demidovich-zad (Бараненков Г. С., Демидович Б. П., Ефименко В. А. - Задачи и упражнения по математическому анализу для втузов), страница 11

рых производных и т. д. Однако следует помнить, что предел отношения — может существовать, ! (х) ф(х) в то время как отношения производных не стремятся ни к какому пределу (см. № 809). $91 РАСКРЫТИЕ НЕОПРЕДЕЛЕННОСТЕЙ 2'. Прочие неопределенности. Для раскрытия неопределенностей типа О го преобразуем соответствующее прапззедепне гг (х) го (х), где Ищ гг (х) =О н Ищ /з (х) = оо, в частное — ~тип — ) или — тип — ) . г'г (х) г О Д г'о (х) ! ог ! о о х о г'о (х) г'г (х) В случае неопределенности типа оо — оо следует преобразовать соатвет.

стзующукг разность /г (х) — Го (х) в произведение Г, (х) ~ ! — — ~ и раскрыть Гго (х) 1 (г (х) 1 сначала неопределенность —; если Ищ — =1, то приводим выражении )о (х), Го (х) г'г (х) ' х а г'г (х) к виду 1. (Х) !) (х) ( О ) )г(х) Неопределенности типов 1", Оо, гоо раскрывают с помощью предварительного логарифмирования и нахождения предела логарифма степени цг(х))~о~»1 (что потребует раскрытия неопределенности типа О оо). В некоторых случаях правила Лопиталя — Бернулли полезно комбиниро. вать с нахождением нределов элементарными средствами. П р и и е р 1.

Вычислить !пх г' оой Ит — ( неопределеггность типа о сГЕх (, ог у' Решение. Применяя правило Лопнталя — Бернулли, имеем: !пх . (!пх), згп х 1пп — = 1пп —,= — Ищ— о с!Ел о о (сгйх) х о х О Получили неопределенность типа —, однако применять правило Лопиталв х ' Бернулли нет надобности, так как ыпзх . а!их Игп =Игл — ° з!и х=!.О=О. х о Х х о Таким образом, окончательно находим: 1пх Игп — =О, х ос!Ех П р имер 2. Вычислить 1 1й !пп à †., — — о) (неопределенность типа оо — оо). огз!Пох хоу Приведя дроби к общему знаменателю, получим: ! ! г . хз — эгпзх г ОТ Ищ —.— — ) =!гщ ., ~неопределенность типа — ) . х о г,з!пзх хз,г, о хо щи х 0)' Прежде чем применить правила Лопиталя †Бернул, заменим знаменатель последнейдробнэквивалентнойему бесконечно малой (гл. 1, 9 4)хоа!п'х хо.

45! РАСКРЫТИЕ НЕОПРЕДЕЛЕННОСТЕА 787, !ип(1 — соьх)с!ах. к О Р е шеи н е. !!и (! — сов х) с(2 х= !!и (! — сов х) сов к к»о к О в!пх (! — сов х),, в!и х = !ип ° !ип сиз х=пи — ° 1=О. К О В!ИХ Х О х ОСОЗХ 788. 1!Па (1 — х) !а —. х-+ 1 789. !Пп пасв(п х с(п х. к->О 79!. 1ип хе4п —. Пи!ну = пих!их = о х-~ о ! !их х 1'пп — юы !ии — =О, к о ! к о х х' откуда 1!и у=!, т. е. 1!п1хк= !. коко 1 799.

1(па х". з 800. 1ип хв+ 15 к. +о ик 802. 1ип (1 — х) к 1-0 1 804. !йпх'-'. 801. 1ип хп"'. к -~+О 1 803. 1ип (1+ х') х-~0 808 ! ((а 4 ) к ! 808. 1Пп (с18 х)'"". к О 790. 1ип (хке-к) и > О. ею * Ю 792. 1йп х" 51п —, а >О, 793. 1ип 1пх1п(х — 1). «-~+а к 1 794. 11~ ! —" (,, ). х ! '1 . х!пк — х+1 Решение. !ип ! — — — ~= !ип 1,х — ! !пх1! к 1 (х — !)!пх ! 1 х ° — +!Ох — ! х !их, х 1 !ип = !!и = пи — = —.

