Детлаф А.А., Яворский Б.М. - Электричество и магнетизм (1975), страница 6

Однако в пределах каждого достаточно малого элемента Н5 поверхности ее можно считать плоской, а поле — однородным. Поэтому элементарный поток смещения сквозь участок поверхности, имеющий плошадь Ю, бФ,. = Ос(5 соз (О, п) = О„б5 = ОН5~с, или с(Ф, =- Ог(5, (2.23) где п — единичный вектор, нормальный к площадкей5, а Ю = пг)5— вектор площадки г(5. Полный поток смещения Ф, сквозь поверхность 5 найдем в результате суммирования (интегрирования) всех элемен- тарных потоков: (2.23') дФ,=И5, = — — Н5„ 1 ч 4а г' (2.24) где г — расстояние от элемента Ы5 до заряда д, Вектор электрического смещения 0 направлен радиально (см.

формулу (2.2 !)). Поэтому й5,— площадь проекции элемента поверх ности й5 на плоскость, перпендику- При вычислении этого интеграла все векторы и нормалей к площадкам б5 нужно направлять в одну и ту же сторону по отношению к поверхности 5. Так, например, в случае замкнутой поверхности 5 все векторы п должны быть либо внутренними нормалями, либо внешними (в дальнейшем будем пользоваться только последними).

Формулы (2.23) и (2.23') являются наиболее общим определением црнятия потока смешения. б. Пусть электрическое поле создается одним точечным зарядом д. Рассмотрим произвольную замкнутую поверхность 5, о х в а т ы в а ющ у ю этот заряд (рис. 2.12). Из (2.23) и (2.2!') следует, что поток смешения сквозь элемент Ю этой поверхности равен лярную радиусу-вектору г. С точностью до бесконечно малых высшего порядка малости можно считать, что Ы с равно площади Ю' проекции элемента с(5 на сферу радиуса г, в центре которой находится заряд д (с(5, и Н5' иа рис. 2.!2 не показаны).

Поэтому с(~)~е :(2.24') 4и сс Напомним, что телесным углом называется часть пространства, ограниченная конической поверхностью (рис, 2.13). Мерой телесного Рис. 2.Щ Рис. 2.13 угла сс является отношение плошади Б', вырезаемой конической поверхностью на сфере произвольного радиуса г с центром в вершине конуса О, к квадрату радиуса г: си = 3'lги. (2.25) Если 5' = г', то си =- 1 ср. Так как полная площадь поверхности сферы равна 4пгс, то развернутый телесный угол, опирающийся на всю сферу и охватывающий собой все пространство, равен 4п ср. Таким образом, выражение д5'!гс, входящее в (2.24'), представляет собой телесный угол с(си, под которым элемент с(Б замкнутой поверхности 3 виден из точечного заряда д: с(Ф„, = дИа(4и.

(2.26) Интегрируя это выражение по всей поверхности Я, т.е. по а от О до 4п, находим выражение для потока смещения электрического поля точечного заряда д сквозь произвольную замкнутую поверхность 3, охватывающую этот заряд: Ф, = ~ ч пса = д. (2.27) 4и о 6. Если замкнутая повер- хностьЯ не охватывает заряда д (рис. 2.14), то касатель- Рис. 2.14 — 27 Поэтому Ф, =Г э„тз (2. 28) Вопросы дия певтерення 1. Какие поля называются электростатическими? 2, Что такое напряженность электрического поля? 3.

В чем состоит принцип суперпозиции электрических полей? 4, Чему равна напряженность поля точечного заряда, диполя, равномерно заряженной плоскости? 5. В чем состоит различие между силовыми линиями и траекториями зарядов в электрическом поле? 6.

Сформулируйте н докажите теорему Остроградского †Гаус. Примеры ращения задач Задача 2.1. Весьма тонкое положительно ааряженное кольцо радиуса 0,1 и лежит в плоскости ХЛ. Найти напряженность электрического поля и электрическое смещение в точке, находящейся на оси кольца на расстоянии О,!5 и от его центра, если заряд кольца 5 иКл ранномерно распределен по его окружности. Дано: Р е щ е н и е. Разделим кольцо Е на одинаковые малые участки Вд Заряд каждого участка, авный ад, можно считать точечным, 'Г овместим начало координат О с центром кольца (рис. 3.15).

Тогда ось кольца совпадет с осью ОУ. Напряженность электрического поля ВЕ, создаваемого в точке А на оси кольца заря. дом-лв, по формуле (2хн) численно ранна )? =0,1 и Ь=О,15 м о=5 1О ' Кл э=1 Š— ? Π— ? ВЕ = ВЧ!4кееегз, где г' = )?з+ Ьз. Вектор ВЕ составляет с осью 01' угол а. Заряженное кольцо создает в точке А поле, напряженность Е которого согласно принципу суперпозиции равна векторной сумме напряженностей ВЕ Поток смещения сквозь произвольную замкнутую поверхность равен алгебраической сумме электрических зарядов, охватываемых этой поверхностью.

Полученный результат называется теоремой Остроградского — Гаусса. Всякое заряженное тело можно рассматривать как систему точечных зарядов. Поэтому теорема Остроградского — Гаусса справедлива для электрических полей, создаваемых любыми заряженными телами.

