Манзон Б.М. Maple V Power Edition (Манзон Б.М. Maple V Power Edition.djvu), страница 9

Здесь проиллюстрирована только очень малая лоля того. что умеет Мар/е, тем не менее, читатель из полученных примеров может получить некоторые навыки провеления вычислений в среде Мар!е. 6.1. Преобразование алгебраических выражений Многочлены и рациональные дроби > геесах1)ро1:=х"4-х"3-11*х"2+31*х-20г ро!:= х' — х' — 11х + 3!.т — 20 > йассох("); (х — 1) (х -ь 4) (х — 4х +5) > %ассах(х" 25+1) ) (х -ь 1) (1 — х -ь х' — х + х') (! — х + х'" — х + х ) > ехрх".

=х" 2* (у-х) +у" 2* ( х-х) +х" 2* (х-у) ) ехрг:= х (у — е) + у- (е — х) + е' (х — у) > йассох(ехрх)г (у —.) ( — + х) (х — у) Следующий пример иллюстрирует упрощение алгебраического выражения ехрг при заданных соопюшениях сола(г1, еолв(г2, связывающих переменные > ехрх' ° ( сл 3-Ьл 3+ел 3 ) '2* (1гл 2+хл 2 ) л2 г ехрг:= ( — с~ — Ь' + а ) (у + х ) > сопасх1 := у"2+х"2 = лтг сопе~х2 :~ -с*3-Ь*3+а"3 3*па соаегг):= у'+ х'= т сотт2:= — с' — Ь' -ь а' = Зп > 31йр11ЙУ(ехрГ, (соп61Г1, сопеГГ2) ) ) 9 ог' а' 6. Примеры вычислений 57 Сложные радикалы Мар!е эффективно упрощает сложные радикалы, например > хг14+ 3 3 + 2 3"-'2 Отметим, что упрощение данного радикала было автоматическим, беэ применения команды а(гвр!1(у.

Для упрощения выражений, содержащих не только квадратные корни, но и радикалы других степеней, применяется команда гадпогва1. Приведем примеры > зцгГ(3+зонг~(3)+ (10+6*вцгГ(3) ) "(1/3) ) = гаеЗпогтва1 (зцгГ (3+зс~гГ (3)+(10+6* зцгГ (3) ) "(1/3) ) ) ) М(З+ )3+(10+бчЗ) =1+чЗ > (4+3*3"(2/3)+3*3*(1/3))"[1/3)=гайпогтва1((4+3*3* (2/3)+3*3"(1/3]]"(1/3))) (4+33" +33"') =1+3" Тригонометрические выражения > х:=а*сов(а1рЬа)*з1хх(Ьеса)) уж =а*з1тх(а1рЬа) *зиъ(Ьеса) ) в:=а*соз[Ьеса)) х:= а соя(а) яп(0)„ у:= а яп(а) яп(б); ::= а соя(13); > зхтвр11йу(х"2+у"2+в"2)) В некоторых случаях для эффективного упрощения тригонометрических выражений приходится применять некоторые ухищрения. Рассмотрим, например, выражение 58 Мер!е Ч Ромюег Ее!!1!оп > в с = (3-4*сов (2*а1рЬа) +сов (4*а1рЬа) ) / (3+4*сов (2 "а1рЬа) + сов(4*а1рЬа) ) 1 3 — 4 сов(2 и) + сов(4 а) 3 — 4 сов(2 и) + сов(4 и) Простая команда в!взр!!(у не приводит к существенному упропзению > в1твр1л.йу( )т 1 — 2 сов(2 и) + сов(2 и) 1 + 2 сов(2 и) + сов(2 и)' Преобразуем вначале косинусы в тангенсы > сотгтгект.

(", с.атт); 1 — !ап(и) (1 — !ап(а) ) 1 ь !ап(а) (! + !ап(и) ) 1 — !ап(и) (1 — 1ап(а) ) 1+2 ,+ 1 -ь !ап(а) (1 +!ап(а) ) А после этого упростим > вхзвр1Иу(")) !ап(и) 6.2. Решение уравнений и неравенств В этом разделе будет рассмотрена методика решения уравнений, неравенств и систем и проверки правильности решения. Решение систем уравнений Рассмотрим систему уравнений > е<рав:~(х+2"у~З,у+1/х~1)1 1 едлз:=(х + 2 у = 3, у + — = 1) Х 6.

