Баскаков С.И. Электродинамика и распространение радиоволн (1992), страница 72

Как правило, каждому такому значению отвечает одно решение Ег(х), называемое собственной функцией данной краевой задачи. Если же таких функций несколько, то имеет место вырождение. С понятиями собственных значений и собственных функций мы познакомились ранее в гл. 8 и 9, изучая колебания в прямоугольных и круглых волноводах. При этом удалось довести анализ до конца, поскольку известны аналитические решения соответствующих дифференциальных уравнений. Применительно к краевой задаче (18.5) — (18.6) сделать это в общем случае не представляется возможным, так как не существует метода получения общего решения уравнения вида (18.5) при любой функции а(х). Именна поэтому здесь на первый план выступают приближенные численные подходы. Заметим попутно, что уравнение (18.5) по характеру полностью совпадает с одномерным уравнением Шредингера, которое в квантовой механике описывает движение электрона в потенциальной яме с заранее заданным распределением потенциала, роль которого играет функция а(х).

18.2. Метод сеток Среди разнообразных численных способов решения дифференциальных уравнений одно из ведущих мест занимают так называемые прямые методы, в основе которых лежит идея сведения дифференциального уравнения к системе алгебраических уравнений. Глава 18. Комиьютеркие методы решения задач электродинамики 390 Сюда относятся, в частности, широко распространенный и хорошо изученный метод сеток, Сущность этого приема заключается в дискретизацли дифференциального уравнения, т.

е. в замене всех искомых и заданных гладких функций счетными совокупностями дискретных отсчетов, взятых с некоторым достаточно малым шагом, а также в переходе от дифференциальных операторов к их разностным аналогам. Изучим метод сеток на примере краевой задачи (18.5) — (18.6). Для простоты записи будем обозначать неизвестную функцию Е„(х) символом и(х). Разобьем отрезок (О, а) на У равных частей; длина каждой такой части Л служит шагом такой одномерной сетки. Концы интервалов дискретизации х,=О, х,=б, хя=2Л, ..., хи= =)тел=а образуют множество узлов сетки, в которых определяются значения искомой функции ив, иь ..., ия и заданной относительной диэлектрической проницаемости в„еь ..., еи.

Воспользуемся разностным аналогом первой производной ди, и(х+Л) — и(х) ивы — и„ Л Д где л — текущий номер узла сетки, из которого следует приближенное разностное выражение оператора второй производной дви ! Г и(х+Л) — и(х) и(х) — и(х — Л) ~ бх Л( и (х + л) ч- и (х — л) — 2и (х) и ь1 + и„1 — 2и„ Принимая во внимание, что в силу краевых условий (18.6) иь=. =им=-О, преобразуем дифференциальное уравнение (!8.5) в систему из чч' — ! од'сродных алгебраических уравнений относительно зн:ш; пй искомой функции в узлах сетки: и, —,7» аэ 2 -г-((чввт — )т ) и,=О, из+и, — 2ии а +(рье,— Ь ) ц. =О Д2 (18.7) и„-- и, а — + (~вече — — ьа) л =О.

Дэ Данная система уравнений будет совместной в том и только в том случае, если ее определитель равен нулю. Отсюда приходим к алгебраическому уравнению относительно неизвестной величины Ь, корни которого (й„йм ...) служат приближенными собственными И2. Метсд сегои 391 значениями для различных мод, которые могут существовать в прямоугольном волноводе с неоднородным диэлектрическим заполнением. Понятно, что с уменьшеним шага сетки /з число анализируемых мод увеличивается.

Как пример, иллюстрирующий описанный подход, рассмотрим краевую задачу, соответствующую прямоугольному волноводу с однородным заполнением; дги — +лги=О, д гг (18.8) и(0)=и(и)=0. Разобьем отрезок (О, а) на четыре равные части, положив /з=а/4. Тогда в соответствии с (18.7) будем иметь систему линейных уравнений иг — 2и~ + а2 д и,=О, из + из — 2иг а2 ю и2 ° иг — 2из+ 2 0 аг й из= или (агдг 2) и,+из=0, (18.9) и;+(агиг — 2) и,+и,=0.

и +(агдг 2) из — О. Условие разрешимости системы имеет вид Р (ага 2 2) (агйг 2) О агдг — 2 1 (18.10) 1 аг Один из положительных корней данного уравнения определяется равенством Лгаг — 2=0, откуда и= )~ 2/Л=4)~ 2/а=566/а. Это число служит грубым приближением к точному собственному 'значению и=я/а, которое отвечает моде Н„(см. гл.

8). Другой положительный корень должен удовлетворять уравнению (Лгдг — 2)'— — 2=0, откуда д=~/ 2+)Г2/ а=4~/2+)~'2/ а=739/и. Соответствующее точное значение и=2п/и отвечает моде Нзз. 392 Глава 18. Компьютерные методы решения задач электродинамики Можно заметить, что погрешности определения собственных значений довольно значительны.

