Детлаф А.А., Яворский Б.М. - Электричество и магнетизм (1975), страница 9

Из условия симметрии следует, что силовые линии поля заряженной сферы направлены радиально (рис. 3.10). По тем же причиl а 0 х нам числовые значения электрического смещения 0 должны быть одинаковыми во всех точках, лежащих на одном и 1 ( 4 а, 1 том же расстоянии от центра 0 заряженча' 7 ной сферы. Проведем через исследуемую точку поля Л, лежащую вне заряженной сферы (г:» Я), шаровую поверхность В с центром в точке О.

Во всех точках этой поверхности 0„=- О,=- сопз1. Поэтому Рис. 3,10 поток смещения сквозь замкнутую поверхность Я (р, ~) 0„р(Б = О, р~ р(5 = 0,5 = О, 4ргр. Ъ По теореме Остроградского — Гаусса этот поток также равен обще- му заряду сферы д = 4п)сза. Следовательно, О, = д~4хгх, (3. 29) ррр 4ьрррр (3.28) — 42— Эти формулы тождественны формулам (2 2Г) и (2.2') для поля точечного заряда д. Таким образом, электростатическое поле вне равномерно заряженной сферической поверхности эквивалентно полю точечного заряда, равного общему заряду сферы и расположенного в ее центре. Рассмотрим теперь произвольную точку В, лежащую в н у т р и сферы (г, ~ Я), Проведенная через нее сфера с центром в точке 0 ие охватывает электрических зарядов.

Поэтому (0, = 4пг,'0 = О и О=Е=О. На рис. 3.11 представлен график зависимости напряженности электростатического поля равномерно заряженной сферической поверхности от расстояния г точки поля до центра этой поверхности, Разность потенциалов между двумя точками, лежащими на расстояниях г, н ге от центра заряженной сферической поверхности (г, ь Я Рис. 3.11 и ге'= )юю), находим из формулы с1ср = — Е„г(г = — —" с(ге 4июююсю Гю юр,— юр = ~Е,г(г= и ~ — — 1), (3 30) Положив г, = Е и ге —— сю, получим потенциал заряженной сферической поверхности юр = д/(4яеюИ) Внутри заряженной сферы поля нет, и потому весь ее объем эквнпотеициален.

6.Электростатическое поле шара радиуса Д, равномерно заряженного с объемной плотностью р ~ О (рис, 3.12). (3.30') Рис. 3.12 В любой точке А, лежащей в н е шара на расстоянии г от его центра (г ~ Я), его поле аналогично полю точечного заряда ю) = 4п)сер/3, расположенного в центре шара. Поэтому электрическое смещение — 43— 1 )х, = — рг, 3 (3.31) рг т ь еьн 3 еьа1 (3.32) где е, — относительная диэлектрическая проницаемость материала заряженного шара. Разность потенциалов между двумя точками поля внутри шара равна р,— р,=~Е,(.= — ' (.(.= ' (", .',). (3.33) 3...

3 О.з., о На рис. 3.13 представлен график зависимости Е„ от г для равномерно заряженного шара. При г = )х выражения (3.29) и (3.32) не совпадают, так как относительная диэлектрическая проницаемость среды, окру- г жающей заряженный шар, е Ф е, (рис. 3.13 соответствует случаю, когда е(е,), с'г рпс. 3.13 Вопросы дпя повторения !. Каково условие потенциальности силового полат Докажите, что электростатическое поле является потенциальным. 3.

Дайте определение потенциала электростатического поля. 3. Как связана работа перемещения заряда в электростатическом поле с напряженностью н потенцвалом полат 4. Какова связьмежду потенцналом н напряженностью электростатического полях Примеры рещение задач Задача 3.1. Внутренний цилиндрический проводник длинного прямолинейного коакснальнога кабеля имеет радиус !1, = х мм н заряжен с линейной плотностью т, = 9,42 1О ' СГСЭ /см. Внешпнй цнлнндрнчсскнй проводник имеет радиус ке = 4 мм н заряжей с линейной плотностью тз = † Изоляцией между цнлнпдрамн служит резина (е = 31. Найти: значения напряженностн электрического поля в точках А н В, лежащих на расстояниях г, = = 3 !О з м н гз = 6 10 з м от осн кабеля, а также разность потенциалов между цнлиндрамн. напряженность поля и разность потенциалов вычисля1отся соответственно по формулам (3.28), (3.29) и (3.30). В точке 8, лежащей в н у т р н шара на расстоянии г от его центра (г~ )т)„электРическое смещение опРеделЯетсЯ лишь заРЯдом Оы заключенным внутри сферы радиуса г: 4зхгзОг= д! = 4/зпг'р, откуда Дано )йд 2 1озм гд = 3,! 4 ° 10 до Кл/м тз — 3, !4 ° 10 до Кл/и /4=4.