ПРимеры вычислений 59 Решение находится командой во!те. Присвоим решению имя во!п. > во1пг=во1хе(е(р1в, (х,у) ); 1 ю)п:= (х = — 1, у = 2), (х = 2, у = — ) 2 Мы видим, что решение представляет из себя два набора уравнений. Можно выделить каждый из них > во1п[1); (х= — !,у= 2) > во1п[2)ю 1 (х= 2, у= — ) 2 Проверка решения Проверка осушествляется подстановкой решений в исходную систему > нов(во1п[1),еопв)) (1 = 1, 3 = 3) > нов(во1п[2),е<р~в); (1 = 1, 3 = 3) В то же время переменным х и у не присвоены никакис значения. Присвоим переменным (х1, у1), (х2, у2) решения 1 и 2 соответственно. Это делается при помоши команды внЬ| > х1: =нов (во1п [1), х) в х):= — ! > х2:=впЬв(во1п[2),х)у х2:= 2 > у1:=нов(во1п[1),у); у):= 2 > у2е=виЬв(во1п[2) у)в 1 у2:=— 2 60 Мар!е Ч Ромгег Ед!т!оп Эту команду можно использовать также для других подстановок решения > впЬв ( во1п [1], [х, у] ) ) ! — 1, 2) > [во1п])впЬв(во1п,еопв); 1 [(х = — 1.

у = 2), (х = 2, у = — )) 2 (1 = 1, 3 = 3) Системы линейных уравнений Рассмотрим линейную систему из пяти уравнений > еСрз1:=х+2*у+3*в+4*с+5*п=41с > ех(п2з~5*х+5*у+4*в+3*~+2*п=20ю > е<1пЗс=3*у+4*в-8*~+2*п=125: > ецп4г=х+у+в+~+п=9: > е!1п5:=8*х+4Яв+З*~+2*и=11: Можно получить решение системы трех из этих уравнений для трех переменных. В этом случае решения будут функциями от остальных переменных > в2з=во1зге((еоп1,еоп2,еопЗ),(х,у,в))ю 70 635 28 527 59 70 х2:= (у = 12 г -ь — и + —, х = -7! — — и — —, е = -7 ! — — ц —— 13 13 ' 13 13 ' 13 !3 Чтобы найти решение для конкретных значений ц и 1, можно сделать подстановку, например > втхЪв((п 1,с 1),в2)) 861 — 646 -220 (у = —, х = —, 2 = 13 ' 13 ' 13 Можно также решить систему из пяти уравнений для пяти неизвестных > в1: =во1хге ( (еоп1, е!),Хз2, еопЗ, еоп4, ецп5), (х, у, в, й, и) ) ) з7: (е = — 1, у = 3, и = 16, г = — 11, х = 2) В этом случае решение единственно.

6. Примеры вычислений 61 Чтобы получить представление о всех решениях в2, создадим следующей подстановкой список решений. > виЬв (в2, [х,у, в] ) т Теперь можно построить график поверхности, являющейся решением х2 (рис. 7). .20 Рис. 7 2ь' 527 — 7г — — и —— 13 13 70 635 59 70 !2 г+ и+ —, — 71 — — и —— 13 13 13 13 62 Мар!е Ч Ропгег Ес!!х!оп Корни многочленов При помощи функции гапдро1у создадим полипом 40-ой степени со случайными коэффициентами (коэффициенты — целые случайные числа в интервале -! 00..! 00); > хев~ахг.;ро1у1:=хапоро1у([х], йедкее = 40)1 ро1у1: 79 х'+ 56 х" + 49 х'" + 63 х" + 57 х" + 59 х' Найдем корни полинома командой ао!уе: > Я1=во1че(ро1у1,х)1 з: О, О, О, Воос 01(79 У."+ 56 У" + 49 У." + 63 Уп+ 57 У' — 59 В общем случае явных решений в виде радикшшв лля корней полиномов степени выше четвертой не существует.

В этом случае дается неявное решение в виде Аоог01 (ро!у). В некоторых случаях Мар!е может найти явное решение для корней, однако выводит на дисплей неявное решение в виде тех же Яоог01: Чтобы инициировать вывод явных решений, можно: + присвоить переменной операционной среды ЕлгЕхрйсйзначениегше; е конвертировать выражения, содержащие )!ооЮ~ в радикалы командой соптег((ехрг, гаг)!са!). Чтобы получить приближенное значение всех корней в Мар1е используется команда а!1уа)пел, раскрывагошая структуру )1оогЩ > Яарх'= [Я[1],Я[2],Я[3],а11ча1тхев(Я[4] ) ] 1 Яарг:= (О, О, О, -1.036781034, †.9200669289 †.5244675!61 1, †.9200669289 + .5244675161 1, †.8935692255 †.261007!369 1, †.8935692255 — .2610071369 1, †.7664243339 †.5729068937 1, †.7664243339 †.5729068937 1, †.5611063377 †.8431685381 1, †.5611063377 †.843168538! 1, †.3020685037 †.8896325835 1, †.3020685037 †.8896325835 1, †.1139153281 †.9872232020 1, †.!139153281 †.9872232020 1, .08670984550 †.1,026893462 1, .08670984550 +.1.026893462 1, .34!5049682 †.9389962939 1, .34!5049682 †.9389962939 1, .5461489429 †.7275!64660 1, .5461489429 -ь.7275164660 1, 7656237873 †.699430683! 1, 7656237873 +.6994306831 1, 8880289644 †.4577688!78 1, 8880289644 +.4577688178 1, .8926990381, 1.001175147 †.2725044079 1 1.00!175147 †.2725044079 !] 6.

