Пример(генеалогическое дерево): На рисунке показано библейское генеалогическое дерево.

Эквивалентные определения дерева.

1. Связный граф называется деревом, если он не имеет циклов.

2. Содержит N-1 ребро и не имеет циклов.

3. Связный и содержит N-1 ребро.

4. Связный и удаление одного любого ребра делает его несвязным.

5. Любая пара вершин соединяется единственной цепью.

6. Не имеет циклов и добавление одного ребра между любыми двумя вершинами приводит к появлению одного и только одного цикла.

Раскраска графов

Раскраской графа G = (V,E) называется отображение D: V N . Раскраска называется правильной, если образы любых двух смежных вершин различны: D (U) ≠ D (V), если (U,V)  I. Хроматическим числом графа называется минимальное количество красок, необходимое для правильной раскраски графа.

Теорема 5.

Граф является планарным тогда и только тогда, когда он не содержит подграфа, изоморфного одному из следующих (графы Понтрягина - Куратовского).

Граф К33 Граф К5

Свойство: В любом планарном графе существует вершина, степень которой<=5.

Способы задания графов:

1 . Геометрический:

2. Матрица смежности:

	a	В	c	d
A	0	1	1	0
B	1	0	1	0
C	1	1	0	1
D	0	0	1	0

Матрица смежности - квадратная матрица, размерности, равной количеству вершин. При этом а[ i, j ]-целое число, равное количеству рёбер, связывающих

i-ю, j-ю вершину. Если в графе нет петель, то диагональные элементы равны 0 .

Если рёбра не повторяются, то все элементы 0 или 1. Если граф неориентированный, то матрица симметрична.

3. Матрица инцидентности:

	a	В	с	d
A	1	1	0	0
B	0	1	1	0
C	1	0	1	0
D	0	0	1	1

4. Явное задание графа как алгебраической системы:

<{a,b,c,d},{u,v,w,x}; {(u,a),(u,b),(v,b),(v,c),(w,c),(w,a),(x,c), (x,d)}>.

Так как мы рассматриваем только простые графы, граф нам проще определять как модель, носителем которой является множество вершин, а отношение – бинарное отношение смежности вершин. Тогда данный граф запишется как <{a,b,c,d}; {(a,b), (b,a),(b,c),(c,b),(a,c),(c,a),(c,d),(d,c)}>. В таком представлении ребру соответствуют две пары вершин (v₁,v₂) и (v₂,v₁), инцидентных данному ребру. Чтобы задать такое представление, достаточно для каждого ребра указать двухэлементное множество вершин – его мы и будем отождествлять с ребром. Для данного графа рёбра задаются множеством {{a,b},{b,c},{a,c},{c,d}} и граф мы будем записывать как пару (V,E), где V – множество вершин, а E – множество рёбер.

5. Наконец, граф можно задать посредством списков.

Например:

вариант 1: списком пар вершин, соединенных ребрами (или дугами);

вариант 2: списком списков для каждой вершины множества смежных с ней вершин.

2. Задачи на графах.

2.1. Описание различных задач на графах.

Развитие теории графов в основном обязано большому числу всевозможных приложений. По-видимому, из всех математических объектов графы занимают одно из первых мест в качестве формальных моделей реальных систем.

Графы нашли применение практически во всех отраслях научных знаний: физике, биологии, химии, математике, истории, лингвистике, социальных науках, технике и т.п. Наибольшей популярностью теоретико-графовые модели используются при исследовании коммуникационных сетей, систем информатики, химических и генетических структур, электрических цепей и других систем сетевой структуры.

Далее перечислим некоторые типовые задачи теории графов и их приложения:

