4. Математическая статистика. Ивченко_ Медведев (1984) (4. Математическая статистика. Ивченко_ Медведев (1984).djvu), страница 5

Один нз реэультвтав, пркиздлежзщий Э. Нздзрзя (1970 г.), состоят в том. по если й(х) — функция с огрзниченным изменением, а ->.О прв п->.сх> и при «О л этом ~ ехр( — упа„-)~оз, 'чеу>0, и )(х) равномерно непрерывна нз всей л =! оси. То Имеются также результаты, позволяющие прн волыним л >ям!бак>каина иии. нииать аероятиости заданных огхлоиеиий оценок вида (1 В) ог теоретической плотности ((х) и тем самым расочитыаать гранины, и которых с аадаинойиа, роятиостью находится график 1(х). й 1.2. Выборочяые характеристики 1. Выборочные моменты, Пусть Х=(Х1..., ..., Х,) — выборка нз распределения о ($) и Р (х) и Рл (х) — саат. ветствеина теоретическая и эмпирическая функции распределения.

Точно так же, как функции Р(х) стшят в соответствие Р„(х), любой теоретической характеристике й= ~д (х) дР(х) можно поставить в соответствие ее статистический аналог 6=6(Х), вычисляемый по формуле 6= ~д(х)ЙР (х)= — Г д(Х1). 1 1=1 Случайную величину 6 называют эмпирической плп выборочной характеристикой, соответствующей теоретической характеристикее й. Таким образам, выборочная характеристика — эта среднее арифметическое значений функции й(х) для элементов выборки Х. Если д(х) =х», то 6 — выборочный момент й-го порядки, который будем обозначать А»..

л,=л,(х)= — „' ~ х,'. »=! При Й=1 величину А» называют выборочным средним и обозначают символам Х: л 1 %! Х =Ля= — г~~ Хь л Л 1=! Значения случайных величин Аь и Х для в(и(анной реализации х выборки Х будем обозначать саатветствующнмп строчными буквами а» н х=аь. Аналогично, выборочным центральным моментам Й-го порядки называют случайную величину И, М,(Х)=' ,'~ (Хг-Х). ! ! При й =.2 величину М» называют выборочной дисперсией н обозначают символом 5»=5а(Х): л 5*=и„= — 1,'~ (х! — х)'. Значения случаяяых величин йч» н 5' дяи заяяннайреапизац выб орки Х будем обозначать соответствующими строчными б кизации х вами т» и У=т,.

и укМежду выборочными и выборочными центральными моментами сохраняются те же соотношения, что и между теоретическими сО»= Ей» и центральными моментами (»»=Е($ — иа)». В общем случае при й~:2 из соотношения (1.11) имеем » » — и и,= ~ ( — )ус;х л = ~ ( — (ус;хл,+( — 1)»-'(й — 1) х. »=О г=а В частности, 5 =Аа Х лез=ли — ЗХАО+2ха И» = А» — 4ХА»+ бх»А 3Х» (1.12) Аналогично вводят выборочные абсолютные моменты, выборочные семнинварианты и т. д. 2.

Моменты выборочного среднего и выборочной дисперсии. Выборочная характеристика 6 является случайной величиной, поэтому можно говорить о ее распределении (которое иногда нязь!вают вь>барочным распределением) и изучать различные харак- теристики этого распределения.

Рассмотрим некоторые характеристики распределений сред- него Х и дисперсии 5' выборки. Так как Х» независимы н распределены так же, как наблюдаемая случайная величина аь, то л л ЕХ = — ~)' ЕХ; = Е$ = и», 1) Х = — »,~, 1) Х = „— 02 = ( — '»- ° (1 13) 1=! 1=1 Вычислим моменты выборочной дисперсии 5'. Заметим, что при любом с л ч> х,— --„; (х,— ) =х»-х, ° Л т. е.

