341_1- Сборник задач по математике для втузов. В 4-х ч. Ч.1_ (ред) Ефимов А.В, Поспелов А.С_2001 -288с (Ефимов, Поспелов - Сборник задач по математике), страница 3

1) 1.36. Заданы векторы е = — 1, 1 — ~ и а = (2, — 2, — Ц. '2) Убедиться, что они коллинеарны, и найти разложение вектора а по базису т» = (е) 1.37. На плоскости заданы векторы ес = (-1, 2), ет = (2, Ц и а = (О, — 2). Убедиться, что В =- (ем ет) — базис в множестве всех векторов на плоскости. Построить заданные векторы и найти разложение вектора а по базису «В. 1.36. Показать,чтотройкавекторовес = (1,0,0), ет = (1,1,0) и ез = (1, 1, Ц образует базис в множестве всех векторов пространства.

Вычислить координаты вектора а = — 21 — 1с в базисе «В = (ем ею ез) и написать соответствующее разложение по базису. 1.39. Заданы векторы а = 21+ 3~, Ь = -31 — 21с, с =1+1 — 1с. Найти: а) координаты орта ао; 1 ° б) воардинаты вектора а — — Ь+ с; 2 в) разложение вектора а + Ь вЂ” 2с по базису «В = (1, 3, 1с); г) пр (а — Ь).

1.40. Найти координаты арта ао, если а = (б, 7, -6). 1.41. Найти Я(а), осли Х(а) = 3, 1'(а) = — 9 и (а( = 12. 1.42. Найти длину и направляющие косинусы вектора р = = За — 5Ь+с, если а = 41+71+31с, Ь =1+21+1с, с = 21 — 3( — 1с. 1.43. Найти вектор х, коллинеарный вектору а = 1 — 2» — 21с, образующий с ортом «острый угол и имеющий длину ~х~ = 15. 1.44. Найти вектор х, образующий со всеми тремя базисными ортами равные острые углы, если (х! = 2Л. 1.45. Найти вектор х, образующий с ортом 1 угол 60', с ортом 1с — угол 120', если (х! = 5~Г2. 1.46.

При каких значениях с«и В векторы а = — 21 + 33+ с»1с и Ь = Д вЂ” 6) + 21с коллинеарны7 1.47". Найти вектор х, направленный по биссектрисе угла между векторами а = 71 — 41 — 41с и Ь = — 21 — З + 2)с, если ~х~ = 5с/б. 1.46. Заданы векторы: а = (1, 5, 3), Ь = (б, — 4, -2), с = = (О, -5, 7) и с1 = ( — 20, 27, — 35). Требуется подобрать числа с«, 13 и у так, чтобы векторы с»а,,ЗЬ, ус и с( образовывали замкнутую ломаную линию, если «начало» каждого последующего вектора совместить с м«окном» предыдущего. и 14 Гл. 1. Векторная алгеб а и аналитическая геометрия Если Мг(хы уы «г) н Мг(хг, уг, «г) — две произвольные точки в пространстве, то координаты вектора М~Мг равны Х=хг — хы У=Уг — Ум т=«г — «ы (4) Отсюда на основании (3) расстояние между точками выражается форму- лой Р(Мы Мг) =!МгЛг~г~ = (хг — хг) +(уг — уг) + («г — «1) .

При решении задач аналитической геометрии целесообразно максимально использовать методы векторной алгебры. Пример 1. Заданы вершины А(1, О, — 1), В(2, 2, 1) и точка Е( — 1, 2, 1) пересечения медиан треугольника АВС. Найти координаты вершины С. г Так как координаты вершины А заданы, то для вычисления кооодинат вершины С достаточно найти координаты вектора АС. Пусть ВФ— медиана, проведенная из вершины В. Тогда ге = а= ты,-Ф) = ~(гг~-хг) (5) 2 (здесь использован тот факт, что точка Е делит медиану ВЕ в отношении 2: 1). Далее, из условий задачи с помощью формулы (4) вычисляем координаты векторов АЛ) = (1, 2, 2) и ВЕ = (-3, О, 0), откуда 1.49. В тетраэдре ОАВС плоские углы трехгранного угла с вершиной 0 — прямые.

Точна Н вЂ” основание перпендикуляра, проведенного из вершины 0 к плоскости грани АВС. Найти координаты вектора 0«г' в базисе из векторов Ом, Огг н ОС, если )ОА) = а, )03! = Ь, )ОИ( = с. 3. Декартовы прямоугольные координаты точки. Простейшие задачи аналитической геометрии. Говорят, что а трехмерном пространстве введена декартова ярлмоуаольнал система координат (О, З), если заданы: Ц некоторая точка О, называемая началом координат; 2) некоторый прямоугольный базис З = (1, 3, )с) в множестве всех геометрических векторов.

Оси Ох, Оу и О«, проведенные череа точку О в направлении базисных ортов 1, 3 и )с, казываются координатными осами системы координат О, З) = Оху«. П(О, сли М вЂ” произвольная точка пространства, то направленный отрезок ОЛ1 называется радиус-вектором точки М. Координатами точки М в системе (О, З) называются координаты ее радиус-вектора ОЛг как геометрического вектора в бааисе З, х(М) = Х(ОМ), у(Л4) = У(ОЛг4), «(М) = Я(ОЛ$).

