4. Математическая статистика. Ивченко_ Медведев (1984) (4. Математическая статистика. Ивченко_ Медведев (1984).djvu)

ББК 22.172 И 25 УДК 519.2 ПРЕдиспОвие вту- ББК 22.172 Ш 7.8 Л)агематнчсская статистика в Мцювштввр Реценаееты. кафедра высшей матсыатики московского аыспмто технического училища им. Н. Э. Баумана; нро07. В. П. Чистяков 131атематическив институт ны.

В. А. Стеклова АН СССР) Ивченко Г. И., Медведев Ю. И. Н 25 Математическая статистика: Учеб. пособие для зов. — Мл Высш. шко 1984. — 248 с., ил. В перл 85 к. йгп В б посо нн сиате магически. на современном научном уровне, изложены осаоэу-3 ные разделы статястнческой теории Главное винмэнве уд . . кг вопросов оптимальности соответствующих статистических процедур в яспользовзСС) иию асимптотическнх методов теории вероятностей. Основные разделы сопровож-, даются задачами. Предназначается для студентов втузоз. Мокгет быть голез уд , у но ст епта, об чающимся на Факультетах прикладной математики и кябериетики, эспярэитам гдб) иаучнын работкнкаы. 1702000000 — 820 001(01)-84 „.. дялеарий Иванович Ивченко, Юрий Иванович Медведев Зав.

Редакцией литературы по Физике и математике Е. С. Гйидасова. Редактор Ж. В, Яковлева. Мл. редакторы: С. А. Доровских, Н. П. Мэйьевв. Оформление н макет художника В. Н. Хомякова, Хуложестеенный ред кзор ренцо. Технический реаактор Л. А. Грвгарчук, Корректор Г. Н. Кострикова. ИВ № 4682 ИЗД. № ФМ-783. СДанп В НабОР 24 08.83. ПаДП. Н ПсеатЬ 25.05.84. ФСРМат 60Х2рьо Вум. тяп. № 1. Гарнитура литературная.

Печать высокая. Объем №,5 уел. печ. л. 1'... к .-отт. 16,33 уч.-нзд. л. тираж 28 им акэ. зак. № 1054. цена 35 «оп. Издательство Высшая школе», 101430, Москва, ГСП.4, Неглинная у ., д. Ордена Октябрьской Ревсыюции. ордена трудового красного знамени ленинград. скос производственно-техническое объединение «Печатный Двор» имени А,М.

ГарьС по. кграфпрома при Государственном комитете СССР по делам издательств, пслнграфви н книжной торговли. 137136, Ленинград, П- 7,, -136, Чк лае ° скиП просп 15 В)ббч;ег,, »; гъуИздатольство «Высшаи школа», 1084 В решениях ХХАХ) съезда КПСС и последующих постановлениях партии н правительства перед высшей школой страны поставлены большие и ответственные задачи по совершенствованию системы подготовки высококвалифицированных специалистов для народного хозяйства. Важное место в этой системе занимают вопросы физико-математической подготовки специалистов инженерно-технических профилей. Повышенные требования, предъявляемые к математическому образованию современных инженеров, нашли отражение в новой программе по математике для высших технических учебных заведений.

В ней уделено большое внямание вероятностно-статистическим методам ввиду возрастания их практической значимости. В соответствии с ятями учебными планами различных инженерных специальностей предусматривается чтение обязательного курса математической статистики. Настоящее учебное пособие предназначено для студентов технических вузов н обеспечивает новую программу такого курса. Авторы ставили перед собой задачу изложить в доступной для первоначального изучения форме элементы основных направлений современной статистической теории. При изложении материала акцент делается на исследование вопросов оптимальности соответствующих статистических процедур и их практической реализации.

В книге широко используются асимптотические методы теории вероятностей. существенное внимание уделяется вопросам прикладной интерпретации решаемых задач и получаемых результатов. Так как в вузах чтению курса математической статистики предшествует обязательный курс теории вероятностей, то авторы отказались от традиционного принципа, когда значительное место в начале книги отводится перечислению основных фактон и положений теории вероятностей, на которых базируется изложение собственно статистических вопросов.

Предполагается, что необходимый минимум сведений из теории вероятностей 1например, в объеме учебника В. П, Чистякова [22]) студентам уже известен; некоторые дополнительные положения теории вероятностей приводятся в соответствующих местах текста. По мнению авторов, пособие позволит формировать курсы лекций различного объема и содержания, а также спецкурсы для различных специализаций п тем самым учитывать в той или иной мере профессиональную ориентацию и структурные особенности конкретного вуза. Книга может быть также полезной студентам университетов, обучающимся на факультетах прикладной математики и кибернетики, аспирантам и инженерам, применяющим в своих исследованиях теоретико- вероятностные и статистические методы (по крайней мере, как введение в соответствующие разделы статистической теории). Изложение материала ведется на уровне, доступном студентам технических вузов; авторы стремились опираться только на знание студентами основ классического математического анализа н линейной алгебры, читаемых на первых семестрах в курсах высшей математики.

Как правило, авторы стремились избегать громоздких математических выкладок и доказательств н в то же время сохранить и подчеркнуть теоретика-вероятностную и статистическую сущность рассматриваемых вопросов. В конце книги приведен список литературы, в которой более полно и глубоко освещены различные аспекты статистической теории и ее приложений. В тексте имеется большое число примеров, иллюстрирующих, а в ряде случаев и дополняющих излагаемую теорию.

В конце каждой главы приведены задачи, которые могут служить материалом для практических занятий по курсу, а также заданий по учебно-исследовательским и курсовым работам. В приложении приведены краткие статистические таблицы, необходимые для разбора примеров и решения задач. Знаки с) и ° в тексте означают соответственно начало и окончание доказательства. Авторы выражают благодарность В. Я. Козлову, И. Н. Коваленко и В. П. Чистякову за полезные беседы по вопросам преподавания математической статистики и за поддержку идеи написанйя данного пособия. Весьма полезны были авторам также советы Б.