выборочнь!е центральные моменты М» (см. обозначение (1.11)1 не зависят от начала отсчета на шкале значений величины С и без ограничения общности мо>кно с самого начала считать, что гс» = Е$ = О (в противном случае переходят к случайной величине с'=с — а»). Учитывая это замечание, из формул (1.12) н «1.13) получаем Е5а = Е А. — ЕХа = р»а — райт = (п — 1) (»ъ(п. (1. 14) Далее, используя формулы (1.12), представим 5» в виде л /» (а л (=! 1=! »=! »с! Тогда, принимая во внимание, что Е$=0, имеем л е(У)' е( — "~ лх!ч- ~", г'х!х!)- 3=! тс! =: р,'+ „, (и — 1) р,х". (л — 1]а, (л — 1)»+2 Отсюда и из соотношения (!.14) окончательно получаем (л — 11» 1 и — 3 1УЯ~= Е (хх)ь — (ЕЯх) = . (р! — !х!) ° Аналогично можно находить моменты и более высоких порядков, хотя с увеличением порядка вид формул и их вывод усложняются.

5 1.3. Асимптотическое поведение выборочных моментов 1. Сходимость по вероятности выборочных моментов и функций от них. Рассмотрим поведение выборочных моментов А», определенных равенством (1.10), прн неограниченном возрастании объема выборки и. Чтобы подчеркнуть зависимость моментов А» от обьема выборки, будем их в дальнейшем отмечать индексом п. Первые два момента случайной величины А„» соответственно равны (везде предполагаем, что все соответствующие .моменты наблюдаемой случайной величины $ существуют) л ЕА,» = — р„ЕХ! = Ей» = а», 1 кч л н,ыч 1= ! (1.16) а,— а' 1)А„»= —, '!Г )УХ,".

= — 0$" = -„-(Е~ы — (Е4~)е) =— !=! га На основании неравенства Чебышева отсюда следует, что А„»-а» при и-ьсо. Таким образом, выборочный момент А„» можно рассматривать в качестве приближенного значения (оценки) соответствующего теоретического момента а», когда число наблюдений и достаточно велико. Аналогичное утверждение справедливо и для выборочных центральных моментов и вообще для любых выборочных характеристик, которые имеют вид непрерывных функций от конечного числа величин А» (центральный момент М„», как показано в 9 1.2, выражается через А„„..., А„» в виде много- члена степени й). Этот вывод является следствием следующей общей теоремы о сходимости функций от случайных величин.

Теорема 1.5. Пусть случайные величины т(т(п), ..., т1,(п) сходятся по вероятности ири и -!- оо к некоторым постоянным ст,, с„соответственно. Тогда для любой непрерывной функции !р(х„ ..., .т,) случайная величина Е(п)=тр(т(т(и), ..., т),(п)) тр(ст, ..., с,). ьз Функция !р непрерывна, поэтому для ч/е) 0 найдется 6 = 6(е) такое, что (ср(х„..., х,) — ср(с„..., с,),'(е при (х! — с!(< 6, 1=1, ..., г. Введем события В!=((т(!(и) — с!! С6), ! =1,, г. Тогда событие В =В»...В, влечет событие С = = (!! ьг (п) тр (см ° ., с,) ! ( е) . Отсюда Р(С)г»Р(В)=1 — Р(В)=1 — Р(Вт()...(1В)~1 ~~ Р(В) (11Т) \=1 Далее, из сходимости по вероятности случайной величины ть (п) имеем, что для данного 6 н любого Т»О найдется и!=п,(у) такое, что Р(В!)=Р((т(!(п) — с!(~6)(у/г прн и иь Пусть по=!пах(пт, ..., и„); тогда пРи п)па выполнаютса одновРеменно все неравенства Р(В!)(у/г, 1=1, ..., г.

Следовательно, из (1.17) получим Р(~ ь(и) — !р(ст, ..., с„) «-е)=-1 — р, п)пе. ° За меча иве. Очевидно, что длн справедливости теоремы 1.5 достаточно потребовать непрерывности функции !р только в некоторой окрестности точки (ст, ..., сх). Отметим еще одно конкретное статистическое применение этой теоремы. При исследовании свойств графика плотности распределения непрерывной случайной величины часто рассматривают такие характеристики, как коэффициенты асимметрии у, и эксцесса у„определяемые формулами у = р /р ~ у =р /р' — 8.

