Anti-Demidovich (Lyashko I.I., i dr.). Tom 2. Ryady. Funkcii vektornogo argumenta (2001)(ru)(T)(223s) (Антидемидович), страница 18

Для каждого нз двух последних рядов имеем =! Следовательно, о ж -. > СО 228. ~ ~', щ Е 77. ! < Преобразовывая частичную сумму Я ряда к виду 'к() „')='ф к„') '(Ь '~)) получаем 1! 1 1 11 Яж йщ 5«ж- ~1+-+-+ ... +-). » »-ээ и! 1 2 3 о!у 1 1 1 229, — + — + — + 1 2 ° 3 3.4 5 5 ° 6 7 Н Приводя данным ряд к виду ~ИЬ-Ь) (Ь-Ь) -)=~' где Я вЂ” сумма ряда, рассмотренного в примере 226, получаем 1 1 1 1 — + — + — +... =5!2 — —.Ь 123 345 567 2 230. ~~ ««2 < Преобразовывая ряд к виду оо оо «2 з 1 н используя результат примера 228, находим, что Я 231. ~~1 «2(«+ Цз =1 ч Разлагая общий член ряда на простые дроби, находим 2« -1 71 1 „2(«+ цз 1« „+1) 1 3 «' («+ ц' Поскольлку Е 1 («+ Цз «1 Оо 1 ОО 11 2 );~ = 1 «(«+ ц «1 «1 = — -1, 6 то Е '1« — 1 2 2 =7 — -т «2(„+ цз 3 «1 232. ~ ' к л «(2«+ Ц ч Представляя частичную сумму Я«ряда в виде « / 2««1 Я„м~ ~~- — — ) =2~~ (--( — + — )) =2 1— а 1 З 1 а«»+1 / и пользуясь Формулой 1+-+ ...

+- =1п«+С+к«, е О, «оо, находимого Ыт 5« 1 ! 2 ' ' « «о 2(1-1п2). В 233. ~ 2"(«+ц «1 ««о Ппфференпируя степеи (2х)«+' Š†„, = 2хез« о почленна,получаем Ч" (и + Ц2"+1х« 2хе *)' м «у и1 ««о откуда, полагая х = 1, находим ~ 3("м2 3 в «.' 234. '% 3 7 Суммирование рядов.

Вычислщгие определенных интегралов с помощью рядов 89 Гл. 1. Ряды 1ОО М Общий член ряда разлагаем на простые дроби: 1 3 3 1 1 пг(п+ цз(я+2)2 4п 4(п+2) 4пз (я+ цз + + + + 1 -3 2 4(я+ г)2 2п(п+ 2) 1 1 1 + — + 4«2 (и+ Цз 4(я+ 2)2 + Суммируя ряды Е 1 3 п(я+ 2) 4' окончательно находим Е 1 к' 1 = — — 1 —— ( +2)2 8 4' =1 2 1 2 к 8' (+ЦО 8 »«1 1 Е 1 пз(п+ ЦО(и+ 2)2 п«1 22 39 4 1б 235.

'~ п«О '"" М Замечая, что значение степенного ряда ( ц 2 41 1 ( ц 2 1 ( цп 2«О1 "ж-*7 — - T =-(ХССЕХ-ООП*), !Х(<СО, (2» + ц! 2 с-~ (2п)! 2 х-«(2» + ц! 2 п«О п«О «=О прп х = 1 совпадает с данным числовым радом, имеем Е (-Ц'п 1 — = -(сох 1 — юв Ц. Ь (2п+ Ц! 2 ззе. ~,( ",. ." +" Ч Разлагая дробь --Π— „— — на простые, мажем написать, что 1 «-1 1 О ( цц -1 1 ' ( ц «42 л-« «2+я — 2 3 ~-О п — 1 Зхз ~-О п+2 п«2 ««2 п«2 1 / х х 3 = -1п(1+к) — — ~-1п(1+ х) +х — — + — !, Зхз ~ 2 3,) Отсюда,применял теорему Абеля, находим ( Ц» ( Ц х»-1 2 3 яз + я — 2 * 1-О х-О пз + п — 2 3 18 «З и 2 0 < !х) < 1. 221 т'О2г12" — 'ю~!...

(2п)! и Представляя данный рлд в виде суммы двух сходящихся рядов: " (-цп (-цп ) '~» П 2п+~~ (2я — Ц! (2п)! и 1 п«О н замечая, что сумма второго рада равна сох х, вычисляем сумму первого ряда. Имеем ( цп 2п 1(х) = ~ ~~ ~, = хОО(х), и 1 "1 У. Суммирование рядов. Вычисление определенных интегралов с помонгью рядов 101 где 00 р(х) = ~ (2и — 1)! «1 Интегрируя почяенно этот рад, находим р(2) )22 l о 0 2 -1 «-1 — (-1) = — ыв х, 2 ~ (2и — 1)! 2 откуда 2)(х) = --ив х — -соэх, саедоаатеяьно, 1(х) = — -(эшх+ 2 сох х), а х х Я(х) = 1 — — ! соа х — — эы х, (х~ < оо, в 0 2 2 « 238.

