Детлаф А.А., Яворский Б.М. - Электричество и магнетизм (1975), страница 5

По формулам (2.10) н (2.12') напряженности Е, и Еэ полей, создаваемых в точке С каждым нз диполей, равны 1 хре1 1 Р е Ее — —, Е,= — — —. 4све еее 4яее еее Векторы р„и р„и соответственно Е, и Ез взаимно перпендикулярны. Поэтому численное значение напряженности поля диполя МУ в точке С с= е' е~ ее~ - — — е(ее.е'е.9 ~'. Подставив сюда значения р„и р,з из (2.13), получим Š— ~' $'Зсоз'<р+1. 4лео (2.14) Рис. 2.5 от его центра, т.е.

значительно быстрее, чем в случае поля одного точечного заряда. В связи с этим сила взаимодействия двух диполей оказывается обратно пропорциональной четвертой степени расстояния между ными, Еще быстрее убывает с расстоянием напряженность поля квадруполя — системы двух одинаковых и антнпараллельиых диполей, заряды которых расположены в вершинах небольшого квадрата.

Для квадруполя Е г ', а сила взаимодействич двух квадруполей Р г з. Чем больше число пар разноименных зарядов и чем снмметричнее они расположены в теле, тем быстрее убывает напряженность поля в зависимости от расстояния. 9. В качестве примера электростатического поля системы, образованной непрерывно распределенными зарядами, рассмотрим и о л е к р у г л о й п л а с т и н к и радиуса )т, заряженной с постоянной поверхностной плотностью и (и) О). Найдем напряженность поля в произвольной точке А прямой, перпендикулярной плоскости пластинки и проходящей через ее центр О (рис. 2.5, а).

Выделим на пластине бесконечно малый элемент поверхности В (рнс. 2.5, б), ограниченный окружностями радиусов х и х + йх, центры которых лежат в точке О, н двумя радиусами, образующими с полярной осью ОК углы Ч~ и Ч~ + й~. Площадь пБ элемента В и его заряд й) равны соответственно: бЗ = хйрйх, Йу = ада = ахг(срдх. Заряд элемента поверхности В можно считать точечным.

Напряженность поля А Е„ создаваемая им в точке А, направлена вдоль прямой ВА и по формуле (2.2') численно равна 2!в Формула (2.14) охватывает все возможные случаи расположения гочки С. При гр = 0 она совпадает с (2.10'), а при ср = п/2 — с (2.12). 8. Из формулы (2.14) следует, что напряженность электрического поля диполя зависит от направления радиуса-вектора г относительно оси диполя и убывает пропорционально кубу расстояния г 1 а(д аха(ха(т а(Е! — — — — = —, 4аао аал 4ааоагл где г — расстояние от точки А до э лемента В пластины. Из рис.2,5, а видно, что г' = Ь'+ х', здесь Ь = ОА — расстояние от точки А до центра пластины. Элемент пластины С, симметричный элементу В относительно точки О, создает в точке А поле напряженностью /1 Е,. Так как элемен- ты В и С имеют одинаковые заряды о(о/ и равноудалены от точки А, то о(Ел = о(Ео причем векторы о(Ел и о(Ее симметричны относительно прямой ОА.

Поэтому вектор (1Е напряженности результирующего поля (бЕ = дЕ, + о(Ее) направлен вдоль ОА и численно равен /1 Е = 2о(Ел соз а, где соз а = Ь/г. Таким образом, 2оаха(хат оЬ хоха(т 4ааоаал 2хаоа (Ьл+хл)е/е Интегрируя это выражение по всем элементам заряженной пластинки, т.е. по х от О до й и по ор от О до л, находим численное значение Е напряженности поля пластинки в точке А: Н а я аЬ (' хах оЬ (' хах Е= 2ааоа 1 (Ьл + х']3/2 ) 2ао' 1 (Ьл + хл)3/2 о о о Введем замену переменных, обозначив Ь*+ х' = ге, тогда Уел+и Ь ( —,'). После интегрирования получаем Так как все векторы о( Е перпендикулярны плоскости пластины, то и результирующий вектор Е имеет то же направление. 10.

Рассмотрим два предельных случая этого поля. Если Я-о.ао, то пластина превращается в бесконечную равномерно заряженную плоскость, напряженность поля которой Е = а/2еое. (2.16) Из (2.1б) следует, что напряженность поля равномерно заряженной плоскости не зависит от положения точки А (Е = сопз1). Во всех точках поля векторы Е направлены перпендикулярно плоскости (от нее, если а «О, и к ией, если а О). Поэтому Е = сопз1. (2,17) — 22— Электростатическое поле, удовлетворяющее условию (2 17), называется однородным. Пусть теперь Й )) гт'.

Это значит, что линейные размеры зарнженной пластины во много раз меньше расстояния до исследуемой точки поля. Кз формулы бинома Ньютона„имеющей вид (а+ Ь)'" =а'"+ — ° а ' Ь+ (и 1) а г Ь'+ и 21 га(чг В("' 21 . ж-а . Ьг , аи" 31 следует, что Так как третий и последующие члены этого ряда весьма малы по сравнению со вторым, то ими можно пренебречь, и тогда ( аг 1 рг ! аг 1+ — ж! — — —, Лг г' 2 Лг Подставив это выражение в (2.15), получим Е= — = ояг д (2.18) 4вяЛ' 4гмгЛг где д = ан!гг — общий заряд пластины. Формула (2.18) совпадает с (2.2') для напряженности поля точечного заряда, если вместо Л подставить г. Таким образом, вдали от заряженнои пластины ее поле подобно полю точечного заряда, равного ап!тг.

