Anti-Demidovich (Boyarchuk A.K., Golovach G.P.). Tom 5. Differencial nye uravnenija (2001)(ru)(T)(394s) (Антидемидович), страница 79

(2) Решить следующие задачи. 766. Температура и(х, С) в тонком стержне удовлетворяет уравнению ди з ази — = о —, а = соим. (1) ас дхз ' Найти распределение температур в полупространстве х > О, если известен закон изменения температуры его левого конца, а начальная температура стержня равна нулю: 368 Гл. 7. Метад ивтегральвык Шмобразовавий Лаиласа (3) (5) (3) м Перейдем к изображениям. Получим обыкновенное дифференциальное уравнение з Д'(7 р(7 = а —, з которое решаем при выполнении условия (г ~ = Р(р). Общее решение уравнения (3) находим без трупа: хе, (г = С1е ' +Сзе Согласно условию задачи функции и и б' должны быть ограниченными при х - +со, по- этому С, = 0 и общее решение уравнения (3) записывается в внае ~Ю (7(х, р) = С~е Из условия (4) следует„что С, = (7(0, р) = Р(р).

Следовательно, зд, (Г(х, р) = К(р)е а *. Для нахождения оригинала рассмотрим сначала частный случай 7(1) = 1. Тогда Р(р) = —, Р' (Г,(х, р) = — е . Воспользуемся решением примера 724. Получим: зд, р мгт ( х 2 г и,(х,1)=Ег(( — ) =1 — — / е ' Ыт.

г, 2ачг(,! чгя з' о В случае произвольных граничных данных (2) воспользуемся интегралом Дюамеля (см. форт мулу (2), п.2.4), полагая там (з(1) = Ег( ! — ~,.1, зз(0) = О, (е'(1) = — е —,-е мтс Поскольку ,2ам1,г ' 2ачх13 (7(р) — рЯ'(р)(Г,(р) (см. п. 3.3), то +а 2" ъгк (1 — т) з таст (после замены переменной б = х ).

м 2а~И вЂ” г ' 767. Стержень длины 1 находится в состоянии покоя и его конец х = О закреплен, а к сво- бодному концу х = 1 приложена сила Аз(п юг, направленная по оси стержня. Найти продольные колебания стерхсня. ° Ф Уравнение колебаний стержня имеет вид д'и, д'гг (1) дг' дх" где и = и(х, 1) — продольное смешение, а — постоянный коэффициент, зависящий от матери- 2 ала стержня. Начальные и граничные условия следующие; и! = — ! =О, и! =О, — ! = — япм(, (2) п=е дг!~ е ' ц=е ' дх! ~ К где К вЂ” модуль упругости.

Дифференциальной задаче соответствует операторная задача зи (Г 2 р (г = а —, дхз > о(Г! А ы (4) г(х ~,ы К рз+~~ Общее решение уравнения (3) записывается в виде (г(х, р) = С| сй — х+ Сз зй — х. р р а а 369 бб. Оиеравваивае исчисление и ураввевво с чаегиымв ираизводвмми Из условий (4) находим Ь С, =О, Сг= р(рг + огг) сй к( тле Ь = -х —. Получаем решение операторного уравнения в виде Аох ой -.*р (Г(х~ р) = (5) р(р +ы ) с(г ар 1 (хг и) Для нахождения оригинала и(х, 1) воспользуемся второй теоремой разложения. Функция (Г имеет один действительный полюс р = О и бесконечное множество попарно сопряженных чисто мнимых полюсов. Полюсы, лежащие в верхней пслуплоскости р = гог, ро = о-1- (Ь вЂ” 2 г = (ого .ха l 11 (Ь Е Щ все первого порядка и различны, если огг ~ ог ЧЬ Е )Ч (условие отсутствия резонанса).

По второй теореме разложения нахолим: г к(х, гм) г х(х яд г 1 ! ог 2ао г о1я -ах яв мог и(х, г) = 2 не, ', о~" +~, ' е' ' = 1 ив — хо!ох!+ — ~ (-1) ~ Ур(х, иио) г г Ур(х, РИ / о,гасо хг а 1 оы хог — хг хо соа при условиях Ои) О ~ и~ = О, — ~ = -оо, и! = О, — ! = О. ,=, —,! (2) Дифференциальной задаче (1), (2) соответствует операторная задача Аг(г г — — (г = —, о(хг аг аг ' (3) (г~ =О, — ~ =О, (4) решение которой имеет вид л-* ео оо е оо + е о о (г(х р)= — — +— г г ггг 1+е (5) Поскольку ~е ~ < 1, то функция р ~1+ е о ) может быль представлена сходящимся рядом (!+е ) =~ (-1) е о поэтому получаем: ео ео о / ргого* ог(ыгзь а'г (Г(х,р) = — — + — ~(-1) (е о о +е о р о=е С помощью теоремы запаздывания находим оригинал о,о= (- Ь-о((- — 1~(-г-) (- .