'',« ««з Ы Пусть х > О. Полагая х = уз, имеем 2 « 0) 2 2« Е(г +Ц! =Е(г +1)! ="''(У)' «0 «» 0 2 «1 где В)(У) = ~" "!22«ы)у . интегРиРУа этот Рад почаенио, полУчаем «.1 2 =: ('.".»=-' 2«-1 51(!)42= у-~ ", =-у32(у), 0 ..1 ' где у2 -1 Е (гп+ Ц!' «1 Аналогично находим «2« Яз(2) 42 = — ~З = — (з)( у — у). 2 (2в+ 1)! 2у 0 «1 (г) 0()=2 ' ' =-(( 0Ц вЂ” -«,), * 0, )(0)=0 и х 1 21)т/х (2п+1)! 4 ~,,/х (заметим, что в точке х 0«0 правая часть этой формулы, иа основании теоремы Абеля, равна ее предельному значению при х - +0). При х < 0 выпоянаем аналогичные выкладки.

В результате приходим к такому ответу: 0(*) = 2" †« - (~(* + ) — '-*), . ), 0(!) - . ° пх«11' Ы 2/: (2о+ 1)! 4 1 ~/-'ж с помовгью почяенного дифференцирования найти сумму рядов! 239. ~ 1:2) и(2и — 1) Дифференцируя обе части равенства (2) по у, находим функцию Яэ, Точно так эке иахо. дим функцию Я) нз уравнения (1). Окончатеяьно имеем 102 Гл. 1.

Ряды ч Дифференцируя данный рлд почвенно дважды (в интервале скодимости степенной ряд можно почленно дифференцировать лвэбое число раз), находим ~ (х) м 2~(-1)" х 1" ~ = —, )х) < 1. 1.Р хз' э=1 Отсюда последователькым интегрированием но х дважды получаем т'(х) = 2агсьбх+С1, 1(х) = 2хагссбх — )в(1+ хз) +Сгх+ Сэ. Поскольку 1(0) = 1~(0) = О, то С1 = Сэ = О. Следовательно, Е (-1)"-'*'" = 2х ащсб х — 1в(1+ х ). в(2и — 1) »=1 Поскольку данный степенной ряд сходится иа концах интервала скодимости х и ю1, то, согласна теореме Абеля и непрерывности правой части, можем утверждать, что последнее соотношение справедливо при ~х! < 1, Ь 24() ть~ (2п+1)х" в! =о ч Обозначал сумму этого рида через о(х), (х! < оо, и интегрируа ряд почленно, получаем З +1 Я(х)ахи~ —,+С=хе* +С. э Дифференцируя по х обе части этого равенства, находим Я(х) = (1+ 2х )е', ф < оо. М Используя метод Абеля, найти суммы следующих рядов: 1 1 1 241.

1 — — + — — — +,... 4 7 10 ч Рассмотрим степенной ряд З +1 ~~> (-1)" — = Я(х). =а Легко найти, что он сходится абсолютно дри (х( < 1. Далее видим, что в точке х = 1 степенной ряд совпадает со стодящимся (в силу признака Лейбница) данным числовым рядом. Следовательно, по теореме Абели, будем иметь 1 1 1 1 — — + — — — + ... = Ьп о(х). 4 7 10 ' 1-о Остается найти Я(х).

Дифференцируя ряд пачленио, получаем СО ~'(*)=~.(-1)"*'"= ., )*)<1 ч э откуда 1 Их 1 1+х 1 2х-1 (х)- 1 —,=-Ь + — ыстб — + С. l 1+ха З ,Гх +я+1 ,УЗ ,УЗ Поскольку 5(0) = О, то С ж --е. Следовательно, зчз' 1 1+х 1 2х — 1 Я(х) = - )в + — агссб — + —. Поэтому окончательно находим 1 — -+ — — — + ... м -1а 2+ -че. М 1 1 1 1 Ф а г 1о '" 3 зчз' 5 7. Суммирование рядов. Вазчислеиие определеииык интегралов с помощью рядов103 242. 1 — -+ — ' — — '' + ..., 2 24 246 М Поскольку прн )х) < 1 справедливо разложение (см.