- Задача о кратчайшей цепи

· замена оборудования

· составление расписания движения транспортных средств

· размещение пунктов скорой помощи

· размещение телефонных станций

- Задача о максимальном потоке

· анализ пропускной способности коммуникационной сети

· организация движения в динамической сети

· оптимальный подбор интенсивностей выполнения работ

· синтез двухполюсной сети с заданной структурной надежностью

· задача о распределении работ

- Задача об упаковках и покрытиях

· оптимизация структуры ПЗУ

· размещение диспетчерских пунктов городской транспортной сети

- Раскраска в графах

· распределение памяти в ЭВМ

· проектирование сетей телевизионного вещания

- Связность графов и сетей

· проектирование кратчайшей коммуникационной сети

· синтез структурно-надежной сети циркуляционной связи

· анализ надежности стохастических сетей связи

- Изоморфизм графов и сетей

· структурный синтез линейных избирательных цепей

· автоматизация контроля при проектировании БИС

- Изоморфное вхождение и пересечение графов

· локализация неисправности с помощью алгоритмов поиска МИПГ

· покрытие схемы заданным набором типовых подсхем

- Автоморфизм графов

· конструктивное перечисление структурных изомеров для

производных органических соединений

· синтез тестов цифровых устройств

2.2. Нахождение кратчайших путей в графе

Начальные понятия

Будем рассматривать ориентированные графы G = V, E, дугам которых приписаны веса. Это означает, что каждой дуге u, v E поставлено в соответствие некоторое вещественное число a (u, v), называемое весом данной дуги.

Нас будет интересовать нахождение кратчайшего пути между фиксированными вершинами s, t V. Длину такого кратчайшего пути мы будем обозначать d (s, t) и называть расстоянием от s до t (расстояние, определенное таким образом, может быть отрицательным). Если не существует ни одного пути из s в t, то полагаем d (s, t) = ╔ . Если каждый контур нашего графа имеет положительную длину, то кратчайший путь будет всегда элементарным путем, т.е. в последовательности v₁,..., v_p не будет повторов.

С другой стороны, если в графе существует контур отрицательной длины, то расстояние между некоторыми парами вершин становится неопределенным, потому что, обходя этот контур достаточное число раз, мы можем показать путь между этими вершинами с длиной, меньшей произвольного вещественного числа. В таком случае, можно было бы говорить о длине кратчайшего элементарного пути, однако задача, поставленная таким образом, вероятно будет значительно более сложной, так как, в частности, она содержит в себе задачу существования гамильтонова пути.

Можно дать много практических интерпретаций задачи о кратчайших путях. Например, вершины могут соответствовать городам, а каждая дуга - некоторому пути, длина которого представлена весом дуги. Мы ищем затем кратчайшие пути между городами. Вес дуги также может соответствовать стоимости (или времени) передачи информации между вершинами. В таком случае мы ищем самый дешевый (или самый скорый) путь передачи информации. Еще одну ситуацию получаем, когда вес дуги u, v равен вероятности p(u, v) безаварийной работы канала передачи информации. Если предположить, что аварии каналов не зависят друг от друга, то вероятность исправности пути передачи информации равна произведению вероятностей составляющих его дуг. Задачу нахождения наиболее надежного пути легко можно свести к задаче о кратчайшем пути, заменяя веса p(u, v) на a (u, v) = - lg p(u, v).

Сначала рассмотрим алгоритмы нахождения расстояния между вершинами, а не самих путей. Однако, зная расстояние, мы можем при условии положительной длины всех контуров легко определить кратчайшие пути. Для этого достаточно отметить, что для произвольных s, t  V (s , t) существует вершина v, такая что d (s, t) = d (s, v) + a (v, t).

Действительно, таким свойством обладает предпоследняя вершина произвольного кратчайшего пути из s в t.

Далее мы можем найти вершину u, для которой d (s, v) = d (s, u) + a (u, v), и т.д.

Из положительности длины всех контуров легко следует, что созданная таким образом последовательность t, v, u, ... не сожержит повторений и оканчивается вершиной s.

Очевидно, что она определяет (при обращении очередности) кратчайший путь из s в t.

Таким образом, мы получаем следующий алгоритм:

Алгоритм нахождения кратчайшего пути

Данные: Расстояния D[v] от фиксированной вершины s до всех остальных вершин v  V, фиксированная вершина t, матрица весов ребер, A[u, v], u, v V.

Результаты: СТЕК содержит последовательность вершин, определяющую кратчайший путь из s в t.

begin

CTEK :=  ; CTEK  t; v:= t;

while v ╧ s do

begin

u := вершина, для которой D[v] = D[u] + A[u, v];

CTEK  u;

v:= u

end

end.
 
 

Пусть V, E -ориентированный граф,  V  = n,  E  = m. Если выбор вершины u происходит в результате просмотра всех вершин, то сложность нашего алгоритма - O(n²). Если мы просматриваем только список ПРЕДШ[v], содержащий все вершины u, такие что u  v, то в этом случае сложность будет O(m).