$ 1. Векторная алгебра 15 на основании (5) получаем АС = ( — 7, 4, 4) и, наконец, вновь используя формулу (4), находим координаты точки С: х(С) = х(А) + Х(АС) = -6; у(С) = р(А) + У(АС) = 4; «(С) = «(А) + Я(Ас)) = 3. ? Пусть на прямой 1 заданы точки Мм М«и М, причем М? ~ М«. — ? Рассмотрим векторы М?М и ММ«. Так как они коллинеарны, то най— ? дется такое действительное число Л, что М?М = Л ММе. Число Л называется оп?яоп?екием, в котором точка М делит направленный отре— ? зок М?М~, паничем оно поло?кительно, если точка М находится внутри отрезка М?М«, отрицательно (н Л ,-~ -1), если М находи*ся вне М?М«, н равно О, если М = М?. Пример 2. Зная координаты точек М?(х?, у?, «?) и М«(х«У«««) и отношение Л, в котором точка М делит направленный отрезок М?М«, найти координаты точки М.

— — ? — ? <? Пусть Π— начало координат. Обозначим: ОМ? — — гы ОМ« —— ге, ?~Л1 = г. Так как М?7?4 = г — г?, то г — г? = Л(㫠— г), откуда (так как Л -,Е -1) г?+ Лг« 1+Л Полученная форл?ула и дает решение задачи в векторной форме. Переходя в этой формуле к координатам, получим х? + Лхт д1 + Лк««? + Л«2 1+Л ™ 1+Л ' 1+Л 1.50, Точка М(1, — 5, 5) задана своими координатами в декартовой прямоугольной системе координат (О, З = (1,,1, 1с)). Найти координаты этой точки в системе (О', З' = (1',,)', 1с')), если: а) 00 = — 21+) — 1с и 1' = 1, 1' =,1, 1с' = 1с; б) О' = 0 и 1' = -1, )' = 1с, 1~ы = 1; / ' '? ' ' '? в) 00' =) и 1' = — (1+3), ч = — (1 — 1), 1с' = 1с ьГ2 ~/2 (предварительно убедиться, что 21' — прямоугольный базис).

16 Гл. 1. Векто ная алгеб а и аналитическая геомет ия АВ = Ле = Л вЂ” =~-+ ~- (7) С дрЭтой стороны, Ат~ = Ад+ Сс' = АС +,иСту = АС+,и(А1) — АС) = = пАМ+ (1 — р)Ас, р ) О. (8) 1.51. Даны три вершины А(3, -4, 7), В(-б, 3, — 2) и С(1, 2, -3) параллелограмма АВСР. Найти его четвертую вершину Р, противоположную В. 1.52. Даны две смежные вершины параллелограмма А(-2, 6), В(2, 8) и точка пересечения его диагоналей М(2, 2).

Найти две другие вершины. 1.53. Определить координаты вершин треугольника, если известны середины его сторон: К(2, — 4), М(6, 1), М( — 2, 3). 1.54. На оси абсцисс найти точку М, расстояние от которой до точки А(3, -3) равно 5. 1.55. На оси ординат найти точку М, равноудаленную от точек А(1, — 4, 7) и В(5, 6, -5). 1.$6. Даны вершины треугольника А(3, — 1, 5), В(4, 2, — 5) и С( — 4, О, 3). Найти длину медианы, проведенной из вершины А.

1.$7. Отрезок с концами в точках А(3, -2) и В(6, 4) разделен на три равные части. Найти координаты точек деления. 1.58. Определить координаты концов отрезка, который точками С(2, О, 2) и Р(5, — 2, О) разделен на три равные части. 1.59*, Заданы точки А(1, 2, 3), В(2, — 2, 1), С(3, О, 3) и Р(16, 10, 18). Ь' — точка пересечения плоскости ОАВ (Π— начало координат) с прямой, проведенной через точку .Р параллельно прямой ОС. Найти координаты точки Е.

1.60". Заданы точки А(2, 5, 2) и В(14, 5, 4); С вЂ” точка пересечения координатной плоскости Отр с прямой, проведенной через точку В параллельно прямой ОА. Найти координаты точки С. 1.61. Даны вершины треугольника А(1, — 1, -3), В(2, 1, — 2) и С(-5, 2, -6). Вычислить длину биссектрисы его внутреннего угла при вершине А. а Найдем разложение вектора Ат~ по базису из векторов АЕ) и АС. АВ АС Пусть е1 = — -т- и ет = =-~- — орты векторов АВ и АС.

Тогда ~АВ! )АС~ вектор АВ сонаправлен с вектором е = е1+ ет (ср. с задачей 1.47), т. е. существует число Л ) 0 такое, что 1. Векто лал ллгеб а Формулы (7) и (8) представляют собой два разложения вектора АФ по базису из векторов АЕ) и АС'. В силу единственности разложения вектора ло базису имеем Л Л вЂ” ~.=к и =л-=1 — о. ~А ( )А (9) Решая систему (9), находим 1 АГАВ~ ~АС( 3лА~/.~1/!АЗ) ~ ''1<-~Ай/ так что формула (7) принимает вид Из условий задачи находим: АВ = (1, 2, 1) к (АВ~ =,/6, Аб) = (-6, 3, -3) и )Ад~ = 3~/А, и ка основании (10) получаем Ал) = -АВ + -АС, (10) откуда АЕ = ~--, —, 0) и (АЗ! = -АО.

с ( 3 9 3 4' 4' ) 4 (аы ат) = ~а1)~аг~ сов (аы ат). Для скалярного произведения наряду с обозначением (ае, аз) исвользуется также обозначение а1аз. Геометрические свойства скалярного произведения: 1) а1 1 ат е» а1ат = 0 (рслоеае перяекдокрллрности вектлоров); 2) если р = (аы ат), то 0 < ~р < — л» а1аз > 0 и — < р < т л» а1аз < О. 1,62.