1О-з м ед — — 3 ° 10 з и гз =6 ° 1О з и а=3 ЕА 7 Ев Р (с/д с/з) Р Р е ш е н и е. Электрическое поле между цилиндрами создается лишь зарядом внутреннего цилиндра кабеля. По формуле (3 26'), напряженность этого поля в любой точке А, лежзщей иежлу цилиндрами, численно равна Ь' = гдД2аооогд) А я направлена радиально относительно оси ка- беля. Электрическое поле в любой точке вне кабеля создается зарядаии как внутреннего, так и внешнего цилиндров. Поэтому напряженность поля в точке В численно равна Еп — (тд + тз)/(2яооздгз)с где зд = 1 — относительная диэлектрическая проницаемость воздуха. Разность потенциалов между цилиндрами можно найти по формуле (3 27)г 'сс Ез с/д — уд = — !п — ° 2ссдоо /сд Произведем вычисления в СИ: сд 3 14 ° 10 до В 2иооогд 2 3,14 ° 8,85 ° 10 дз ° 3 ° 3 ° 1О о м Еи = (т, + тз)Д 2ссоо'д"з) = О сс Ез 314 1Одо 2ссооо /7д 2 ' 3.14 ' 8 85 ' 10 д' ' 3 1п — 1п 2 В = 1,3 В.

Задача 3.2. Частица, несущая заряд 2 СГСЭо, двигаясь в усков яющеи электрическои поле, приобретает кинетическую энергию 1О МэВ. айти разность потенциалов между начальной и конечной точками пути частицы в поле, если ее начальная кинетическая энергия была равна нулю. Дано' Р е ш е н и е. Работа, совершаемая силами электрического поля прн перемещении заряжен- „! (2/3), 10-о Кл ной частицы, равна изменению ее кинетической (Рю 1,6 10 дз Дж энергии Ятзс А = йткз — йтк,.

С другой стороны, )йс„= О по формуле (3. !4), А = д(ф, — срз), где с/ — за(уд-,) — 7 ряд частицы, (фд — срз) — искомая разность потенциалов. Поэтому 9д — с/з = ()око 1! зд)/с/. Произведем вычисления в СИ: йока йтю ! 6" !О дз 3 срд 9з — —  — 2,4 10 з В= 2,4 иВ. 2 ° 10 о Глава !Ч ПРОВОДНИКИ В ЭЛЕКТРОСТАТИЧЕСКОМ ПОЛЕ 5 4Л. Распредепенне зпектрннескнх зарядов на проводнике 1.

В проводниках имеются электрически заряженные частицы — носители заряда, которые способны под действием внешнего электрического поля перемещаться по всему объему проводника. В этой главе мы ограничимся рассмотрением только твердых металлических проводников. Носителями заряда в них являются электроны, называемые электронами проводимости или свободными электронами. Они возникают при переходе металла из газообразного состояния в конденсированное (твердое или жидкое) за счет происходящего при этом обобществления валентиых электронов, отделяющихся от асвоих» атомов.

Не останавливаясь на экспериментальном обосновании электронного характера электропроводимости металлов (см. 5 8 3), рассмотрим особенности поведения электронов проводимости в электростатическом поле и связанные с этим электрические свойства проводников в условиях электростатики. 2. В первом приближении можно считать, что в отсутствие внешнего электрического поля электрические поля электронов проводимости и положительных ионов металла («атомных остатков») взаимно компенсируют друг друга. При внесении металлического проводника во внешнее электрос»атическое поле электроны проводимости пере- распределяются в проводнике до тех пор, пока всюду внутри проводника поле электронов проводимости и положительных ионов не скомпенсирует внешнее поле. Итак, в любой точке проводника, находящегося в электростатическом поле, напряженность установившегося результирующего электрического поля равна нулю.

На поверхности проводника вектор напряженности Е должен быть направлен по нормали к этой поверхности, иначе под действием составляющей Е, вектора Е, касательной к поверхности проводника, заряды перемещались бы по проводнику, что противоречило бы их статическому распределению. Отсюда следует, что в установившемся состоянии: а) во всех точках внутри проводника Е = О, а во всех точках на его поверхности Е = Е, ( Е. = 0); б) весь объем проводника, находящегося в электростатическом поле, эквипотенциален. Действительно, в любой точке внутри проводника (йрЫ~) = — Е соз (Е, й) = О и <р = соп»1.

Поверхность проводника также эквипотенциальна, так как для любой линии на поверхности (г(г1аЧ) = — Е, = 0; в) в заряженном проводнике некомпенсированныезаряды располагаются только на поверхности проводника. Проведем внутри проводника произвольную замкнутую поверхность 5, ограничивающую некоторый внутренний объем проводника. Согласнотеореме Остроградского †Гаус, суммарный заряд д этого объема равен я = Фр —— ~0(Ысоз(0,п) = О, (4,1) так как во всех точках поверхности 3, находящейся внутри проводника, поля нет.

3. Определим напряженность поля вблизи поверхности заряженного проводника. Лля этого выделим на его поверхности произвольную малую площадку дЗ Э и построим на ией пилиндр высо- и5' той Ж с образующей, перпендикулярной площадке ЙЯ, и основаниями г(5' и г(3", параллельными 43 (рис. 4.1).