Отметим, что в случае положительных весов ребер задача о кратчайшем пути в неориентированном графе легко сводится к аналогичной задаче для некоторого ориентированного графа. С этой целью достаточно заменить каждое ребро {u, v}двумя дугами  u, vи v, u , каждая с таким же весом, что и {u, v}. Однако в случае неположительных весов это приводит к возникновению контуров с неположительной длиной.

Далее будем всегда предполагать, что G =  V, Eявляется ориентированным графом, V  = n, E  = m. В целях упрощения изложения и избежания вырожденных случаев при оценке сложности алгоритмов будем исключать ситуации, при которых «большинство» вершин изолированные.

Будем также предполагать, что веса дуг запоминаются в массиве A[u, v], u, v  V (A[u, v] содержит вес a (u, v)).
 

Кратчайшие пути от фиксированной вершины

Большинство известных алгоритмов нахождения расстояния между двумя фиксированными вершинами s и t опирается на действия, которые в общих чертах можно представить следующим образом: при данной матрице весов дуг A[u, v], u, v  V, вычисляются некоторые верхние ограничения D[v] на расстояния от s до всех вершин v V. Каждый раз, когда мы устанавливаем, что
D[u] + A[u, v] < D[v], оценку D[v] улучшаем: D[v] = D[u] + A[u, v].

Процесс прерывается, когда дальнейшее улучшение ни одного из ограничений невозможно.

Легко можно показать, что значение каждой из переменных D[v] равно тогда d (s, v) - расстоянию от s до v.

Заметим, что для того чтобы определить расстояние от s до t, мы вычисляем здесь расстояния от s до всех вершин графа.

Не известен ни один алгоритм нахождения расстояния между двумя фиксированными вершинами, который был бы существенным образом более эффективным, нежели известные алгоритмы определения расстояния от фиксированной вершины до всех остальных.

Описанная общая схема является неполной, так как она не определяет очередности, в которой выбираются вершины u и v для проверки условия минимальности расстояния. Эта очередности, как будет показано ниже, очень сильно влияет на эффективность алгоритма. Опишем теперь более детально методы нахождения расстояния от фиксированной вершины, называемой источником, его всегда будем обозначать через s, до всех остальных вершин графа.

Сначала представим алгоритм для общего случая, в котором предполагается только отсутствие контуров с отрицательной длиной. С эти алгоритмом обычно связывают имена Л.Р. Форда и Р.Е. Беллмана.

 

3. Программа определения кратчайшего пути в графе

3.1. Язык программирования Delphi.

Delphi - язык и среда программирования, относящаяся к классу RAD- (Rapid Application Development ‑ «Средство быстрой разработки приложений») средств CASE - технологии. Delphi сделала разработку мощных приложений Windows быстрым процессом, доставляющим вам удовольствие. Приложения Windows, для создания которых требовалось большое количество человеческих усилий например в С++, теперь могут быть написаны одним человеком, использующим Delphi.

Интерфейс Windows обеспечивает полное перенесение CASE-технологий в интегрированную систему поддержки работ по созданию прикладной системы на всех фазах жизненного цикла работы и проектирования системы.

Delphi обладает широким набором возможностей, начиная от проектировщика форм и кончая поддержкой всех форматов популярных баз данных. Среда устраняет необходимость программировать такие компоненты Windows общего назначения, как метки, пиктограммы и даже диалоговые панели. Работая в Windows , вы неоднократно видели одинаковые «объекты» во многих разнообразных приложениях. Диалоговые панели (например Choose File и Save File) являются примерами многократно используемых компонентов, встроенных непосредственно в Delphi, который позволяет приспособить эти компоненты к имеющийся задаче, чтобы они работали именно так, как требуется создаваемому приложению. Также здесь имеются предварительно определенные визуальные и не визуальные объекты, включая кнопки, объекты с данными, меню и уже построенные диалоговые панели. С помощью этих объектов можно, например, обеспечить ввод данных просто несколькими нажатиями кнопок мыши, не прибегая к программированию. Это наглядная реализация применений CASE-технологий в современном программировании приложений. Та часть, которая непосредственно связана с программированием интерфейса пользователя системой получила название визуальное программирование

Визуальное программирование как бы добавляет новое измерение при создании создании приложений, давая возможность изображать эти объекты на экране монитора до выполнения самой программы. Без визуального программирования процесс отображения требует написания фрагмента кода, создающего и настающего объект «по месту». Увидеть закодированные объекты было возможно только в ходе исполнения программы. При таком подходе достижение того, чтобы объекты выглядели и вели себя заданным образом, становится утомительным процессом, который требует неоднократных исправлений программного кода с последующей прогонкой программы и наблюдения за тем, что в итоге получилось.