Это связано с очень грубым разбиением отрезка 10, а~, на котором ищутся функции. Если перейти к существенно более мелкому шагу Л, то расчеты станут гораздо точнее, однако для реализации метода обнзательпо потребуется компьютер, Методу сеток свойствеьна высокая универсальность. Так, с его помощью можно решить двумерное у уравнение Лапласа ь7ги=О при однородных краевых условиях, сора гласно которым на контуре Г, г ограничивающем замкнутую область Й, искомая функция и принимает известные значения. ВычисЯ лительная схема должна быть организована следующим образом.

На плоскости ХОУ изображается достаточно мелкая квадратная сетка л с шагом Л (рнс. 18.2). Из отдель- ных сторон квадратов строится Рнс. 18.2. Сеточная аппрокснма- контур 1'ь, аппроксимирующий исцня двумерной области ходный гладкий контур Г. Дискрет- ная функция, приближенно заменяющая решение, определяется на счетном множестве 1)ь узлов сетки, которые лежат внутри Й. Выразим вторые производные, входящие в оператор Лапласа, через конечные разности: дги и (х + б, у) + и (х — а, у) — 2и (х, у) дхг дг (18.11) дги и (», у + о) -~- и (х, у — Ь) — 2и (х, у) дуг лг Тогда в окрестности любой внутренней точки Р уравнение Лапласа сведется к алгебраическому равенству и(х+а, у)+и(х, у+Ь)+и(х — д, у)+и(х, у — д) — 4и(х, у)=0. (18.12) Если все точки, соседние с Р, являются внутренними, то уравнение (18.!2) будет однородным.

Если же некоторые нз этих точек принадлежат граничному множеству Г„то в (18.12) появится заданная правая часть. Таким образом, метод сеток сводит решение уравнения в частных производных к гораздо более простой (по крайней мере в принципиальном отношении) задаче — отысканию !8.8. Метод Бубнова — Говернина 393 многомерного вектора, который служит корнем большой системы линейных алгебраических уравнений.

Несмотря на очевидные достоинства, метод сеток имеет и недостатки, главный из которых — огромный объем вычислений, существенно сказывающийся при решении сложных электродинамических задач, особенно в трехмерной постановке. 48.3. Метод Бубнова — Гаперинна В 1913 †19 гг. русские ученые И. Г. Бубнов и Б. Г. Галеркин, специалисты в области теории упругости, предложили оригинальный прямой способ решения задач математической физики, названный в последующем их именами.

Метод Бубнова — Галеркина в наши дни занимает одно из центральных мест в вычислительной электродинамике. Сущность метода. Предположим, что имеется краевая задача, представленная в общей операторной форме Еи — Г'(Р) =О. (18.! 3) Здесь и(Р) — искомая функция пространственных координат, !(Р) — заданная функция точки Р, определяюцгая наличие внешних источников, ~ — линейный дифференциальный оператор. Множество точек Р принадлежит некоторой замкнутой области йе, на границе Г которой решение и(Р) удовлетворяет заданным краевым условиям.

Предположим, что в области 11 построена некоторая, вообще говоря бесконечная, система функций (ф*)=ф1(Р), фт(Р),- , ф (Р), ..., каждая из которых на Г удовлетворяет тем же условиям, что н искомое решение и(Р), например обращается на Г в нуль. Функции из системы (ф,) полагаются линейно независимыми, т. е. равенство а ф,+арт+...+а 1т„+...=О возможно лишь в том случае, когда все числовые коэффициенты аь ам ..., а,, одновременно равны нулю. Принято говорить, что (ф,) представляет собой систему координатных функций. Будем искать приближенное решение краевой задачи (18.13) в виде конечного отрезка ряда из функций, принадлежащих (ф;), с некоторыми нс нззестнымн заранее постоянными козффициентами (18.14) 394 Глава 18. Компьютерные методы решения задач электродинамики Если бы при этом было получено точное решение задачи, обращающее в нуль левую часть равенства (18.13), то, очевидно, для любой координатной функции выполнялось бы соотношение ортогональности вида ((7и —.У), <Рч) =~ ((и — 7) оч (Р) б2 =О.

Однако функция и„из (18.14) в общем случае не является точным решением, поэтому прн ее подстановке в (18.13) возникает так называемая невязка ! и а~Р1 — ь(~ ~т,) — т. В основе метода Бубнова — Галеркина лежит следующее положение; множество коэффициентов (а1), входящих в формулу (18.14), следует выбирать так, чтобы невязка оказалась ортогональной ко всем координатным функциям тр1, 1рз, ..., ьрн, т. е.