Задачи по термодинамике и статистической физике. Под ред. П.Ландсберга (Задачи по термодинамике и статистической физике. Под ред. П.Ландсберга.djvu), страница 9

1 и 2. 1.25. Возьмем следствие тепловой теоремы Нернста: (дЯ»дх)и -+ -»- О при Т вЂ” и О, где х, у — две независимые переменные (отличные от Я). (Зто соотношение иногда называют лыплоеой теоремой 11ернста е сильной форме.1 Показать, что результат задачи 1.24 может быть теперь усилен: при Т -+. О стремится к нулю отношение Х!Т. Решение Согласно решению задачи 1.24, п. 3, мы имееи (дд»дх)и — +- О, поэтому ясно, что величины (С,( Т), (Ср~Т) и т. д. будут обращаться в нуль в пределе Т вЂ” и О. 1.26. Показать, что идеальный классический газ с постоянными теплоемкостями (определенный в задаче 1.9) не может существовать сколь угодно близко к температуре абсолютного нуля, даже если третий закон берется в слабой форме, приведенной в задаче 1.24. Показать, что поведение идеального квантового газа (определенного в задаче 1.9) не противоречит третьему закону, даже если он взят з сильной форме, приведенной в задаче 1.25, при (х, у) =- (о, Т).

Решение Рассмотрим идеальный классический газ. Полученный в задаче 1.9 результат Ср — Со = — Л не будет вынолняться вблизи точки Т:= О, так как из задачи 1.24 мы имеем Ср — и О, С, -и О. Если ро == дУ (идеальный квантовый газ), то, согласно задаче 1.24, Следовательно, из соотношения Максвелла имеем (дд»до)т -ь О при Т -»- О. Заметим, что для (х, у) = (Т, о) теорема Нернста в сильной форме оказывается несправедливой уже для идеального электронного газа «), для которого (дд/дТ), стремится к ненулевому значению при Т -+. О. Чтобы показать это, следует воспользоваться задачей 3.15, п.

«г». «) См. примечание редактора перевода в ковке главы. — Прим. род. Глава 1 ФАЗОВЫЕ ПЕУЕХОДЫ 1.27. Пусть Ть (р) — линия Ь в фазовом пространстве газа, характеризуемого двумя независимыми переменными, определяющая некоторую температуру Ть для любого давления р.

Пусть температура газа Т отсчитывается от этой линии: 1 = Т вЂ” Ть (р). а) Показать, что наклон р), липин Ь удовлетворяет соотношениям (Ф),=-Е).='' (Ф),=--'' б) Показать также, что для любой функции состояния у в) Пусть И' н Х вЂ” две функции состояния газа; убедиться, что Записать уравнения, получающиеся отсюда, когда (И', Х) =- = (Я, р), (Я, и), (и, р), и с помощью первого и последнего из них показать,что где «»р и Кт имеют тот же смысл, что и в задаче 1.4.

Интерпретировать зти результаты, используя графики соответствующих функций. г) Снова получить реаультат ф— С,=Т( ог ) ( аг» ) (аадача 1.8, п. «а»), считая, что линия г = О является линией постоянного объема. Решение а) Выбирая в качестве пезависимых переменных величины Т и р, получаем а=ат- —, 1р.

1 Рь Отсюда вытекает искомый результат. б) Имеем Законе термодинамики и из п. «а» в) Для двух независимых переменных всегда справедливо следующее общее соотноп»е»п«е: Полагая У вЂ” и Т, Я вЂ” » т, получаем Используя соотноп»ения Максвелла, получаем счедующие три частных результата: Последнее из этих уравнений при умножении на о " дает связь между пр и Кт. Уравнение (1.27.1) показывает, что кривая, изобра»кающая зависимость Ср!Т от (д«»дТ)р, вблизи линии Х приближается к прямой линии, имеющей угловой коэффициент рь н отсекающей отрезок (дЯ!дТ)ь.

