде
X=A-1B,
Где A-1 –матрица, обратная по отношению к А.
1.4.3.Пример решения системы линейных уравнений:
П
усть система уравнений задана матрицами:
Для решения задачи выполните действия:
-
Выделите диапазон размерностью 2 х 2 и присвойте ему имя А;
-
Выделите диапазон размерностью 1 х 2 и присвойте ему имя В;
-
Выделите диапазон размерностью 1 х 2 и присвойте ему имя Х;
-
Используя список имен выделите диапазон А и введите в него значения элементов матрицы А;
-
Используя список имен выделите диапазон В и введите в него значения элементов вектора В;
-
Используя список имен выделите диапазон Х для помещения результата решения системы;
-
В выделенный диапазон Х введите формулу
=МУМНОЖ(МОБР(А);В);
-
Укажите Excel, что выполняется операция над массивами, для этого нажмите комбинацию клавиш ++, в ячейках диапазона Х будет получен результат: х1=2,16667, х2= - 1,33333
Чтобы выполнить проверку полученных результатов достаточно перемножить исходную матрицу на вектор результата, итогом этой операции является вектор свободных членов.
Решите систему уравнений вида AX=B и выполните проверку решения
1.5.Решение нелинейных уравнений методом подбора параметра
Используя возможности Excel можно находить корни нелинейного уравнения в допустимой области определения переменной. Последовательность операций нахождения корней следующая:
-
Уравнение представляется в виде функции одной переменной;
-
Производится табулирование функции в диапазоне вероятного существования корней;
-
По таблице фиксируются ближайшие приближения к значениям корней;
-
Используя средство Excel Подбор параметра, вычисляются корни уравнения с заданной точностью.
Рассмотрим последовательность отыскания корней нелинейного уравнения на примере.
Требуется найти все корни уравнения X3-0,01X2-0,7044X+0,139104=0 на отрезке [-1 ; 1]. Правая часть уравнения представлена полиномом третьей степени, следовательно, уравнение может иметь не более трех корней.
-
представим уравнение в виде функции
Y = X3-0,01X2-0,7044X+0,139104
Известно, что корни исходного уравнения находятся в точках пересечения графика функции с осью Х.
-
Для локализации начальных приближений необходимо определить интервалы значений Х, внутри которых значение функции пересекает ось абсцисс, т.е. функция меняет знак. С этой целью табулируем функцию на отрезке [–1;+1] с шагом 0,2, получим табличные значения функции. Из полученной таблицы находим, что значение функции трижды пересекает ось Х, следовательно, исходное уравнение имеет на заданном отрезке все три корня.
-
Анализ таблицы показывает, что функция меняет знак в следующих интервалах значений аргумента Х: (-1;-0,8), (-0,2;0,4) и (0,6;0,8). Поэтому в качестве начальных приближений возьмем значения Х: -0,8; -0,2 и 0,6 .
-
На свободном участке рабочего листа, как показано на рисунке, в ячейки А15: A17 введите начальные приближения, а соответствующие ячейки столбца В скопируйте формулу.
-
Выполните команду меню Сервис/Параметры, во вкладке Вычисления установите относительную погрешность вычислений E=0,00001, а число итераций N=1000, установите флажок Итерации.
-
Выполните команду меню Сервис/Подбор параметра. В диалоговом окне заполните следующие поля:
Установить в ячейке: в поле указывается адрес ячейки, в которой записана формула правой части функции;
Значение: в поле указывается значение, которое должен получить полином в результате вычислений, т.е. правая часть уравнения (в нашем случае 0);
Изменяя значение: в поле указывается адрес ячейки (где записано начальное приближение), в которой будет вычисляться корень уравнения и на которую ссылается формула.
После щелчка на ОК получим значение первого корня: -0,92.
Выполняя последовательно операции аналогичные предыдущим, вычислим значения остальных корней: -0,209991 и 0,720002.
1.6.Решение систем нелинейных уравнений
Применяя надстройку Excel Поиск решения можно решать системы нелинейных уравнений. Предварительно система уравнений должна быть приведена к одному уравнению. Рассмотрим последовательность решения на примере упражнения.
Д
ана система двух уравнений:
Требуется найти все корни приведенного уравнения для диапазона значений х и y [-3; 3].
Шаг 1. Приведем систему к одному уравнению. Пара (x, y) является решением системы тогда и только тогда, когда она является решением следующего уравнения с двумя неизвестными:
(x2 + y2 – 3)2 + (2x + 3y – 1)2 = 0
Шаг 2. Для решения последнего уравнения необходимо найти начальные приближения, для этого табулируем выражение, стоящее в левой части как функцию по двум переменным x и y. Для табуляции функции выполните следующие действия:
-
В столбец А введите последовательность значений Х с шагом 0,5, а строку 3 – последовательность значений У также с шагом 0,5.
-
Присвойте диапазонам значений Х и У имена Х и У, соответственно.
-
Выделите диапазон ячеек, в котором будут вычисляться значения функции (B4:N16).
-
В выделенный диапазон введите формулу
=(Х^2+Y^2-3)^2+(2*Х+3*Y-1)^2.
-
Нажав комбинацию клавиш [Ctrl]+[Shift]+[Enter] выполните операцию над выделенным массивом. В выделенном диапазоне появятся вычисленные значения функции.
Шаг 3. Найдем начальные приближения. Поскольку табулируемая функция задает поверхность, то начальные приближения следует искать во впадинах, т.е. в точках, где функция принимает наименьшие значения. На рисунке эти точки затемнены. Начальными приближениями являются пары (-1;1) и (1,5; -0,5).
Введите значения найденных приближений в смежные ячейки рабочего листа ( см. рис.). Над столбцами сделайте надписи XX и YY, которые будут выполнять в формулах роль меток. Обратите внимание, что мы уже использовали имена Х и Y, поэтому имена новых меток должны отличаться.
Шаг 4. В ячейку строки, в которой записана первая пара Х и У введите формулу, вычисляющую значение функции:
=(XX^2+YY^2-3)^2+(2*XX+3*YY-1)^2
и скопируйте ее в следующую строку.
Шаг 4. Установите курсор на ячейку, в которой записана формула и выполните команду меню Сервис/Поиск решения. Выполните настройку параметров инструмента Поиск решения: Предельное число итераций – 1000, относительная погрешность 0,000001.
В окне Поиск решения в качестве целевой ячейки установите адрес ячейки, содержащей формулу, взведите переключатель Минимальному значению, в поле Изменяя ячейки укажите адрес диапазона, содержащего начальные приближения и щелкните на ОК. В ячейках, где хранились начальные приближения будет получена первая пара корней.
Повторите такие же операции для второй пары приближений.