А: Севастьянова, Д. М. Чибисова, А. Н. Ширяева и Г. Д. Карташова, сделанные ими прн обсуждении различных разделов курса лекций по математической статистике, и замечания, связанные непосредственно с подготовкой рукописи к печати. Авторы будут признательны всем, кто в той илн иной форме поделится своими соображениями по улучшению ее содержания н стиля изложения материала. Замечания можно направлять по адресу: Москва, )К-28, Б. Вузовский пер., 3,'12, МИЭМ, кафедра теории вероятностей и математической статистики.

ВВЕДЕНИЕ 1. Вероятностно-статистическая модель и задачи математической статистики.Математическая статистика — это прикладная математическая дисциплина, родственная теории вероятностей. Она базируется на понятиях и методах последней, но решает свои специфические задачи своими методами. Любая математическая теория развивается в рамках некоторой модели, описывающей определенный круг реальных явлений, изучением которых и занимается данная теория.

Чтобы определить статистическую модель и объяснить специфику задач математической статистики, напомним некоторые факты из теории вероятностей. Математические модели случайных явлений, изучаемых в теории вероятностей, основываются на понятии вероятностного просгпрансагза (11, еК, Р), где 11=(м) — иепустое множество, называемое прослгрппсгпаои элементарных событий (элементы гл интерпретируются как взаимно исключающие исходы изучаемого случайного явлення); а:г" — некоторая выделенная совокупность подмножеств множества л1, называемых событиями (при этом требуется, чтобы ее' было а-алгеброй, т.

е. чтобы м-" содержало П и было замкнуто относительно операций взятия противоположного события и объединения событий в не более чем счетном числе); Р— вероятность, заданная на событиях А ~ау 122, с. 231. При этом в каждой конкретной ситуации вероятность Р считается полностью определенной и основной задачей теории вероятностей является разработка методов нахождения вероятностей различных сложных событий (исходя из известных вероятностей более простых событий) для данной вероятностной модели. Однако на практике при изучении конкретного эксперимента вероятность Р редко бывает известна полностью. Часто можно априори утверждать лишь, что Р является элементом некоторого заданного класса (семейства) вероятностей бл. Этот класс йл может включать в себя все вероятности, которые можно задать на а,Е (ситуация полной неопределенности), в других же случаях представляет собой некоторое более узкое семейство вероятностей, заданное в той или иной явной форме (ситуация, когда имеется определенная априорная информация).

В любом случае У вЂ” это совокупность допустимых в данной ситуации (для описания данного эксперимента) вероятностей Р. Если задан класс У. то говорятт, что имеется вероятностно-ститиипическил модель (или просто стапшстичегкия модель), понимая под этим набор (О, о Р', У). Приведем пример. Рассмотрим эксперимент, состоящий в проведении и независимых испытаний, в каждом из которых наблюдается либо 1 («успех»), либо 0 («неуспех») с вероятностями соответственно р и у=1 — р (схема Бернулли).

Здесь исход эксперимента можно представить и-мерным вектором ю=(е„..., е„) из 0 и 1, и если вероятность «успеха» р известна, то вероятностной моделью эксперимента является тройка (О, а Е, Р) с пространством элементарных исходов О =(ю: ю = (е„ ..., з„), в; = О, Ц (содержащим 2" точек ю), совокупностью ос всех подмножеств Я и вероятностью Р, которая определяется в данном случае вероятностями появления отдельных элементарных исходов: Р(ю)=д "ч)" Предположим теперь, что вероятность <успеха» заранее не известна. Обозначая ее через В, можно только сказать, что Б ~ О ='10, 1].

Таким образом, здесь семейство допустимых вероятностей вмеет вид У=(Ре, В еп6), где Ра задается вероятностями Ра (ю) = В~ '«(1 — В)" Итак, статистпческая модель описывает такие ситуации, когда в вероятностной модели изучаемого эксперимента имеется та или иная неопределенность в задании вероятности Р, н задача мателгатической статистики состоит в том, чтобы уменьшить эту неопределенность, используя информацию, доставляемую наблюдаемым исходом эксперимента (статистическими даннымн). Матема- ~ ическая статистика — это наука о статистических выводах. В определенном смысле матеыатическая статистика решает задачи, обратные задачам теории вероятностей: она уточняет (выявляет) структуру статистических моделей по результатам проводимых наблюдений. В настоящем пособии рассмотрены наиболее типичные статистические задачи и общие методы нх решения.

Возникновение и развитие математической статистики, как и других математических дисциплин, определилось потребностями практики; в настоящее время ее методы широко используются в различных технических дисциплинах. Оии играют важную роль в экономических исследованиях, сельском хозяистве, биологии, медицине, физических науках, геологии, психологии, социологических исследованиях н других, считавшихся долго далекими от математики, науках. Историю статистики как науки а статистических выводах обычно начинают с забавного эпизода, изложенного Ж.

Бертраном в предисловии к его курсу «Исчисление вероятностей»; «Однажды в Неаполе преподобный Галиани увидел человека из Базилнкаты, который, встряхивая 3 игральные кости э чашке, держал пари, что выбросит 3 шестерки ... Вы скажете, такая удача воз»южна. Однако человеку из Базиликаты это удалось во второй раз, и пари повтори. лось. Он клал кости назад в чашку 3. 4, 5 раз н каждый раз выбрасывал 3 шестерки. «с(ерг возьми, — вскричал преподобный, — кости налиты санином(» И так оно и было».