demidovich-zad (Бараненков Г. С., Демидович Б. П., Ефименко В. А. - Задачи и упражнения по математическому анализу для втузов), страница 12

Прн х= — Ь, очевидно, имеем у' < О; при х =Ь имеем у' > О. Следовательно, х,=о есть точка минимума функции у, причем ум!а=0 (рис. 24). Исследование поведения функции в точке хх= — ! можно также провести с помощью второй производной Ф 2 3 т' Здесь у" < О при хх= — 1 и, следовательно, хт= 1 есть точка максимума функции. 3'.

Наименьшее н наибольшее значения. Наименьшее (наибольшее) значение непрерывной функции г(х) на данном отрезке (а, Ь) достигаетси илн в критических точках функции, или на концах отреака (а, Ь). Пример 5. Найти наименьшее н наибольшее значении функции у=х' — ах+3 на отрезке 1 ! — 1 — ~х~2 —, 2 2 ' Решение. Так как у =эхе — 3, то критическими точками функцик у являются хе= — 1 и хе= 1. Сравнивая значения функции в этих точках и значении функции на концах заданного отрезка у( — 1) =5; у (1)=11 у( — 1 — ~=4 —; у (2 — ) =11 —, Рис. 25 заключаем (рнс. 25), что наименьшее значение функции ш=1 достнгаегси в точке х=1 (в точке мини.

1 1 мума), а наибольшее М=11 — достигаьтсв в точке х=2 — (на правомкон- В 2 це отрезка). Определить промежутки убывания и возрастания функций: 811. у=1 — 4х — х'. 812. у=(х — 2)'. 813. у=(х+4)з. 814. у=кз(х — 3). 815. у= —. к 1 х — 2' 816. у= (х — 1)* ' экстпемумы Функции ОднОГО аугумеытд 83 817. д= ~6*в 818. у=(х — 3))/ х. 819.

у= — ~Гх. 3 820. у=х+а)пх. 821. у=х1пх. 822. у=агсэ)п(1+х). 823. у=2е" -". 1 824. у = 2" -' . ех 825. у= —. к Исследовать на экстремум следукдцие фуыкциит 826. у=х'+4х+6. Решение. Находим производную данной функции р'=2х+4. Приравняв у' пучю, получаем критическое значение аргумента х= — 2. Так как у' < 0 при х < — 2 и у' > 0 при х > — 2, то х= — 2 является точкой минимума данной функции, причем у ;„= 2.

Тот же результат мы получим, исполь. зуя знак второй производной в критической точке: у' =2 > О, 827. у=2+х — хз. 828. у=х' — Зх'+Зх+2. 829. д=2х'+Зх* — 12х+5. Решение. Находим производнуго у' =бхз+ бх — 12= б (ха+ х — 2). Приравнивая производную у' нулю, получаем иритические точки хт= — 2 и х,=!. Для определения характера зкстремумз вычисляем вторую производную у'=б(2х-(-!).

Так как У'( — 2) < О, то ха=- — 2 есть точка максимума функции У, причем У,„=-25. диалогично имеем у" (1) > 0; позтому ха=1 есть точка минимума функции д и ущ!з — — — 2. ! 841. у=х — 1п(1+х). 843. у=х!п'х. 830. д=х'(х — 12)', хз 832. у=в ха+3 ' 8 (х — 2) (а — ) 834. д= 4 Р хз-ф-б 838.

у = ~~/(х' — 1)'. 840. у = 2 соб —, + 3 соэ — . х х 2 3 ' 842, д=х 1пх. 831. у = х (х — 1)' (х — 2)'. хз — 2х+2 833. у=в х — 1 835. 1б х(4 — хз) * 837. у= =. х ~,/ х' — 4 839. у=2б)п2х+б(п 4х. 84 экствимхвы еь нкцни. пвиложнння пвонзводнон (гл. гп 844. у=с)!х. 846 у х'е-» 845. у=хе'. 847, у= — „. с» 848.

у=х — агс1их. Определить наименьшие и наибольшие значения функций на указанных отрезках (если отрезок не указан„то следует определить наименьшее и наибольшее значения функции во всей области существования): 849. у= ! 850. у='г'х(10 — х). 851. у=з)пах+сов'х. 852. у=агссозх. 853. у=х' на отрезке ( — 1, 31. 854, у=2х'+Зх' — 12х+1; а) на отрезке [ — 1; 5]; б) на отрезке 1 — 10; 121.

855. Показать, что прн положительных значениях х имеет место неравенство + — „>2. 856. Определить коэффициенты р и О квадратного трехчлена у=хв+рх+д так, чтобы этот трехчлен имел минимум у=З прн х=1. Объяснить полученный результат геометрически. 857. Доказать неравенство е»> 1+х при х~О. Решение. Рассмотрим функцию 1(х) = е» вЂ” (! +х). Обывиым приемом находим, вто ата функции имеет едниственныа минимум 1(0)=0. Следовательно, /(х) > У(0) при х Ф О, т. е. е» > ! +х при «~0, что н требовалось доканать. Доказать неравенства: «в 858. х — — <з(пх<х при х>0. б х' 859.

