Для определения неизвестных коэффициентов (a, b, c) запишем систему уравнений, подставив известные значения абсцисс и ординат точек A, B, C.

(2)

В матричном виде уравнение примет вид

[A]  C = P (3)

(4)

С ледовательно, решение системы сводится к определению обратной матрицы

(5)

Р ешение задачи с использованием электронного табличного процессора Excel

2.1.1Определение вида функции

1. Вводим значения исходной матрицы [A] в ячейки А1:C3

4	-2	1
1	-1	1
36	6	1

и вектора свободных членов Р в ячейки E1:E3 таблицы Excel.

4

5

2

2. Вычисляем обратную матрицу [A]^-1.

Выделяем область формирования обратной матрицы А5:C7 и в командную строку вводим формулу ее нахождения

= МОБР (А1:C3) (6)

Ввод формулы завершаем одновременным нажатием клавиш [Ctrl]+[Shift]+[Enter]

0,1	-0,1	0
-0,6	0,6	0,1
-0,8	1,7	0

3. Умножаем матрицу [A]^-1 на вектор Р.

Выделяем область формирования вектора неизвестных коэффициентов с E5:E7 и в командную строку вводим формулу перемножения матриц

= МУМНОЖ (А5:С7; D1:D3) (7)

Ввод формулы завершаем одновременным нажатием клавиш [Ctrl]+[Shift]+[Enter]

Получаем вектор неизвестных коэффициентов

E5	-0,2
E6	0,5
E7	5,6

Таким образом, парабола, проходящий через точки A(-2;4), B(-1;5), C(6;2), имеет вид

y = - 0,2x² + 0,5x + 5,6 (8)

2.1.2Построение графика функции

1. Задаем интервал изменения аргумента, включающий заданные точки в ячейках таблицы A9:I9

-2

-1

0

1

2

3

4

5

6

2. Найденная функция (8) вводится в ячейку А10

= -0,2*СТЕПЕНЬ (A9;2)+0,5*A9+5,6 (9)

3. Вводим формулу для определения значения функции для всех значений аргумента в ячейки A10:I10 путем растягивания ячейки А10

4

5

5,6

5,9

5,9

5,4

4,6

3,5

2

4. Для упрощения восприятия дальнейшего построения графика функции ограничимся значениями с одним знаком после запятой.

5. Определяем место размещения (ячейка H12) и тип диаграммы (график по точкам без маркеров со сглаженной линией)

6. Для нового ряда исходных данных задается:

Имя: График,

Значения по Х: =: Лист1!$A$9:$I$9,

Значения по Y: = Лист 1!$A$10:$I$10,

Требуемые установки диалогового окна "Параметры диаграммы"

• названия диаграммы – нет,

• названия осей X и Y – нет,

• линии сетки – нет,

• оси X и Y – есть,

• легенды – нет,

• ось Y пересекается с осью Х в точке с абсциссой 0,

• расстояние между делениями по осям равно 1,

• таблицы данных – нет,

• подписи значений – нет

7. Созданную диаграмму через буфер обмена вставляем в пояснительную записку

Рис. 1 График функции, проходящей через заданные точки А (-2;4), B(-1;5), C(6;2) и соответствующий формуле (9).

2.1.3Редактирование графика функции

Изменение диаграммы производятся в Excel.

1. Вызывается диалоговое окно “Исходные данные”, при помощи которого создаются новые ряды данных точечной диаграммы с маркерами.

Имя: Точка 1.

Значение по X: Лист1!$A$9,

Значение по Y: Лист1!$A$10,

Имя: Точка 2.

Значение по X: Лист1!$B$9,

Значение по Y: Лист1!$B$10,

Имя: Точка3.

Значение по X: Лист1!$I$9,

Значение по Y: Лист1!$I$10.

Требуемые установки диалогового окна "Параметры диаграммы" аналогичны ряду исходных данных "График".

1. 
   Отредактированную диаграмму через буфер обмена вставляем в пояснительную записку

Рис. 2 График функции, проходящей через заданные точки А (-2;4), B(-1;5), C(6;2), с нанесенными маркерами и соответствующий формуле (9).

