Баскаков С.И. Электродинамика и распространение радиоволн (1992), страница 73

скалярное произведение (о, тр ) =О прн т=1, 2, ..., тЧ. Отсюда вытекает система линейных алгебраических уравнений относительно коэффициентов аь а,, ..., ан: ~' ая(7л71о о )=(Г, о ), а=! т=1, 2,..., )Ч. (18. 15) При выводе этой формулы использовано свойство линейности оператора 7, в соответствии с которым действие оператора на сумму функций равно сумме действий на отдельные слагаемые. На интуитивном уровне ясно, что при наилучшем выборе коэффициентов из (18.14) невязка должна быть предельно «не похожей» на все использованные координатные функции.

Именно так можно трактовать смысл понятия ортогональности двух функций (2]. Метод Бубнова — Галеркнна в равной мере применим и к краевой задаче на собственные значения Еи — Лти=О. (18.16) Повторяя предыдущие рассуждения, приходим к системе линейных уравнений '~~ а„](7лрто р ) — Л'( „, р )]=О, «-1 л1=1, 2,..., 1Ч, (18.

17) 395 !В.З. Метод Бубнова — Гахеукана откуда а 2 1(хо — ах) бх о ! ! 2 2 3 ао 1 ! ! ао (х« — 2ахо + атхт) бх — — — +— о 5 2 3 Значит, наименьшее собственное значение в данном -.'усае гс. гавит ст 3.162/а, что лишь на 0.658% превышает ис'.:..= ветп о.чу д=-тс/а. Учет координатных функций более высокого: ор: дк ведет к дальнейшему улучшению точности расчета.

Волновод с линейным законом изменения диэлектрической проницаемости. В качестве еще одного примера использования метода Бубнова — Галеркина рассмотрим задачу о прямоугольно.а металлическом волноводе, заполненном неоднородной диэлектрическс,й которая будет разрешимой относительно коэффициентов ас, аь ... ...„ан, если определитель, составленный из выражений в квадратных скобках, равен нулю. Отсюда получаем алгебраическое уравнение для нахождения собственных значений Хь йо, ".,;, рассматриваемой краевой задачи. Адекватность метода Бубнова — Галеркина была с успехом проверена на многих частных задачах из разных областей физики и техники.

Тем не менее математически доказать сходнмо=ть сумм вила (18.14) к истинному решению довольно сложно с23). Поэтому данный вопрос здесь не рассматривается. Простейший пример. Чтобы получить представлен . высокой эффективности метода Бубнова — Галеркнна, обрати, ся з. овь к краевой задаче (!8.8), которая позволяет находить допустимые пространственные распределения электрического в' к сора в прмоугольном металлическом волноводе с однородным заполнением.

Согласно принятым обозначениям, здесь т'.= — сР/с)хо. ),=д. Поставим цель получить приближенное собственное чиа "ае, ' . нонной (низшей) моды атакой системе. Ограничим: я, очзео. еда координатная система состоят из единственно" фу ..цни с„;. =х(х — а) =х' — ах, удовлетворявшей краевым усз. -ннм грн х=О и х=-а. Важно подчеркнуть, что такая квадратичная функция заведомо «похожа» на истинную собственную функцию аида з(п(ях(а), получаемую в результате строгого решения задачи. Легко проверить, что при таком выборе коорд! г т:!с,т р,!кдои невязка о(х) =2+8'(х' — ах). Требование ортого.,: ост! е,'х) и ср1(х) означает, что а ~ (2+до(х' — ах)) (х' — ах) с(х= О, о 397 78.4.

Метод интегральных уравнений При вычислениях был использован табличный интеграл «г х 1 х з)пгхбх= — — — — з(п 2х — — соз 2х. 4 4 Я Формула (!8.19) допускает простую и ясную интерпретацию. Действительно, если бы волновод был заполнен однородным диэлектриком с относительной проницаемостью к=д, то основная мода Нм имела бы квадрат продольного волнового числа йг=рогг7— — (п1а)г. Неоднородный диэлектрик в соответствии с выражением (18.19) эквивалентен некоторой однородной диэлектрической среде с эффективным значением диэлектрической проницаемости еьв= =г7+(тоа/2), которая имеет место в центре широкой стенки волновода. Отметим в заключение, что успех применения метода Бубнова — Галеркина к сложным полноводным задачам зависит не только от быстродействия и объема памяти компьютера, но и от правильности выбора системы координатных функций, которые должны по возможности полно учитывать априорные сведения об анализируемых электромагнитных полях.

18.4. Метод интегральных уравнений Все изучавшиеся нами до сих пор задачи прикладной электродинамики опирались тем или иным образом на дифференциальные уравнения, прежде всего на уравнения Максвелла в дифференциальной форме. Будучи безупречными в логическом отношении, такие уравнения могут оказаться весьма сложными, как только дело доходит до реализации численного алгоритма. Дело в том, что дифференциальное уравнение устанавливает локальную связь между значениями искомой функции в бесконечно близких точках пространства (или времени).