Благодаря средствам визуальной разработки можно работать с объектами, держа их перед глазами и получая результаты практически сразу. Способность видеть объекты такими, какими они появляются в ходе исполнения программы, снимает необходимость проведения множества операций вручную, что характерно для работы в среде не обладающей визуальными средствами — вне зависимости от того, является она объектно-ориентированной или нет. После того, как объект помещен в форму среды визуального программирования, все его атрибуты сразу отображаются в виде кода, который соответствует объекту как единице, исполняемой в ходе работы программы.

Размещение объектов в Delphi связано с более тесными отношениями между объектами и реальным программным кодом. Объекты помещаются в вашу форму, при этом код, отвечающий объектам, автоматически записывается в исходный файл. Этот код компилируется, обеспечивая существенно более высокую производительность, чем визуальная среда, которая интерпретирует информацию лишь в ходе исполнения программы.

3.2. Программа «Определение кратчайшего пути в графе»

Программа «Определение кратчайшего пути в графе» разработана в среде «Delphi», работает под ОС «Windows»-95,98,2000,NT.

Программа позволяет вводить, редактировать, сохранять графы в файл, загружать из файла. Также реализован алгоритм нахождения кратчайшего пути.

Интерфейс программы имеет следующий вид:

Верхняя панель кнопок предназначена для редактирования графа.

Кнопка «Загрузить» предназначена для загрузки ранее сохраненного графа из файла.

Кнопка «Сохранить» предназначена для сохранения графа в файл.

Кнопка «Переместить» предназначена для перемещения вершин графа.

Кнопка «Удалить» предназначена для удаления вершин графа.

При нажатии на кнопку «Новый» рабочее поле программы будет очищено и появится возможность ввода нового графа.

Кнопка «Помощь» вызывает помощь программы.

Для очистки результатов работы алгоритма определения кратчайшего пути в графе необходимо нажать кнопку «Обновить» .

При нажатии на кнопку «Настройки» на экране появится окно, в котором можно настроить параметры сетки рабочего поля программы и цвета вводимого графа.

Окно настроек выглядит следующим образом:

Нижняя панель кнопок предназначена для установки параметров ввода и запуска алгоритма определения кратчайшего пути в графе. Данная панель состоит из четырех кнопок:

При включенной кнопке «Показывать сетку» отображается сетка для удобства ввода вершин.

Для автоматического ввода длины ребра графа необходимо нажать кнопку .

При включенной кнопке «Выравнивать по сетке» новые вершины будут автоматически выравниваться по координатной сетке.

Если выбрать две различные вершины (щелчком левой кнопки мыши) и нажать на кнопку , то программа найдет кратчайший путь между вершинами.

Алгоритм определения кратчайшего пути между вершинами графа описан следующим модулем программы:

unit MinLength;

interface

uses

Windows, Messages, SysUtils, Classes, Graphics, Controls, Dialogs,

StdCtrls,IO,Data,AbstractAlgorithmUnit;

type

TMinLength = class(TAbstractAlgorithm)

private

StartPoint:integer;

EndPoint:integer;

First:Boolean;

Lymbda:array of integer;

function Proverka:Boolean;

public

procedure Make;

end;

var

MyMinLength: TMinLength;

implementation

uses MainUnit, Setting;

procedure TMinLength.Make;

var i ,j : integer;

PathPlace,TempPoint:Integer;

flag:boolean;

begin

with MyData do begin

StartPoint:=MyIO.FirstPoint;

EndPoint:=MyIO.LastPoint;

SetLength(Lymbda,Dimension+1);

SetLength(Path,Dimension+1);

for i:=1 to Dimension do

Lymbda[i]:=100000;