1 !их-1- — (х — !) !их — +! — +— ! к 1 ! к 1 ! ! 2 к х х х' 796. 1ип ! к 1 ! 2 (1 — Р с) 3(! — ~,~'Х)1 797. 1ип 1 — — — 1!. 798. 1йп хк. „',с(Ех 2 сова!' к 10 Р е ш е н н е, Имеем хх = у; 1п у = х ! п х: ДИФФЕРЕИПИРОВАИИЕ ФУНКЦИИ [ГЛ. !! 807. 1ип ( — ) и . 808, 11гп (с18 л)и'к. к-»+О 809, Доказать, что пределы: Ю к» мп— ! б) Б„, х — мпх О' к+ впк не могут быть найдены по правилу Лопиталя — Бернулли, Найти зти пределы непосредственно. Рис. кО, 810и. Показать, что площадь кругового сегмента с малым центральным углом а, имеющего корду АВ=Ь и стрелку СЮ=Ь (рнс, 20), приближенно равна со сколь угодно малой относительной погрешностью прн си-» О» ГЛЛВЛ ГП ЭКСТРЕМУМЫ ФУНКЦИИ И ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ПРИЛОЖЕНИЯ ПРОИЗВОДНОЙ 5 1.

Экстремумы функции одного аргумента 1'. Воз р а се ан ие и убывание фу н кци й. Функции у=((х) на. зывается возрастающей (убывающей) на некотором интервале (отрезке), если для любых точек х, и хю принадлежащих данному интервалу (отрезку), из неравенства х, < ха следует неравенство ) (хз) < ) (хе) (рис. 21, а) () (хд > 1(хе) (рис. 21,б)). Если функция )(х) непрерывна иа отрезке [а, Ь) н Г(х) > О ()' (х) < О) при а < х < Ь, то ! (к) возрастаег (убывает) на отрезке (а, Ь).

Рис. 21. Рис. 22. В простейших случаях область существования функции ((х) можно раз. бить на конечное число вромежутков возрастания и убывания функции (промежутки монотонности). Зги промежутки ограничены критическими точками к (где Г (к) =-0 илн же Г (х) не сущестнует). П р и м е р 1. Исследовать на возрастание и убывание функцию у=к' — 2х+5. Р е ш е и не.

Накодим производную д'=2х — 2=2 (х — !). Отсюда д'=0 при х=!. На числовой оси получаем два промежутка монотонности: ( — со, 1) и (1, + се). Из формулы (!) имеем: 1) если — ез < х < 1, то у' < 0 и, следовательно, функция 1'(х) убывает в промежутке ( — ое, 1); 2) если 80 ЭКСТРЕМУМЫ ФУНКЦИИ.

ПРИЛОЖЕНИЯ ПРОИЗВОДНОЙ !ГЛ. Н1 1 < х <+ зе, то у' > О и, следовательно, функция /(х) возрастает в проме. жутке (1, + ш) (рис. 22). Пример 2. Определить промежутки воарастания и убывания функции 1 у=— х+2' 1 Решение. Здесь х= — 2 — точка разрыва функции и у'= — — <О (х+ 2)' при х ~ — 2.

Следовательно, функция у убывает в вромежутках — со < х < — 2 и — 2 <х <+се. П р и м е р 3. Исследовать на возрастание и убывание функцию з у= — хз — — хз. 5 3 Решен ие. Здесь (2) у' = х' — х'. Решив уравнение хз — ха=О, найдем точки х,= — 1, ха=О, хз=!, в которыя производная у' обращается в йуль.

Так как у' может изменять знак только при переходе через тачки, в которых она абращзется в нуль или терпит разрыв непрерывности (в данном случае точки разрыва для у' отсутствуют), та в каждом из интервалов ( — ш, — !), ( — 1, 0), (0,1) и (1, +ш) производная сохраняет постоянный знак, поэтому и каждом иэ этих интервалов исследуемая функция монотонна. Чтобы выяснить, в каких иэ указанных интервалон функция возрастает, а в каких — убывает, нужно узнать, каков знак производной в каждом нэ этих интервалов. Для тото чтобы выяснить, каков знак у' в интервале ( — со, †!), достаточно узнать знак у' в какой-иибудь одной точке этого интернала; взяв, например, х= — 2, получим вз (2) у = !2 > О, следовательно, у' > О в интервале ( — зз, — 1) и функция в этом интервале возрастает.