Решая такое уравнение численно, мы шаг за шагом движемся в некоторой области и получаем тот или иной результат, который называем приближенным решением. При этом возникают два существенных обстоятельства. Во-первых, решение должно удовлетворять некоторым дополнительным условиям в граничных точках.

Во-вторых, прн пошаговой реализации алгоритма неизбежно накапливаются ошибки, например за счет ограниченной разрядности чисел, обрабатываемых компьютером. В результате найденное «решение» может недопустимо отклониться от истинного результата, причем такая интуитивно оправданная мера, как сокращение шага дискретизации, не только ие исправляет, а, наоборот, ухудшает ситуацию. Радикальным способом, дающим возможность строить эффективные численные алгоритмы для электродинамических задач, ав- 398 Глава 18 Компьютерньм методы решения задач электродинамики томатически учитывая граничные условия, является переход от дифференциальных к интегральным уравнениям.

В настоящее время метод интегральных уравнений стал одним из ведущих приемов численного исследования инженерных и научных проблем технической электродинамики. В рамках нашего изложения мы сосредоточим основное внимание иа принципиальных вопросах и продемонстрируем вывод интегральных уравнений на конкретных примерах. Практическая реализация алгоритмов численного решения интегральных уравнений относится к области вычислительной математики и подробно описана в литературе (20, 40). Классификация интегральных уравнений. Интегральными принято называть такие уравнения, в которых функция, являющаяся искомым решением, входит под знак интеграла.

Если зто решение фигурирует в первой степени, то соогветствующее интегральное уравнение называют линейным. Многие практически значимые задачи сводятся именно к линейным интегральным уравнениям. Для наглядности ограничимся случаем, когда решение Ч~(х) является функцией одной переменной х, размерность и физический смысл которой могут быть любыми. Интегральным уравнением Фредгольма 1-го рода называют уравнение вида ь ~ К(х, у) р(у)с(у==У(х), (18.20) где у — формальная переменная интегрирования; 1(х) — известная функция; К(х, у) — так называемое ядро уравнения. Существуют также интегральные уравнения Фредгольма 2-го рода ь чь (х) -!, ) К (х, у) э (у) б у =- Г (х), (18.21) а в которые входит числовой параметр Х. Если в (18.21) положгмь 1'(х) =О, то получаем однородное интегральное уравнение, у которого заведомо есть тривиальное решение ~р(х) =О.

Тем не менее возможны исключительные, так называемые собственные значения параметра Х, при которых данное уравнение допускает нетривиальные решения, называемые собственными амунициями интегрального уравнения Фредгольма. Особыи класс представляют интегральные уравнения Вольтерра, у которых в отличие от уравнений Фредгольма верхний предел интегрирования оказывается переменной величиной. Соответствующие формы уравнений Вольтерра 1-го и 2-го рода получаются из равенств (18.20) н (18.21) заменой постоянной величины Ь на переменную х.

399 18Х Метод интегральных уравнений Сведение интегрального уравнения к алгебраическому. Возьмем для определенности уравнение (18.21) и приближенно заменим входящий в него интеграл конечной суммой, как это принято прн численном интегрировании; и ф(х) — Л т аьК (х, х„) ф(х„)=у (х). н=! (18.22) Здесь хн — совокупность заранее отмеченных внутренних точек на отрезке [а, Ь); сьь — постоянные числа, выбор которых диктуется примененной квадратурной формулой (прямоугольников, трапеций и т. п.), Если теперь в (18.22) последовательно подставлять х= = — х!, хм...,х„, то получаем следующую систему из и линейных алгебраических уравнений относительно неизвестных ф(х!)! и р(х„) — Л У алК (хь х„)ф(хн)=г (х„), (18. 23) и=! где г=1, 2, ..., и.

Решив эту систему стандартным методом, мы получаем некоторую совокупность точек, которые могут служить узлами аппроксимации для получения гладкого решения па отрезке (а, Ь). Если же исходное интегральное уравнение однородное и правые части в системе (18.23) равны нулю, то нетривиальное решение возможно лишь при нулевом определителе системы. Отсюда естественным образом приходим к алгебраическому уравнению и-й степени относительно собственных значений. Уравнение Поклингтона. Как пример использования метода интегральных уравнений рассмотрим классическую задачу о распределении тока вдоль тонкой проволочной антенны, возбуждаемой заданным внешним источником. Будем считать, что такая антенна представляет собой идеально проводящий круговой цилиндр радиуса а и длины 1, причем а«1 и а«Л, в то время как отношение 1/Л может быть любым Здесь Л вЂ” длина волны возбуждающего гармонического источника.