Lymbda[StartPoint]:=0;

repeat

for i:=1 to Dimension do

for j:=1 to Dimension do

if Matrix[i,j]=1 then

if ( ( Lymbda[j]-Lymbda[i] ) > MatrixLength[j,i] )

then Lymbda[j]:=Lymbda[i] + MatrixLength[j,i];

until Proverka ;

Path[1]:= EndPoint ;

j:=1;

PathPlace:=2;

repeat

TempPoint:=1;

Flag:=False;

repeat

if ( Matrix[ Path[ PathPlace-1 ],TempPoint] =1 )and (

Lymbda[ Path[ PathPlace-1] ] =

( Lymbda[TempPoint] + MatrixLength[ Path[PathPlace-1 ], TempPoint] ) )

then Flag:=True

else Inc( TempPoint );

until Flag;

Path[ PathPlace ]:=TempPoint;

inc( PathPlace );

MyIO.DrawPath(Path[ PathPlace-2 ],Path[ PathPlace -1],true);

// ShowMessage('f');

until(Path[ PathPlace - 1 ] = StartPoint);

// MyIO.DrawPath(Path[ PathPlace-1 ],Path[ PathPlace ],true);

end;

end;

function TMinLength.Proverka:Boolean;

var i,j:integer;

Flag:boolean;

begin

i:=1;

Flag:=False;

With MyData do begin

repeat

j:=1;

repeat

if Matrix[i,j]=1 then

if ( Lymbda[j]-Lymbda[i] )>MatrixLength[j,i]then Flag:=True;

inc(j);

until(j>Dimension)or(Flag);

inc(i);

until(i>Dimension)or(Flag);

Result:=not Flag;

end;

end;

end.

Рабочее поле программы предназначено для визуального ввода графов.

Рабочее поле с введенным графом выглядит следующим образом:

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Теория графов находит широкое применение в различных областях науки и техники:

Графы и информация

Двоичные деревья играют весьма важную роль в теории информации. Предположим, что определенное число сообщений требуется закодировать в виде конечных последовательностей различной длины, состоящих из нулей и единиц. Если вероятности кодовых слов заданы, то наилучшим считается код, в котором средняя длина слов минимальна по сравнению с прочими распределениями вероятности. Задачу о построении такого оптимального кода позволяет решить алгоритм Хаффмана.

Двоичные кодовые деревья допускают интерпретацию в рамках теории поиска. Каждой вершине при этом сопоставляется вопрос, ответить на который можно либо "да", либо "нет". Утвердительному и отрицательному ответу соответствуют два ребра, выходящие из вершины. "Опрос" завершается, когда удается установить то, что требовалось.

Таким образом, если кому-то понадобится взять интервью у различных людей, и ответ на очередной вопрос будет зависеть от заранее неизвестного ответа на предыдущий вопрос, то план такого интервью можно представить в виде двоичного дерева.

Графы и химия

Еще А. Кэли рассмотрел задачу о возможных структурах насыщенных (или предельных) углеводородов, молекулы которых задаются формулой:

C_nH_2n+2

Молекула каждого предельного углеводорода представляет собой дерево. Если удалить все атомы водорода, то оставшиеся атомы углеводорода также будут образовывать дерево, каждая вершина которого имеет степень не выше 4. Следовательно, число возможных структур предельных углеводородов, т. е. число гомологов данного вещества, равно числу деревьев с вершинами степени не больше четырех.

Таким образом, подсчет числа гомологов предельных углеводородов также приводит к задаче о перечислении деревьев определенного типа. Эту задачу и ее обобщения рассмотрел Д. Пойа.

Графы и биология

Деревья играют большую роль в биологической теории ветвящихся процессов. Для простоты мы рассмотрим только одну разновидность ветвящихся процессов – размножение бактерий. Предположим, что через определенный промежуток времени каждая бактерия либо делится на две новые, либо погибает. Тогда для потомства одной бактерии мы получим двоичное дерево.

Нас будет интересовать лишь один вопрос: в скольких случаях n-е поколение одной бактерии насчитывает ровно k потомков? Рекуррентное соотношение, обозначающее число необходимых случаев, известно в биологии под названием процесса Гальтона-Ватсона. Его можно рассматривать как частный случай многих общих формул.

Графы и физика

Еще недавно одной из наиболее сложных и утомительных задач для радиолюбителей было конструирование печатных схем.

