3. Основы теории случайных процессов. Карлин (1971) (3. Основы теории случайных процессов. Карлин (1971).djvu), страница 88

Рассмотрим симметричное случайное блуждание в пространстве г измерений (см. стр. 43). Пусть у есть число траекторий, состоящих из а переходов и ие содержащих ни одного состояния двамгды. Доказать простое неравенство Хаэ <Х Х и с его пол~ошью показать, что предел Ищ„„ХП" сугцептвует. указание: Воспользоваться тем фактом, что функция ф =!и у является полуаддитивной, т. е, ф э„( ф + ф ц см. также стр. 244.

38. Рассмотрим дискретный во времени марковский процесс, пространством состояний которого служит единичный интервал. Если процесс в вастоящий момент находится в состоянии р (О < р ( 1), то с вероятностью р в следующий момент он перейдет в состояние а + Вр и с вероятностью 1 — р в состояние ()р; здесь а, () > О и а Ч- В = 1.

Таким образом, процесс описывается соотношением ( а+()Хч с веРоЯтностью Х„, иэ! =1 ()Ха с вероятностью ! — Х„. Показать, что этот процесс является мартннгалом. 1гйй (26 — 2гл ') / а — Ь вЂ” 2+2лг) а — Ь вЂ” 1 ~ ( Ь вЂ” га )( пг а+Ь ) (г ) (Ь вЂ” лэ+ 1) (а — Ь+ пг — Ц а>Ь+1, Р(ха э= а — Ь+г) = а,и в 1 2Ь+! ' а = Ь -г 1, *39. Задача о баллотировке. Кандидат А получил а голосов, а кандидат Б— Ь голосов (а > Ь).

Предположим, что голоса подсчитывалнсь один за другим, н пусть а, и !э, представляют число голосов, поданных за кандидата А н за кандидата Б соответственно в момент, когда было рассмотрено г избирательных бюллетеней. Пусть Л„ь — число раэ, когда кандидат А лидировал при подсчете голосов, т. е, Лю ь — число индексов г, прн которых а, > )1, (г =- 1, 2,..., а + Ь). Через Аа ь обозначим число индексов, для которых а„)~ (), (г=1,2,..., а + Ь), Показать, что Различные задачи Р (Ь ь а — Ь+г) 1(г-!)дй (2Ь вЂ” 2т — 2 ! /а — Ь+2т) а — Ь+1 мй,' )Ь вЂ” т — 1 )) т а+Ь ) ~~~ (Ь вЂ” ш) (а — Ь+т+1) а ) -о г=!, 2,..., 2Ь вЂ” 1, г=2Ь, а+1 О во всех остальных случаях.

Следующая группа задач связана с преобразованиями пуассоновских процессов. 41 (продолжение). Пусть каждое событие, независимо от других, объявляется принадлежащим одной из й категорий с вероятностью рь 1 = 1, 2, ..., й, а Х р.=!, и пусть Х!(1) — число событий, попавших в 1-ю категорию за время 1. ! Показать, что Х,(1), Хз(1), ..., Хь(1) являются цуассоновскими процессами с параметрами Хрь ! = 1, 2, ..., й, соответственно. 42.

Расс!!отриы пуассоновский процесс с параметром Х на положительной полуоси (О, ее). Предположим, что событие, наступившее в момент 1, относится ь к одной из й категорий с вероятностями р)(1), ! 1, 2... „й, ~ р! (1) = 1. 1 1 Вероятности р!(1) будем считать непрерывными функциями времени. Пусть Х!(1) обозначает число событий, наступивших за время 1 и отнесенных к категории й Показать, что при каждом ! процесс (Хг(1) ! 1 ~) 0) является иестационарным пуассоновским (см. задачу 13 гл. Т).

Указание: Показать, что Р (событие категории 1 наступает в интервале (1,1 + Ь)) = ар;(1)Ь + о(Ь) и что событие в левой части зтого равенства не зависит от значений Х,(т) при т < 1. 40. Пусть О та<я!<тг...— последовательность времен наступления со. бытий пуассоновского процесса с параметром Х. Предположим, что наступление событий (независимо от моментов других наступлений) фиксируется с вероятностью р и не фиксируется с вероятностью 1 — р. Показать, что Х!(!), число зарегистрированных наступлений, и Хз(1), число незарегистрированных наступлений, представляют собой пуассоновские процессы с параметрами йр и Ц! — р) соответственно. Указание: Рассмотреть производящую функцию совместных вероятностей, а именно: ((а а ) М(аХ~ О)алт О)) М (М (аХ' Озал а)! Х (1) + Х (1)И + )х~ п)+х гб (так как при заданной сумме Х, (1)+Хе(1) величина Х, (1) подчиняется биномиальному распределенвю) =е М!регеааг-!) ха!!а!- !) ЬШ 1а!-!) =е е Разлигньге задачи 43 (продолжение).