8, Для электрического поля в вакууме напряженность Е = О/еэ, Поэтому из (2.28) следует, что лоток вектора напряженности электростатического поля в вакууме сквозь произвольную замкнутую поверхность раин отношению алгебраической сумма зарядов, охватываемых этой поверхностью, к электрической постоянной: э Е„йБ = — ~Р аг, (2. 28') те !ь а Это епге одно выражение теоремы Остроградского — Гаусса применительно к электростатическому полю в вакууме. полей, создаваемых всеми точечнымн зарядами Щ иа которые разбивается заряд кольца, т. е, Е=~ оЕ, Е= ~г(Е1+~г(Еа Лля каждой пары зарядов г(4 и й/ = ор, расположенных симметрично относительно цевтра кольца, векторы с(Е2 и г(Еа' в точке А равны по модулю и противоположны по направлению (г(Е2= — г(Е2 ).

Поэтому векторная сумма ~ г(Ез = О. Составляющие г(Е, для всех элементов кольца имеют одинаковые направления. Таким образом, Е = ~ г(Е, =$г/Е соз и. х Подставив в эту формулу выражение для г/Е, получим Рис. 2.15 1 (' ПЧ Е= ~ — соз и. 4кеее гз 1 6 (' 6 Ч 4вьоа (На+52)/,) 4кааь(/12+62)З/2 Электрическое смещение в точке А найдем по формуле (2. 19): Ь О =- еееЕ = 4х(йт+ йа) З/2 Ч.

Произведем вычисления в СРЕ Ь 0,15 5 10 а Е= 4ятое Я'+ 52)з/2 4 3 14.8 85.10-ы(0 12+ 0,152)з/2 = 1150 Н/Кл, Кл 6 0,15 Кл () Ч вЂ” ' 22 5 10-' — = ~з. а, .~ОБ>~ ' Ф = 1,02 ° 1О ' Кл/мз = 10,2 нКл/мэ. — 30— гдезиак~ означает, что интегрирование (суммирование) векторов ФЕ произ- ь водится по всем элементам заряженного кольна Е. Вектор г(Е можно разло»сить на две составляющие: г(Е,, направленную вдоль оси 01', и г(Ех, параллельную плоскости ХЛ:о Е = г(Ег + 3 Ее. Следовательно, Г пав а 1Я ПОТЕНЦИАЛ ЭЛЕКТРОСТАТИЧЕСКОГО ПОЛЯ $ ЗА. Работа. совершаемая прн перемещении эпентрнческого заряда в электростатическом попе (ЗА) г(А =.

Рп(сов(р, д1) = г),Есоз(Е, И) г(!, где (Е, ~Л) — угол между направлениями векторов Е и г(!. В случае конечного перемещения заряда д, из точки а в точку Ь работа сил поля ь А = д, ~ Ей соз (Е, Л) = д, ) ЕЙ, (3.2) а И где Е и! — скалярное произведение векторов Е и д!. 2. Рассмотрим частный случай, когда поле создано точечным зарядом д ~0 (рис. 3.!). Тогда г(1 сов(Е, б1) = й-, Е = Ч(4яазог'.

и работа, совершаемая при перемещении заряда д, из точки а в точку Ь, где г, и г, — расстояния точек а н Ь Е от заряда д. В формуле (З.З) работа электрических сил отталкивания одноименных зарядов д и д, будет положительной, г если заряды удаляются один от другого, и отрицательной. если они сближаются. Работа электрических сил э а притяжения. разноименных зарядов д Рис. 3.! (3.3) — 3!в 1. Как было показано в Т 6.2 первого тома, работа, совершаемая при перемещении какого-либо тела в гравитационном поле, не зависит от формы пути, по которому происходит перемещение, а зависит только от начального и конечного положений этого тела. Иначе говоря, силы всемирного тяготения — консервативные силы, работа которых связана с изменением потенциальной энергии перемещаемого тела.

формальное сходство закона всемирного тяготения Ньютона (г = ут,т,!гт) и закона Кулона (Р = к,д,д,~г') дает основания предполагать, что электростатические силы также должны быть консервативными. Проверим справедливость этого предположения. Сила г, действующая на точечный электрический заряд д„находящийся в электростатическом поле напряже|шостью Е, равна д, Е. Работа, совершаемая силой Р при перемещении заряда д~ на отрезок Л, и а, будет положительной при сближении зарядов и отрицательной при их удалении друг от друга.

Из (З.З) видно, что работа, совершаемая при перемещении заряда д,вполеточечногозарядад,не зависит от формы пути, по которому движется заряд дв, Она зависит только от начального и конечного положений заряда д„диэлектрической проницаемости среды н величины зарядов д и 4,. 3. Если заряд д, перемещается в поле, созданном системой точечных зарядов дм дм ..., д„, то на него действует сила Е = Г, + г, + + ... + г„. Работа А равнодействующей силы равна алгебраической сумме работ составляющих сил (см.

т. 1, э" 3.1). Поэтому А= А4+А, + ° ° ° + А„= '~ — '~' ~ — — — ), (3.3') ~~~,( 4ш~~ ~~и ~л,) ~=! ф Е с(1 соз (Е, Л) = ф Ес(! Этот интеграл называется циркуляцией напряженности вдоль замкнутого контура Ь. В случае замкнутого пути начальная и конечная его точки совпадают. Поэтому, как следует из формулы (3.3'), работа, совершаемая при перемещении заряда во внешнем электростатическом поле по любому замкнутому пути, равна нулю. Иначе говоря, циркуляция напряженности электростатического поля вдоль замкнутого контура равна нулю, т. е. ф ЕЫ сов(Е, Л) = О. (3.4) Силовое поле, напряженность Е которого удовлетворяет условию (3.4), называется потенциальным.