Аналогично найдем, что у' < 0 в интервале ( — 1, 0) (для провер- !1 ки можно, например, взять х= — — ), у' < 0 в интервале (О, 1) (здесь мо! Т жно испольаовать х= — ) и у' > 0 в интервале (1, + т). =2) Таким образом, нсследуемая функция возрастает в промежутке ( — оз, — 1), убывает в промежутке ( — 1,!) и опять возрастает в промежутке (1, + ос). 2'.

Экстремумы функции. Если существует такая двусторонняя окрестность точки хз, что для всякой точки х Ю хз этой окрестности имеет место неравенство /(х) > /(х,), то точка хз называется точкой минимума функции у=/(х), а число /(хз) — минимумом функции у=/(х). Аналогично, если для всякой точки х т хз некоторой окрестности тачки хз выполняетсв неравенство /(х) < /(хз), то хз называется точкой максимума функции /(х), а /(хз) — максимумам функции (рис. 23).

Точка минимума или максимума функции называется ее 'точкой зхапремума, а минимум нли максимум функции — зхстрсмумолз функции, Если хз — точка экстремума функции /(х), то /'(хз)=0 (стациснариал томка), или же /'(х,) не существует (необходимое условие существования вкстремума). Обратное предложение не верно: точни, в которых /' (х)=0 илн же /' (х) не существует (критические тозки), не обязательно явлшотся тачками экстремума функции /(х). Достаточные йрнзнакн существоваявя и отсутствия экстремума непрерывной функции /(х) даются следующими правилами: 1. Если существует такая окрестность (хз — 6, х,+6) критической точки ха, что /'(х) > О нри хе — 6 < х < хз и /'(х) < О при хз < х < хе+6, то ЭКСТРЕМУМЪ| ФУНКЦИИ ОДНОГО АРГУМЕНТА а! 4 |1 хе — точка максимума функции 1(х); если же Г'(х) < 0 при хе — Ь < х < хр и !' (х) > 0 при х, < х < хе+О, то ха — точка минимума функцйи г(х).

Если, наконец, найдется такое положительное число Ь, что Г' (х) сохраняет неизменный знак при 0 < ) х — хе) < Ь, то точка хе не является точкой экстремума функции ! (х). 2. Если !'(хе)=0 и 1" (хе) < О, то хе — точка максимума функции !(х); если /' (хе) =0 и !" (хе) > О, то «е — точка минимума функции Г(х); если же Рис. 24. Рис. 23, )' (хэ) =0 )" (ха) =О, а г"" (ха) ю О, та точка хэ не является точкой экстремума функции ! (х).

В более общем виде: пусть первая из не равных нулю в точке хе производных функции г(х) имеет порядок Й. Тогда, если Л вЂ” четкое, то точка хэ является точкой экстремума, а именно точкой максимума, если )М|(хе] < О, и точкой минимума, если !|А) (хе) > О. Если же Д вЂ” нечетное, то точка ха не является точкой экстремума.

Пример 4. Найти экстремумы функции у = 2х -|- 3 зэг"хз. Р с шеи не. Находим производную у =2+== —. (~/ х-|. !). Г" (3) Приравнивая производную у' пуп|а, получасм: аг'х ' 1=0 *) Если определение знака производной у' затруднительно, то можно произвести арифметический расчет, взяв в качестве Л достаточно малое положительное число. Отсюда находим стационарную тачку х,.=- — 1. Из формулы (3) имеем: если х= — 1 — й, где А — любое достаточна малое положительное число, то у' > 0; если же х= — 1+А, то у' < 0*). Следовательно, х,= — 1 есть точка макси- мума функции у, причем умах — — 1, 82 экстрамумы эвикции. приложения пиоизводиои 1гл, ги Приравнивая нулю знаменатель выражения у' из (3), получаем уз~к =О; отсюда находам критическую точку функции х, =О, где производная у' не существует.