Баскаков С.И. Электродинамика и распространение радиоволн (1992), страница 75

А. Фока. Интересной и важной в прикладном отношении является задача о так называемой береговой рефракции радиоволн. Это явление состоит в том, что радиоволны, распространяясь в воздухе над морской поверхностью, несколько изменяют направление своего движения, встречая на пути береговую линию суши. Хотя в абсолютных цифрах эффект береговоч "ефракцин невелик, он может оказаться существенным при проектировании точных радионгвигационпых систем. В 40-х го, зх акад. В. Л. Фок детально исследовал это.явление в симой общей постановке. Согласно Фоку, задача о береговой рефракции своднэся к изучению распространения электромагнитных волн в однородном полупростра~стве, заполненном воздухом и ограниченном бесконечной плоскостьку (подстилающей средой), электродипамичсскис параметрея которой являются функциями ьооре а .

ы. Окз..алосеь что адекватной математической моделью данной задачи служит некоторое интегральное уравнение. Вывод э~ого ураьгення, повторяющий в основных чертах оригинальную рабе у (371, представлен ниже. Будем счнтатг это имеется декартова система координат (х, у, г), ориентированная таким образом, что ось г направлена в среду ! (возиулу, а плоскость.ХОЪ служит границей раздела между воздухом и хоргпно проводящей средой 2. Параметры этой среды — относительная диэлектрическая проницаемость е и удельная пповодимосяь о — являются произвольными функциями поперечьь:х координат х, и. Будем изуча.ь случай, когда электрический вектор распространяющенся волнь. поляризован практически вертикаль:ю, т.

е. основну о роль играют проекции Е,1 и Е,е в средах ! и 2 соответственно, в то время кск две остальные проекции этого вектора существенно малы. Еглн на рабочей частоте среда 2 может считаться хорошо проводящей, ~о в плоскости ХОт' векторы полей должны подчиняться приближенным ераннчным условиям Леонтовича. Однако в данном случае удобнее сформулировать граничные условия таким образом, ".тобы в ннх непосредственно входили нормальные проекции Е,1 и с,ь Первое из этих условий должно отражать физически 405 1д.д Метод интеграленых уравнений ясное требование непрерывности нормальной составляющей полного тока Я= †)еее,Е на границе. Отсюда, как легко видеть, Е„= ~~ — 1' — ) Е„при а=О.

(18. 35) Далее, на границе раздела малые касательные пооекции Е„, и Е„т, Е„, н Е„, должны быть непрерывны и, кроме того, в обеих средах должно выполняться уравнение Максвелла е)(ч Е=О. Поэтому — — — прн я — О. (18. 36) Условия (18.35) и (18.36) можно объединить, воспользовавшись тем, что волны в среде 2 движутся практически по нормали к границе раздела, т.

е. в отрицательном направлении осн а (см. гл. 6). В соответствии с этим ( д ) =та (Егт).о На основании этого, воспользовавшись равенствами (18.35) и (18.36), приходим к граничному условию относительно нормальной проекции электрического вектора: ~') дЕд ) тт дх /х-О ы — 1«1(нее) х=-О (18. 37) Теперь рассмотрим волновой процесс в среде 1, который описывается решением неоднородного уравнения Гельмгольца у'Е„+Р,'Е„= - 4пу'(х, у, а), (18. 38) где ~)~ — коэффициент фазы плоских волн в воздухе; 1 — некоторая известная функция координат, определяющая интенсивность источников; коэффициент 4л использован для удобства. Уравнение (18.38) является линейным, и, по принципу супер- позиции, его решение есть сумма двух составляющих.

Одна из них есть «первичное» поле, которое возникает в пространстве под действием источника 1 в предположении, что граница раздела отсутствует н все пространство равномерно заполнено воздухом. Другая составляющая — «вторичное» поле, наводимое лишь теми токами, которые протекают в среде 2. Е:=(Е.).=оехр (у ), где те=аз + 11)х — комплексный коэффициент распространения плоской волны заданной частоты в хорошо проводящей среде. Отсюда следует, что Глава 18, Компьютерные методы реюенил задач электродинамики Очевидно, что выражение для первичного поля в некоторой точке наблюдения Р записывается как интеграл от плотности сторонних источников, умноженных на функцию Грина скалярного уравнения Гельмгольца: е Е,'1 (Р) = ) „Г б Ь', А' где интегрирование проводится по объему Р, в котором сосредоточены источники. Чтобы найти вторичное поле, следует воспользоваться формулой Кирхгофа, полученной в 9 17.4; Е„(Р) = — — 1) — *' Е,— ~ ))бЯ (18.39) ЕИ=Е1+4л 1~~1~е — о(.О) г +Д ~ )~б~' которое по своей структуре близко к уравнению (18.34).

ЗАДАЧИ 1 8.1. Используя метод сеток, найдите наименьшее собственное значение для краевой задачи (18.8) при разбиении отрезка [О, а] на три и на пять частей. Сравните полученные результаты с точным значением. 18.2. Составьте разностный аналог уравнения Лапласа ь7'и=О для трехмерной пространственной области с декартовой системой координат. Шаг сетки Л по всем трем осям выберите одинаковым.