3Задача № 2

Используя формулы численного интегрирования (прямоугольников "с избытком" и "с недостатком", трапеций, парабол), определить площадь фигуры, ограниченной построенной кривой, осью абсцисс 0Х, и прямыми, проходящими через заданные крайние точки и перпендикулярными оси 0Х. На основании проведенного анализа результатов сделать вывод о предпочтительности применения одной из формул в данном конкретном случае.

3.1Теоретический подход к решению задачи

Для решения поставленной задачи необходимо провести интегрирование полученной функции (9) в пределах отрезка [-2;6], ограниченного заданными крайними точками A и C.

П лощадь фигуры, ограниченной построенной кривой, осью абсцисс 0Х, и прямыми, проходящими через заданные крайние точки А(-2;4), C(6;2) и перпендикулярными оси 0Х, равна:

(11)

Тогда точное решение данного интеграла (11) будет равно

(12)

Точная площадь фигуры

S = 37,87 ед²

Для определения площади фигуры с помощью формул численного интегрирования в пределах отрезка (-2; 6) проведем по семи точкам.

П лощадь фигуры по формуле прямоугольников "с недостатком"

(13)

П лощадь фигуры по формуле прямоугольников "с избытком"

(14

П лощадь фигуры по формуле трапеций

(15

Площадь фигуры по формуле парабол

(16)

где h- шаг интегрирования определяется по формуле

3.2Решение задачи с использованием электронного табличного процессора Excel

1. На том же листе Excel в ячейках A12:G20 создадим таблицу

Таблица 3

	A	B	C	D	E	F	G
12						Площадь	% ошибки
13	Точное решение
14	Формула прямоугольников с "недостатком"
15	Формула прямоугольников с "избытком"
16	Формула трапеций
17	Формула парабол
18
19
20	дает наиболее низкий процент ошибки равный

2. В ячейку F13 вводим формулу точного решения (12)

=D35*СТЕПЕНЬ(D33;3)/3+D36*СТЕПЕНЬ(D33;2)/2+D37*D33-(D35*СТЕПЕНЬ(D34;3)/3+D36*СТЕПЕНЬ(D34;2)/2+D37*D34) (17)

3. В ячейку F14 вводим формулу прямоугольников "с недостатком" (13)

=h * СУММ (D21:D28) (18)

4. В ячейку F14 вводим формулу прямоугольников "с избытком" (14)

=h*СУММ (D22:D29) (19)

5. В ячейку F16 вводим формулу трапеций (15)

=h/2*(D21+2*D22+2+D23+2*D24+2*D25+2*D26+2*D27+2*D28+D29) (20)

6. В ячейку F17 вводим формулу парабол (16)

=h/3*(D21+2*(D22+D24+D26+D28)+4*(D23+D25+D27)+D29) (21)

7. В соответствующие ячейки G14:G17 введем формулы определения погрешности измерений по различным формулам в процентах, например, для ячейки G14 (процент ошибки при определении площади по формуле прямоугольников "с недостатком"

=ABS(E35-E34)/E34 (22)

8. Для нахождения предпочтительного варианта вычисления воспользуемся функцией, определяющей минимальное значение в списке аргументов (ячеек G14:G17). Тогда для ячейки G20 получим

=МИН(G14:G17)

(23)

9. Полученную таблицу через буфер обмена вставляем в пояснительную записку

Таблица 4

11. Итого, в нашем случае, минимальный процент ошибки дает вычисление интеграла по формуле прямоугольников с избытком. Ошибка составляет 0,09%.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Выполнив данную работу, мы научились:

1. Создавать шаблоны в текстовом редакторе Word.

2. Создавать текстовые документы, оформляемые в соответствии с требованиями ГОСТ.

3. Подтвердили знания, необходимые для решения интегралов точным и приближенными методами (по формулам прямоугольников "с избытком" и "с недостатком", трапеций, парабол).

4. Научились работать с электронным табличным процессором Excel (работать с матрицами, строить диаграммы, пользоваться встроенными функциями и т.п.).

5. Познакомились на практике с тесным взаимодействием программ Word и Excel, входящих в пакет Microsoft Office.