1~('-~))). о(( 2Ы+Х) 2Ы х Г (2" +1)1-Х! Г2а+1гг — Х о=о Решение пРигодно, пока стеРжни сопРикасаютса, т.е. пока их ~ < О. М да 1 7б8. Два одинаковых стержня длины 1 с одинаковой скоростью оо движутся навстречу друг другу вдоль своих осей. Определить смещение точек стержней после улара. и Пусть удар происходит при 1 = О в начале координат (отсчет времени начинаем с момента удара). В силу симметрии достаточно рассмотреть смещение и(х, 1) точек одного стержня, например, правого.

Задача сводится к решению уравнения О'и, а'и — =а— (1) О(г Охг 370 Гл. 7. Метод интегральных преобразований Лапласа Упражнения лля самостоятельной работы Найти изображения функций; 1. з)загс)з)ЗС. 2. созагсозбС. 3. сйагсп!ЗС. 4. япагз!п)ЗС, 5. зйагз1з/ЗС. 6. зЬаг — япаг. 7. сйаг — сова!. 8. зйаС+япаС. 9.

сйаС+созаг. 10. созагсЬ,М. 11. з!па(зй))С. ( о, с < о, — — (4п+ 1), 2па < С < (2п+ 1)а, 15. З(С) = С(С+ 2а) = 2( +4п+3 (2п+ !)о <С < (2п+ 2)а, О, 1<0, е 21 16. г(С) = г(С+ а) = ~ е (2п 6 !)~ па < С ~ ((и+ !)а~ и с те '1 О, 1<0, 2 1 О, 2— ",' <С < ар+С-)д, С <О, 18. е "япЗСсоз2С. 19. елсозЗСсоз41.

20. зйгсоз21з!пЗС. 21. се!5!и 215!и ЗС. 22. сй ЗС 5!и С. 23 зй 41соз ЗС. Найти июбражения следующих дифференциальных выражений: 24. Ху = д'~(С) + 4де'(С)+ 4у"(С); у(0) = 1, у'(О) = 2, у"(О) = — 2, д"'(О) = 3. 25. Ьд = Зум(С) — 2у"(С) + 5; у(0) = - 1, у'(0) = 2, д"(0) = — 3. 26. бд = 4~' (С) + З~е(С)+ у(С); у(0) = О, д'(0) = 3, д"(0) = О, ум(0) = — !.

27. Ед = у (С) + 2у' (С) + 4у(С); у(0) = у'(0) = у" (0) = О, у"'(О) = у (О) = — 1. Применяя теорему дифференцирования изобрюкения, найти изображения функций: 28. С'сова!. 29. С~з!паг, 30. Сз!пагзпаг. 31. Своза(сваг. Применяя теорему об интегрировании изображения, найти изобрюкения функций: Се Г!ользуясь теоремой умножения Э. Бореля найти оригиналы функций Р(р): ° 1 ~е)=. Ф)— 42.

Р(Р) = . 43. ее) э ое+е г ги+е ь — ')э+) Нем- ' . 4пег)- е»» — ь+ )' м )е 1 46. Р(р) = —,й —,. 47. Р(р) = —,— ' —. (Р 61) ' ' Р(1-1)' Пользуясь теоремой умножения, найти оригиналы функций Г. К.)Е Н '-,гг)' '-гг)Ь вЂ” ) 54. Р(р) = — т' — тт .Р(Р +е ) Решить дифференциальные задачи: з, 55.

4Ук+ 12У + 9У = ! 44е 1; У(0) = 1, У (0) = 2. 56. У' — 2У' = е (С~ + С вЂ” 3); У(0) = 2, У (О) = 2. 57. у" 64у'+Зу = ай С яп С; у(0) = О, у'(0) = 1. 58. у" +2у'+у = е е(сов!+С); у(0) = 1, у'(0) = — 1. 59. у"' — Зу'+ 2у = 81е е; у(0) = у'(0) = О, у"(0) = 1. 60. угг — у = 2 созе С(зес С вЂ” 1); у(0) = у'(0) = у"'(0) = О, У"(0) = 1.