Показать, что процессы (Х,(1); 1 > 0), г = 1, 2, ..., й, независимы. Укаэапие: Пусть (а„Ь,), г = 1, 2, ..., Ь, — произвольные Ь интервалов на полуоси (О, со). Положим У~ = Х;(Ь~) — Х; (а,), Показать, что Уь Уг, ..., Уэ— независимые с. в. Для этого обозначим через М(Т) число событий всех катего. рпй, наступивших в интервале (О, Т), где Т = гпах Ьг Если значение М(Т) ~<г<ь задано, то моменты наступления событий всех категорий в интервале (О, Т) можно представить как а независимых наблюдений случайной величины, равномерно распределенной па (О, Т). При условии )У(Т) и совокупность с а Уь У„..., Ую и — ~~ Уг подчиняется полпномиальному распределению с ве- роятиостяэш ьг 1 и=Т аг рэ+,-1 — Х ри 1, 2, ..., й, г=! Следовательно, и 'Хэ, э, ...

за 1 ЬТ(Т) - пу - (р э~ + рээз + . + р,а, + 1 — р, — ... — р,) . /Г г гэ) л Но Ь(Т) распределена по закону Пуассона со средним ХТ, поэтому м(*,'...,')- ~ ~~ тьэ,— ч)1-д,гни,— чг /у уг, Г4Н 1 где ь, ).г-). ~ Р,(г)дг. аг Эти же поводы справедливы и в том случае. если кагклый интервал (аь Ь,) за- мсиить любым конечным объединением интервалов. 2, ..., г. 45. Пусть 0 = тэ < т1 < тэ... — моменты наступления событий пуассоиовского процесса с параметром )..

В момент 1 0 частица начинает совершать броуновское движение (а' 1) из начального положения тг. Событие, наступившее в момент ть не регистрируется, если броуиовская частица, отправившаяся из состояния ть находится слева от — 'х(и ) 0) в момент гэ1 в противном случае 44 (продолжение). Пуст~ ~ р, (1) дг< се при 1 1, 2, ..., г, гда г ~ Ь вЂ” 1, о Доказан, что совместное распределения набора с. в. (Х~(Г), ..., Х,(Г)) стремится в пределе при Г-нее к совместному распределению г независимых е. в., распределенных по закону Пуассона ео средними Л ) р, (1) Ю< си, 1 1, а Различные задачи зто событие регистрируется. Показать, что зарегистрированные и незарегистрированные события образуют пуассоновские процессы с параметрами соответственво Л !! — Ф((С+а)»Ргге)) и ЛФ((!+ а)сугС ), где Ф вЂ” фУнкциЯ ноРмального РаспРепеления. 46.

Пусть 0 тл < т» < ... — моменты наступления событий пуассоновского процесса с параметром Л. Пусть ф(х, у) — действительная функция,х)0; рассмотрим последовательность т» = »р(то в(тс)), где (5(с); с > 0) — случайный процесс, ие зависящий от исходного процесса, такой, что для любого л и любых С», С„... с.

в. $(С»), ..., В(С ) независимы, Положим Г'(х, С) Р(»р(С, $(С)) < х). Лля каждого С > 0 и любых г непересекающихся интервалов (а„Ь»), с = 1, 2, ... ..., г, на оси ( — ео, +со) положим Х»(С) равным числу моментов на интервале (О,С), таких, что а» < т» < Ьь Показать, что (Х»(С); С )~ 0), С 1, 2, ..., г, являкггся независимыми неоднородными пуассоновскими процессами. Показать, с что М(Хс(С)) Л ~ (г" (Ьс, и) — г" (ас, и))»(и, предполагая, что при каждол» х о функция Р(х, и) интегрируема по и на любом конечном интервале. Указанив; Воспользоваться результатами и методами доказательства задач 42 и 43. 47.

В предыдущей задаче предположить, что ~ Р(х, и) а»и<со при каждом х. о Поквзатль что функция распределения с. в. Х»(С) стремится при С- оо к функции распределения пуассоновской с. в. Показать также, что (»т(а); — се < а < ее), где йс(аз) — »'С(а») есть число величин тс в интервале (а», ас), является процессом с независвмыми, но не обязательно стационарными приращениями 48. В предыдущей задаче предположить, что существует функция Ь(х), такая, что для любых х» ей хз (х, «)»Са — ~ х (хь а)»с ~ И (С) с(с, в в х, Показать, что процесс (»л»'(а); — ео < а < ео) является пуассоновским процессом, не обязательно однородным, с параметром ЛЬ(С). 49.

В предыдущей задаче положить Ь(С) ~ р. Показать, что (Л»(а); — ео < а < со) является одномерным пространственным пуассоновским процессом е параметром Лр. 50. Пусть процесс ($(С); С > 0), определенный в задаче 46, таков, что при любом л и любых С», Сз, ..., С„~~ О случайные величины В(С»), ..., $(С ) положительны, независимы и обладают общим распределением 0(х). Получить результаты задач 46 — 49 для следующих часгных случаев: (а)»р(х,р) = хйч (б)»р(х, р) х + р. В (в) предположить, что 1/ю = ~ (»Ссс (о)(о) <ео. о 51. Из результата задачи 50 (б) вывести, что для процесса обслуживания (М/б/со) (см, задачу !О гл. !4) со стационарным пуассоновским входящим по.:лком и произвольным распределением времени обслуживания 6(х) выходной различные задачи 530 по~ок ((/(г),/ ) 0) (т. е.