й 2.3. Графическое иэображение электростатических полей !. Графическое изображение электростатического поля с помощью векторов напряженности Е в различных точках поля очень неудобно. Векторы напряженности при этом накладываются друг на друга, и получается весьма запутанная картина. Более нагляден предложенный М.

Фарадеем метод изображения электростатических полей с помощью силовых линий (линий напряженности). Силовыми линиями называются кривые, касательные к которым в каждой точке совпадают с направлением вектора напряженности поля (рис. 2.6). Силовым линиям приписывается направление такое же, как вектора напряженности. Например, на рис. 2,6 силовая линия направлена слева направо. Считается, что силовые линии начинаются Ь,' иа положительных зарядах и оканчиваютг ся на отрипательных. Линии напряжениости не пересекаются, так как в каждой точке поля вектор Е имеет лишь одно направление. Рис.

2.6 — 23— 2. На рис. 2.7 — 2.10 изображены известные из курса средней школы картины плоских сечений электростатических полей: положительного и отрицательного точечных зарядов, а также двух одинаковых и двух разноименных точечных зарядов. В первых двух случаях (рис. 2.7, 2.8) поля обладают центральной симметрией. В случае поля двух одиЪ ч., + Рис. 2.8 Рис. 2.7 Рис. 2.9 Рис.

2. !О иаковых одноименных зарядов !рис. 2.9) силовые линии искривлены. Однако вдали от зарядов эти линии асимптотически приближаются к прямым, проведенным из точки, находящейся посредине между зарядами. Поэтому вдали от зарядов создаваемое ими поле подобно полю точечного заряда 2//, находящегося посредине. Из приведенных рисунков видно, что силовые линии могут уходить в бесконечность. 3. Распределение силовых линий электростатического поля можно показать на опыте.

Для этого силуэт заряженного тела, вырезанный из металлической фольги, наклеивают на дно стеклянного сосуда, в который наливают жидкий диэлектрик, например скипидар или касторовое масло, а затем в эту жидкость насыпают манную крупу. Крупинки образуют в электрическом поле цепочки, распределенные вдоль силовых линий'. " Причины перемещения н поворота крупинок н электростатическом поле объяснены в э 6. !. 4, Силовые линии не следует отождествлять с траекториями движения в электростатическом поле очень легких заряженных частиц.

Траектория частицы обладает тем свойством, что в каждой ее точке по касательной к ней направлена с к о р о с т ь частицы. По касательной же к силовой линии направлены с и л а, действующая со стороны поля на частицу, а следовательно, и у с к о р е н и е, частицы. $2.4. Электрическое смещение. Теорема Остроградского — Гаусса 1. Напряженность электрического поля, как видно из рассмотренных в 2 2.1 и 2.2 полей точечного заряда, диполя, равномерно заряженной круглой пластинки и плоскости, зависит от свойств среды: в однородной изотропной среде напряженность поля Е всегда обратно пропорциональна е.

Поэтому для характеристики электрического поля наряду с напряженностью Е удобно ввести еще одну векторную величину О, называемую электрическим смещением или электрической иидукцией. Для поля в электрически изотропной среде связь 0 и Е в СИ имеет вид' 1.! = евеЕ В СИ электрическое смещение выражается в кулонах на квадратный метр (Кл!мт), В системе СГСЭ 0 =вЕ. (2.20) Из (2.19) и (2.2) следует, что для поля точечного заряда д ! д 0= — — г, 4к (2.21) а проекция Р иа направление радиуса-вектора г Р,= — —. ! д 4к те (2.21') — 25— 2. Из приведенных в 2 2.2 примеров видно, что решение основной задачи электростатики методом наложения полей сопряжено со значительными математическими трудностями, Другой метод расчета электростатических полей основан на использовании теоремы Остроградского †Гаус.

Прежде Ф,г чем перейти к формулировке и доказательству этой теоремы, введем понятие о потоке вектора 4,1 з 3 электрического смещения сквозь поверхность. 3. Рассмотрим сначала однородное электри- и л дл ческое поле, во всех точках которого вектор 0 одинаков. Проведем в этом поле произвольную плоскость М)т' (рис. 2.11), нормаль п к которой рне. 2.!! ' Общее определение вектора О, справедливое квк для кзотропных, твк а для аннэотропных сред, дано в $ 6.3. составляет с вектором 0 угол и.

Выделим на плоскости участок площадью 5. Тогда поток вектора электрического смещения, или просто поток смещения Ф, (поток электрической индукции), сквозь плоскую поверхность 5 по определению равен Ф, = 05соза= 50п, (2.22) где п — единичный вектор, нормальный к поверхности 5. Формулу (2.22) можно записать еше и в таком виде: Ф, = 0,5 = 05,, (2.22') где О„= 0 соз и — проекция вектора 0 на направление вектора и, а 5~ = 5 соз а — площадь проекции поверхности 5 на плоскость, перпендикулярную вектору О. Из (2.22') следует, что в СИ поток смещения выражается в кулонах. 4. В общем случае поверхность 5 может иметь любую форму, а векторы О в различных ее точках могут отличаться как по модулю, так и по направлению.