Примеры вычислений 63 Теперь построим на комплексной плоскости все корни полинома (рис. 8), > ать(р1осв):сошр1езр1ос(Яви, х -1.1..1.1, в~у1еюро1пс)) Рис. 8. Интересный результат — почти все корни случайного полинома располагаются на комплексной плоскости вблизи окружности единичного радиуса с центром в начале координат. 64 Мар1е Ч Роччег Ее))т(оп Системы нелинейных уравнений Рассмотрим систему из трех уравнений от переменных х, у, х. > кев~ахс) > Й1 := а*4яхл2+2яалЗяуях-2яал2яхяв+ал2яул2-2яаяхяу) Г'с:= а' ес + 2 а' у т — 2 а х е -г а у — 2 а х у: > й2 := ал4Яхл2+ЗЯалЗЯуЯв-ал2ЯхЯв+ЗЯаЯхЯу-2Яхл21 с2:= а' ~ + 3 а' у е — а х .

+ — 3 а х у — 2 х; > ЙЗ г= ел4я*л2+алЗяуяг-2яал2яхяв 2яеяхяу. (3:= а ~с+ а~ у г — 2 а х е — 2 ах у; Решение этой системы получим при помоши комаилы во1те > во1вс=во1че((й1,й2,КЗ), (х,у,в)) т юй:=(х= — а е,~=е,у=О). (~=т,х= — а е,у= — ае) 1 2 Отметим, что в этом примере потеряно тривиальное решение (х=О, у=О, к=0).

Проверим остальные лва > псар(всхЬв, [во1в [1],во1в [2) ), [Й1, Й2, ЙЗ) ) ) т ЦО. О, 0(, (О, О, ОЦ Еше один пример из четырех нелинейных уравнений > еаза:=(схЯчЯул2=Ь,чЯул2Ятг=24,ул2ЯтгЯса= 12,сх+ч+тг=у+4)т еср:=(и ссу'= З,гу'яс = 24, уссг сс= 12, и + г + я = у+ 4); Для получения явного решения в радикалах введем команлу > еххчехр11схс := стиес > во1тх: =во1че(ес2в, (у,тт,ч,тг) ); — 2 — 1 ю!и;= (у = 2, г = 2. сс = 1, я = 3), (сг = — 1, г =, и = —, у = — 6) 3 3 6. Примеры вычислений 65 (у = — 2 + 2 1 'Г2, т = — + — ! 'Г2, я = 1 + ! ч2, и = — + — ! "!2) 2 2 г- 1 1 3 3 3 3 2 2 — 1 ! (у = — 2 + 2 ! 'Г2, г = — + — ! '!2, и = 1 + ! ' 2, и = — + — ! 'Г2) 3 3 3 3 Решение рекуррентных и функциональных уравнений Начнем с примера > хво1че((у(п) *у(п-1) + у(п) - у(п-1) = 6, у(0)=а), у)т 1+ иа Отметим, что команда гао!те фактически позволяет решить функциональное уравнение для целой функции у(п).

Приведем еще один пример > хес:=д(п)-д(2*п) = 1+1уп) 1 гес т я(и) — а(2 и) = 1 -г— > хво1че(тес,д)) Очи~ !о(2) ! 2! Команда ао!те также позволяет решать функциональные уравнения, например > уз во1че(й(х)"2-3+2(х)+2ех, й)т Е:= ргос(х) Коо!ОГ( х 2 — 3" У+ 2"х) евд Можно преобразовать полученное неявное решение в радикалы > сопчехс(е.(х),хайя.са1)т — -ь — з19 — 8 х 3 ! 2 2 66 Мар!е Ч Роиег Еб!Еоп Решение трансцендентных уравнений и систем Уравнение, содержап!ее показательные функции > еоп := х"2*2"х+8=2~х~2+2"(х+2)т е!!л:= х 2'+ 8 = 2 х'+ 2'"'" > во1че(еще,х)) 2,— 2,1 Система уравнений, содержашая показательные и логарифмические функции > хевсахс)ецпв:~(7*3"х-3"2*(в+у-х+2) 15, 2*Зл (х+1)+Зн2л (в+у-х) ибб, 1хъ(х+у+в)-3*1х1(х)-1п(у*2)=-1:(4))т едт:= (!п(х + у + е) — 3 !п(х) — 1п(у ~) = — 1п(4), 2 3' н-ь 3 2" ' "'= бб, 7 3" — 3 2""'"' " = 15) Мы не выводим на дисплей решение до команды я!ар!15 ввиду громоздкости.