формулу 15»4 5) (-1)"(2и — 1)11 з„ (2п) И =1 и данный числовой ркд, в силу признака Лейбница, сходится, то, по теореме Абеля, получаем 1 13 135 1 1 — -+ — ' — — '' + ... = Нщ (1+ х ) з = —, и 224246»гю чгг 243. 1+ — — + — -+ " . 2 3 2 ° 4 5 я Сходимосп этого ряда показана з примере 167.

Там же мы получили разложение (2о — 1)Н ха»+1 х+ =агсзщх, <х( < 1, с-~ (2а)И (2п + 1) »=1 из которого следует, что 1 + — - + — - + ... = †. ° . 1З 3 З З» 1 Найти суммы следующих тригонометрических рядов: 244»))~~ Яп ох =1 и Рассматриваем этот ряд как мнимую часть степенного ряда l — =1л( ~, з=с», 0<)х)<11, и 1-зг ' »=1 где под 1л з понимаем ту его ветвь, длл которой )л 1 = О.

Тогда будем иметь 5(х) = ') — '"* = 1 1 1 1пг!л — 1 = агс16 — = ~1 — х» 155 з »=1 — если 0<я<», з — если -х<х<0 = — зйл 15 — — агс15 (15 2 1 2/ 245. ~~1 (-1)" —,'"*. » з ч Рассматривая ряд как действительную часть ряда з ж е', -т < х <ч з", Е ' (- )" пз можем записать ( — 1)" сових ч (-*)" жК ч из-1 ~ФИ~ 1 » з Поскольку функция Я 2т-периодическая и Я(хт) = О, й 5 Ж, то, нспользуа последний результат, можем написать, что — если 25т < х < 2(1+1)т, О, если х = 25т.в Гл. 1. Ряды 104 При условии, что з ф -1, последний ряд представляем в виде суммы двух сходящихся рядов: Е -л. (-2)«1 ч ( — 2)«+' г (-2)« ' 1 / 1л(1+ 2) + лэ = — 2)п(1+ 2)+ 1 — —— вэ — 1 221 в 2.~ в 2(, 2 з «2 «1 «=э» Следовательно, (-1)«соз вх 1 1' 1п(1+2) 1 1 у 1 = -Пе 21л(1+2)+1 — —— = — 111 — — созх — зш х), е" ~ -1.

оэ — 1 2 [ 2 2 у 2» 2 ««г Заметим,что ограничение е" р» -1 здесь можно снять. Действительно, если е" = -1, и та сових = ( — 1)". Прн этом получаем числовой ряд 2,' -„~ —,, равный —, (см. пример 230). 2 Кроме того, если сових = (-1), то - (1 — -сох х — хмвх) и -. Итак, 11 1 э Е = ( (-1)«сових 1 У 1 = — (~1 — — соз х — х эш х) нэ — 1 2(» 2 »ух е (-т, х]. Далее, в силу 2т-периодичности суммы этого ряда, значения повторвютса. ° . 246. ~~» ««э 4 Легко находим, что «« » Д~-~ СОЗ «Х Чэ 2", „„Ю «„ в! с-~ н! » а ««э Найти суммы следующих р»щов: 04Т С; (("- )')'(„) « (2в)1 М Дифференцируя этот ряд по х дважды (в интервале сходимости )х! < 1) и умножая вторую производную его на 1 — х, после иекоторык преобразований рядов получаем диффе- 2 ренциальное уравнение относительно искомой суммы 5(х) ряда: (1 — хэ)5 (х) — хЯ'(х) — 4 ж О.

Производя в нем замену независимого переменного х по формуле 2 ж аг»вшх, приходим к уравнению 5«(2) = 4, из которого находим Я(2) = 222+ С,г+ Сэ, С1, С2 сопли Так как Я(0) = Я'(О) = О, то отсюда получаем 5(х) = 2(агсип х), ф < 1. Нетрудно найти,что числовом ряд ( ( н 1 ~ ) (ги)! являющийся аначением данного степенного ряда при х = х1, в силу признака Гаусса, сходится. А тогда, по теореме Абеля и иа основании непрерывности функции х — 2(згсз1а х)2 на сегменте (-1, 1), можем утверждать, что Я(х) = 2(агсмл х) при (х! < 1.

> 248. — 1+ ' + ' +.... 2 +1 (х+ 1)(х+ 2) (а+ 1)(х+ 2)(х+ 3) 3 Т. Суммировзлие рядов. Вычисление оиределеввык нитегралов с помощью рлдов 103 а Прежде всего устанавливаем область сходимости. Для етого, замечая, что общий член ряда аи ж ', х ф -й, й б у(, начиная с некоторого достаточно большого номера (а+1)( +г) ... (феи) ' имеет определенный знак применяем признак Гаусса. Имеем —" = 1+ -* — — *. Отсюда, и и(з41) в силу приведенного признака, следует, что ряд сходится только при х > 1. Намдем теперь сумму 5(х) данного ряда.