61. у» — бум+ 9ув = 541+ 18; у(0) = у'(0) = 0 у"(0) = ум(0) = у' (0) = 1. 371 Ф 6. Операционное исчисление в урааиешш с частвымв производными Решить системы интегральных уравнений: х(й) = 2+ /у(т) Атс о у(й) = 91 — й' — йс + /х(т) сйт, с х(й) = ! 5 + /х(т) сйт. о х(й) =- 2й — /(й — т)х(т) сйт+ /у(т) Атс о о 78. у(й) =- — 2 — 4/х(т) Ат+ 3/(й — т)у(т) Ит. 77. х(й) = й+/ у(т) сйт, о у(й) = 1 — й*+ /х(т) Атс , о х(й) = 21~ + /х(т) Ат. о *(й) = ! - а/у( ) 4, с у(й) = спой — 1+ / х(т) сйтс 80. о х(й) = ссий+ /х(т)сйт.

о Найти решение особых интегральных уравнений -с со 81. / Я~-~ —,)а- = й". Я. / й-.— —- соей. 83. /(й) = й — .~=у / е ~ йт) сйт, 1Л! ~ 1. с а +с сс о 84. (е ау(т)йт — (пй = О. 85. 1е ей(т)йт = Яп 7. аас сей,/ хсхй с Решить следующие ьадачи. 86. лф-) = -гт — -(чс —; и(0, й) = и(1, й) = О, и(х, 0) = О, — 82 — ) = Вял — ! —, 0 ~ (х я й, дх о ай о >О. 87. — (тй-)- = а™'уйс — о; и(Ос й) = Ас ! пп и(х, й) = О, и(х, 0) = О, х ~ )О. ОХ * ' ' о-ах 62.

уо + бу'+ 8у = яп й — с) <й — т2) сох й; у(0) = у'(0) = 1. 63. у" + 4у'+20у = с) <й — Зт) соа <й — ф): у(0) = 1, у (О) = О Решить системы дифференциальных уравнений: х 2х' — х + 9х — у' — ус — Зу = О, а с о х(О) = 1, *'(О) = у(О) = у'(О) = (О) = '(О) = О !' х'+ 2х+ у = оспй, 66. ~ у' — 4х — 2у= соей; 1 х(О) = О, у(О) = !. Решить интегральные уравнении: с 67.

у(й) = о!ой+/у(т)сйт. 68. у(й) = !+/(й — т)Ят)сйт. 69. З(й) = !+2-2соой-/(й т)1(т)сйт. о о о '10. й(й) =й'+ ~~(т)сйт. 71. Г(й) = соой+(Е(тсйт. 72. 1(й) = 1+ /е "У(т)йт. о а о 73. З(й) = ев+ 4/ ой 4(й — т)З(т)сйт. 74. у(й) = е '+ сооЗй+ / о(п(й — т)ят)сйт. а а 75. яп'й = / яп(й — т)~(т) сйт. 76. йо = /(21~ — Зйст+ т~Щт) сйт. Ответы Введение 1. у — 10((~гт) = О. 2. у' = ехр®.

3. (ууб + д' )» — уу' = О. 4. уб + уУ вЂ” 7'у' = О. 2 о у'=: —.;-;У б Г=.„,;=сову.*="..7 '— ",,*-У-* '* у-, =о 8 7' 2* 2222 — х )+(2» — г )дб(д — х)+а»8(д~ — 2У)(д — х) = О, (з' +»»8) Яап — -„'»Я,— ~п (д +УУУУ) +1 = О. Глава 1 1. 2у + хз — 2» = С. 2. д = х 81(х) 4- свах. 3. 2 (2/х + /у) — 1п у = 4. 4. у = 2» + агсзя (! — 2) .

2-8 2 6. у = О. 6. у = х о .7. 1п)а(+»т — 2 / — ', 2(х = С. 6. оп а = Сеахз. 9. (у — 2») = С(у — х — 1)2. 2-,7з ос сЗ 2 !О. )д — х — 30+ 273(х+ 17)! = С)х — у+ 308+ 2773(х+ 17)! . 11. агспп )гт — — !п(С»~), *+об 16.