Печатной схемой называют пластинку из какого-либо диэлектрика (изолирующего материала), на которой в виде металлических полосок вытравлены дорожки. Пересекаться дорожки могут только в определенных точках, куда устанавливаются необходимые элементы (диоды, триоды, резисторы и другие), их пересечение в других местах вызовет замыкание электрической цепи.

В ходе решения этой задачи необходимо вычертить плоский граф, с вершинами в указанных точках.

Итак, из всего вышесказанного неопровержимо следует практическая ценность теории графов.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Белов Теория Графов, Москва, «Наука»,1968.

2. Новые педагогические и информационные технологии Е.С.Полат, Москва, «Akademia » 1999 г.

3. Кузнецов О.П., Адельсон-Вельский Г.М. Дискретная математика для инженера. – М.: Энергоатомиздат, 1988.

4. Кук Д., Бейз Г. Компьютерная математика. – М.: Наука, 1990.

1. Нефедов В.Н., Осипова В.А. Курс дискретной математики. – М.: Издательство МАИ, 1992.

2. Оре О. Теория графов. – М.: Наука, 1980.

3. Исмагилов Р.С., Калинкин А.В. Матеpиалы к пpактическим занятиям по куpсу: Дискpетная математика по теме: Алгоpитмы на гpафах. - М.: МГТУ, 1995

4. Смольяков Э.Р. Введение в теоpию гpафов. М.: МГТУ, 1992

5. Hечепуpенко М.И. Алгоpитмы и пpогpаммы pешения задач на гpафах и сетях. - Hовосибиpск: Hаука, 1990

6. Романовский И.В. Алгоpитмы pешения экстpемальных задач. - М.: Hаука, 1977

7. Писсанецки С. Технология разреженных матриц. - М.: Мир, 1988

8. Севастьянов Б.А. Вероятностные модели. - М.: Наука, 1992

9. Бочаров П.П., Печинкин А.В. Теория вероятностей. - М.: Изд-во РУДН, 1994

ПРИЛОЖЕНИЕ

Текст программы определения кратчайшего пути в графе

Модуль управления интерфейсом программы:

unit MainUnit;

interface

uses

Windows, Messages, SysUtils, Classes, Graphics, Controls, Forms, Dialogs,

StdCtrls,PaintingGraph, ComCtrls, ToolWin, ImgList, Menus,

ActnList, ExtCtrls;

const

crMyCursor = 5;

type

TForm1 = class(TForm)

SaveDialog1: TSaveDialog;

OpenDialog1: TOpenDialog;

ImageList1: TImageList;

ImageList2: TImageList;

LoadMenu: TPopupMenu;

ControlBar1: TControlBar;

ToolBar3: TToolBar;

OpenButton: TToolButton;

SaveButton: TToolButton;

ToolButton15: TToolButton;

ClearButton: TToolButton;

UpdateButton: TToolButton;

HelpButton: TToolButton;

ToolButton26: TToolButton;

RemovePointButton: TToolButton;

ToolButton28: TToolButton;

ToolButton32: TToolButton;

SettingButton: TToolButton;

ControlBar2: TControlBar;

AlgoritmToolBar: TToolBar;

KommiTool: TToolButton;

ToolButton: TToolButton;

NotFarButton: TToolButton;

MinLengthButton: TToolButton;

ToolButton5: TToolButton;

MovePointButton: TToolButton;

ActionList1: TActionList;

AShowGrig: TAction;

ASnapToGrid: TAction;

ASave: TAction;

ALoad: TAction;

ADelete: TAction;

GridToolBar: TToolBar;

Clock: TLabel;

Timer1: TTimer;

ShowGridButton: TToolButton;

AutoLengthButton: TToolButton;

SnapToGridButton: TToolButton;

PaintBox1: TPaintBox;

procedure FormMouseDown(Sender: TObject; Button: TMouseButton;

Shift: TShiftState; X, Y: Integer);

procedure FormCreate(Sender: TObject);

procedure FormMouseMove(Sender: TObject; Shift: TShiftState; X,

Y: Integer);

procedure FormPaint(Sender: TObject);

procedure FormKeyDown(Sender: TObject; var Key: Word;

Shift: TShiftState);

procedure ClearButtonClick(Sender: TObject);

procedure KommiToolButtonClick(Sender: TObject);

procedure PaintingToolButtonClick(Sender: TObject);