созх > 1 — — при хчьО. 2 «3 860. х — <1п(1+х) <х при х>0. 861. Данное положительное число а разложить на два сла- гаемых так, чтобы нх произведение было наибольшим. ЭКСТРЕМУМЫ ФУНКЦИИ ОДНОГО АРГУМЕНТА 85 $ и 862. Кусок проволоки данной длины ( согнуть в виде прямоугольника так, чтобы площадь последнего была наибольшей. 883. Какой из прямоугольных треугольников с заданным периметром 2р имеет наибольшую площадь? 864. Требуется устроить прямоугольную площадку так, чтобы с трех сторон она была огорожена проволочной сеткой, а четвертой стороной примыкала к длинной каменной стене.

Какова наивыгоднейшая (в смысле площади) форма площадки, если имеется ( погонных метров сетки? 865. Из квадратного листа картона со стороной а требуется сделать открытую прямоугольную коробку наибольшей вместимости, вырезав по углам квадраты и загнув выступы получившейся крестообразной фигуры.

866. Открытый жестяной бак с квадратным основанием должен вмещать а литров. При каких размерах на изготовление бака потребуется наименьшее количество жести? 867. Какой из цилиндров с данным объемом имеет наименьшую полную поверхность? 868. В данный шар вписать цилиндр с наибольшим объемом. 869. В данный шар вписать цилиндр с наибольшей боковой поверхностью. 870. В данный шар вписать конус с наибольшим объемом.

й ~л,, и У / ч л ~~~~ф'Ю а Рис. 26, Рис. 27. 871. В данный шар вписать прямой круговой конус с наибольшей боковой поверхностью. 872. Около данного цилиндра описать прямой конус наименьшего объема (плоскости и центры их круговых оснований совпадают). 873. Какой из конусов, описанных около данного шара, имеет наименьший объем? 874.

Полоса жести шириной а должна быть согнута в виде открытого цилиндрического желоба (рис. 26). Каков должен быть центральный угол у, чтобы вместимость желоба была наибольшей? 88 зкстпамимы оинкцигс пгиложиния ппоизводиоя ггл. !ц 875. Из круглого листа вырезать такой сектор, чтобы, свернув его, получить воронку наибольшей вместимости. 876. Открытый сосуд состоит из цилиндра, заканчивающегося снизу полусферой; толщина стенок постоянна, Каковы должны быть размеры сосуда, чтобы при данной вместимости на него пошло минимум материала? 877.

Определить наименьшую высоту Ь =ОВ двери вертикальной башни АВСО, чтобы через эту дверь в башню можно было внести жесткий, стержень МН длины 1, конец которого М скользит вдоль горизонтальной прямой АВ. Ширина башни г((! (рис. 27). 878. На координатной плоскости дана точка М, (к„у,), лежащая в первой четверти. Провести через эту точку прямую так, чтобы треугольник, образованный ею с положительными полуосями координат, имел наименьшую площадь. 879.

В данный эллипс вписать прямоугольиин наибольшей площади со сторонами, параллельными осям эллипса. 880. В сегмент параболы уэ=2рх, отсекаемый прямой х=2а, вписать прямоугольник наибольшей площади. 881. На кривой у= —,, найти точку, в которой касатель! иая составляет с осью ОХ наибольший по абсолютной величине угол. 882. Гонцу нужно добраться из пункта А, находящегося на одном берегу реки, в пункт В, находящийся на другом.

Зная, что скорость движения иа берегу в гг рав больше скорости движения по воде, определить, под каким углом гонец должен пересечь реку для того, чтобы достичь пункта В в кратчайшее время. Ширина реки — Ь, расстояние между пунктами А и В (вдоль берега) — г(. 883.

На прямолинейном отрезке АВ=а, соединяющем два источника света А (силы р) и В (силы д), найти точку М, освещаемую слабее всего (освещенность обратно пропорциональна квадрату расстояния от источника света.) 884. Лампа висит над центром круглого стола радиуса г. При какой высоте лампы над столом освещенность предмета, лежащего на краю стола, будет наилучшая? (Освещенность прямо пропорциональна косинусу угла падения лучей света и обратно пропорциональна квадрату расстояния от источника света.) 885. Из круглого бревна диаметра г( требуется вырезать балку прямоугольного сечения. Каковы должны быть ширина л и высота у этого сечения, чтобы балка оказывала наибольшее сопротивление: а) на сжатие, б) на изгиб? Примеч авив.

Сапротивлеиие балки иа сжатие пропорциоиальио площади ее поперечного сечения, а иа пагиб — проиэведеиию ширины этого сечевик иа квадрат его высоты. 87 НАПРАБЛЕНИЕ БОГНУТОСТГС ТОЧКИ ПЕРЕГИБА 886. Однородный стержень АВ, который может вращаться около точки А (рис. 28), несет груз Я кг на расстоянии а см от точки А и удерживается в равновесии вертикальной силой Р, приложенной к свободному концу В стержня. Погонный сантиметр стержня весит а кг.

Определить, длину стержня х так, чтобы сила Р была наименьшей, и найти Р ьм 887*. Цеятры трех вполне упру- Р гих шаров А, В, С расположены па х одной прямой. Шар А массы М со 4 г) скоростью и ударяет в шар В, который, получая известную скорость, ударяет в шар С массы пт. Какова должна быть масса шара В, чтобы скорость Рис.

Ж шара С оказалась наибольшей? 888. Имея 71( одинаковых электрических элементов, мы можем различными способами составить из них батарею, соединяя по и элементов последовательно, а затем полученные группы ( .) М~ числом — ) — параллельно. Ток, даваемый такой батареей, определяется формулой )у ля Иге+пег ' где вг — электродвижущая сила одного элемента, и — его внутреннее сопротивление, Я вЂ” внешнее сопротивление.