18.3. Применив метод Бубнова — Галеркина, получите приближенное собственное значение для основной моды краевой задачи (18.8). Используйте единственную координатную функцию «треугольной формы» 2х/а при О (х(а)2, р,(х) = 2!! — (х!а1 при а~2 (х (а,. Интегрирование здесь проводится по границе области, ограниченной плоскостью ХОУ и полусферой, которая располагается при г)0 и имеет радиус, стремящийся к бесконечности.

Очевидно, что в пределе интеграл по полусфере обратится в нуль, так.что под 5 в (18.39) следует подразумевать лишь указанную полуплоскость. Далее учтем, что на граничной плоскости следует полагать д)дп = — д)да, поскольку ось з направлена внутрь области 1. Тогда, воспользовавшись равенствами (18.37) и (!8.39), получаем интегральное уравнение рассматриваемой задачи ЗАКЛЮЧЕНИЕ Теперь, когда читатель готов перевернуть последнюю страницу книги, можно подвести итог и попытаться ответить на вопрос: чем же заяимается научная дисциплина, именуемая в учебных планах радиотехнических факультетов наших вузов как «Электро- динамика и распространение радиоволн»? Автор яадеется, что внимательный читатель ответит примерно так: эта наука занята систематическим анализом и разработкой математических моделей волновых процессов в интересах радиотехники и радиоэлектроники. Основой таких моделей служит система уравнений Максвелла. В математическом плане все сводится к решению этой внешне простой н в то же время исключительно богатой по физическому содержанию системы при различном выборе возбуждающих источников, прн разных начальных и граничных условиях.

Можно лишь поражаться, сколь велико разнообразие следствий, вытекающих из небольшого числа исходных предпосылок. Подчеркнем, что на протяжении всей книги мы имели дело исключительно с классической нерелятивистской электродинамикой. Физики, произнося такие слова, имеют в виду частную версию теории электромагнетнзма, которая отличается прежде всего тем, что ее основные понятия — напряженности полей, заряды и токи — не выводятся из чего-либо, а постулируются.

Кроме того, методы этой науки справедливы лишь в условиях, когда скорости движущихся тел существенно меньше скорости света. Первая успешная попытка преодолеть формальный характер основных законов и выйти за рамки максвелловского описания электромагнитного поля была предпринята в самом начале ХХ в.

Планк, а вслед за ннм Эйнштейн показали, что электромагнитные волны на самом деле представляют собой потоки частиц особого рода — фотонов; энергия каждого фотона У'=й/, где 6=6.62Х Х 10 '4 Дж/Гц — постоянная Планка, / — частота, Гц. Концепция фотона легла в основу мощнсй ветви современной физики — квантовой электродинамики. Но почему же в нашем курсе о фотонах не было сказано ни слова? Да потому, что в радиодиапазоне их энергии исключительно малы. Если даже положить, что =100 ГГц=10" Гц (а это, по меркам радиоинженеров, очень высокая частота), то ))г=6.62 10-'з Дж.

Чтобы создать поток мощности, скажем, 1 мкВт/м', нужно через площадку в 1 м' ежесекундно «пропускать» примерно 1О'т фотонов. Несмотря на полную 408 Заключение хаотичность, фотонный поток столь плотен, что в эксперименте мы всегда наблюдаем классическую волновую картину без сколь-либо ощутимых флуктуаций. Из-за исключительно высокой скорости распространения электромагнитных воли мы в подавляющем большинстве практических ситуаций не сталкиваемся с необходимостью учитывать релятивистские поправки, предписываемые теорией относительности. Дело в том, что скорости большинства материальных объектов на несколько порядков меньше скорости света. Иное дело — расчет, скажем, ускорителей элементарных частиц, но в этой области и методы анализа, естественно, свои. Наконец, мы ни разу не приоткрыли завесу некоторой таинственности, которая скрывает внутреннее устройство заряженных частиц, прежде всего электрона.

Жаль, конечно, но с этим придется смириться — такими вопросами занимается авангардная область пауки — физика элементар ~ых частиц. ! ам у специалистов масса трудностей, и ждать скорого разрешсния всех противоречий пе приходится. Затратив много времени и сил па изучение нашего далеко пе простого курса, мы, во-первых, приобрели ценный капитал (скорее психологического характера) — получили прочную интеллектуальную уверенность в том, что все электромагнитные процессы, представляющие интерес для радиотехники, происходят именно так, как это следует из теории Максвелла.

Второе приобретение пе менее существенно — мы овладели основами того «языкаэ, которым пользуются и в рамках которого мыслят специалисты, занимающиеся волновыми процессами. Конечно, далеко не все студенты, сдавшие экзамен по этому курсу, в дальнейшем станут работать пад электродинамической проблематикой (это вполне естественно, иначе возникла бы нехватка инженеров по системам связи или по схемотехнике). И все же всем будущим радиоинжеперам полезно овладеть основами теории волновых процессов. В наши дни приппипы этой теории проникли в те области радиотехники, где ранее безраздельно господствовала методология традиционной теории цепей.