(!.!8) Если график плотности распределения симметричен, то у, = — 0 и по значению ут судят о степени отклонения от симметрии. Аналогично, для нормального распределения ут = О, поэтому о кривых плотности распределения с у»=0 говорят, что онн имеют нормальный эксцесс. Если уе) 0 (у,(0), то считают, что эксцесс кривой положителен (отрицателен). Если задана выборка Х=-(Х„..., Х„) нз абсолютно непрерывного распределения йУ (й), то выборочные коэффициенты аси.иметрии Г, и эксцесса Гл, определяются следующими формулами: 1 л! Мла/ хл~ 1 лт 'У!лч/В1 8. (!.19) Из соотношений (!.19) и (1.12) следует, что Гхь ! = 1, 2,— непрерывные (при рв) О) функции от выборочных моментов А,ю поэтому в силу теоремы !.б выборочные характеристики (1.19) сходятся по вероятности при и- со к соответствующим теоретическим характеристикам (1.18).

2. Асимптотическая нормальность выборочных моментов. Введем некоторые дополнительные обозначения. Если распределение случайной величины т(„сходится при п-~ос к распределению случайной величины т1 н прн этом о (т)) =о4 (р, о'), то будем писать Ж (т(„) -+- .~." ((ь, о'), Далее иногда будем говорить, что случайная величина ц„асимптотически нормальна с параметрами р„ 21 н о'„или, короче, аснмптотически нормальна оя (р„, о'„), и записывать это следующим образом: Ж (<1„) -/" (рю о',). Это означает, ж(""," ) /"(О, Ц.

Продолжим исследование распределений выборочных характеристик для больших выборок (при и-ьоо). Каждый выборочный момент А„» представляет собой сумму н независимых н одинаково распределенных случайных величин, поэтому к нему можно применить центральную предельную теорему теории вероятностей 122, с. 152!.

Имеет место следующее общее утверждение. Теорема 1.6. Выборочный момент А,» асижптотичсски нормален р (с<ю (а»» — а»)/и). С) Так как [см. формулы (1.16)1 ЕХ»=сею ПХ~ =ае» вЂ” а»', то по центральной предельной теореме Ж(тм) -ье/ (О, 1), где е Следовательно, случайная величина А» аспмптотпчески нормальна с параметрами а» и (с<з» вЂ” с<»)/н. Теорема ! .6 позволяет оценивать для больших выборок вероятности заданных отклонений значений выборочных моментов от теоретических. Действительно, из этой теоремы имеем, что прн любом фиксированном !) О и н-ьсо с Р(1/ " [А„» — а»[ -!1-+= ! е-"чз<[х=2<[1(/) — 1 (1.20) аз» а1 / У2п 1 (здесь и далее используется обозначение Ю (х) для функции распределения закона иля (О, 1)).

В частности, из теоремы 1.6 следует, что выборочное среднее Х = А„< асимптотически нормально о/ (а„рз/и). Отметим в этой связи, что если ю (й)=о< (а<, р,). то случайная величина Х, как сумма независимых нормальных случайных величин, также нормальна с параметрами а, и р,/и, т. е. и этом случае Ж(Х) = .г" (а„р,/п) при любом и. Анзлогично, используя многомерную форму цептрзльпой предельной теоремы [22, с. 1541, можно доказать, что совместное рзспределенне любого конечного числе выборочных моментов А„» зсимптотнчески нормельно.

Прн этом первые двз момент» случайных величин А„» определены в (1.16), з свешенные вторые момекгы вычисляются аналогично и имеют вид соч(А„ю А„)=(а»+е — а»аз)/л. Для центрзльных выборочных моментов тзкже можно доказать утверждение сб их исньппотнческой нормальности. Тзк нзприиер, для выборочной дисперсии Б„' прн л-» со имеет место соотношение Ж р'„) / (р., (р» — р[)/и)* в прзвой части которого стоят зсимцтотнческие значения среднего и дисперсии величины бле [см. формулы (1.14) и (!.15)!.