Обозначение (...)ь указывает на то, что берется значение при « =- О, т. е. на линни 1. Уравнение (1.27.2) показывает, что эта же линия является асимптотой для кривой зависимости С„еТ от — (брГдТ))(оп~др)т. Последнее сооткоп~енне в п. «в» показывает, что кривая зависимости ар от Кг имеет аснмптоту с угловым коэффициентом рг, и отсекает па оси я» отрезок и т (доедТ)ь. г) Положим в первом уравнении п. «в»»»' =- Я, Х =..- р. Тогда, замечая, что получим требуемый результат. 1.28. Предположим, что линия Т в предыдущей задаче обоаначает переход из фазы 1 в фазу 2.

а) Считая производную (дЯ/дТ)«непрерывной на Ь, снова вывести уравнение Клапейрона — Клаузиуса, полученноевзада- Глава Е 48 че 1.14, путем интегрирования уравнения для Ср!Т из задачи 1.27, п. «в». б) Показать, что если рь является конечной и ненулевой величиной, то на линии Ь 1Хотя нз задачи 1.27, п. «б», следует„что величины Ср, «2 и Кт расходятся на Ь, свяаывающие их соотношения, приведенные в задаче 1.27, п. «в», остаются справедтгивыми. Эти соотношения представляют собой обобщение соотношений, полученных Пнппардом ').) Решение а) Проинтегрируем выражение при постоянном давлении в пределах от точки, лежащей вблиаи линии Ь в фазе 1, до подобной точки в фазе 2.

Тогда Ъ1 2 ,, =( — „',),(" — ). Первый член (дЯ,'дТ)в не дает вклада. б) Из задачи 1.27, и. «в», имеем Так как единственной величиной, изменяющейся вдоль линии е, является р, последний ччен обращается в нуль н Полагая И' = Т и Х == Ю или Х = о, получаем Эта величина равна 1/рь на Е. Аналогично в) См. работы [9 — 11!. Заки>еи термодинамики Так как рь является величиной конечной и не равной пулю и леван часть обращается в нуль на Л, то (дрор)т = О на Л. Аналогично ТЕРМИЧЕСКАЯ И МЕХАНИЧЕСКАЯ УСТОЙЧИВОСТЬ 1.29.

Два макроскопнческих термодинамически равновесных газа 1 н 2, свободных от внешнего воадействня, находятся в тепловом и механическом контакте, причем система в целом является изолированной. На четыре независимые переменные (объемы и энтропии о„рю О'ы о',) наложены ограничения, заключающиеся в том, что полный объем о и внутренняя энергия бе долокны иметь заданные значения (1.29.1) (1.29.2) о=де+ив, У = бе, + О'в. Поскольку для любого газа б' = б (Я, р, и), других независимых переменных не существует. а) Берн за независимые переменные ре и ом получить следующие полезные соотношения; ( — ') = див ) (дбв/доз]зе — (дое(дие)з дое ! Зе (др7в|дЗв) (до, ) (=') =-- дда 1 (ОПЕ~ЗЗЕ)о дде ое (див!дх )о (1.29.3) (1.29.4) (1.29.5) (1.29.6) (%)„= ( — "„.') зк .г.

е. ре=рз(=р) (механическое равновесие), и г. е, Те — — Т, (=Т) (тепловое равновесие). (1,29.7) (1.29и8) а-озвв б) Согласно второму закону термодинамики (см. задачу 1.22) б(7 + рбо — Тбо' О, т. е. в равновесном состоянии энтропия 8 при постоянных (7 и о доля на иметь максимум. Показать, что необходимые условия равновесия между газами 1 и 2, или иначе условия экстремума величины о' =- Я, + Вв, имеют вид 50 Глава 1 в) Показать, что условия механической п тепловой устойчивости, т.

е. условия максимального (а не просто экстремального) значения энтропии Я, включают в себя соотношения — Г( — „"ч), +(+) 3„=— Г( —,,) +( —,,)Л,>О, [1299) Г( — ".,). -( — ':,)Л.=-Г(-:.), (Е).1, ' где индекс 0 указывает, что значение борется при равновесии. Рещение а) Зашппем уравнения (1.29.1) н [1.29.2) в виде о1 " па [у! Яв) е Пв [ьм 8в! -[- О'э [оэ [гм ~1)1 Юэ [гм У~)[ == Г/ [1.29.11) [1.29.12) Так как о и У вЂ” константы и Я, и о, не зависят друг от друга, частные производные по Я, и и, равны пуп|о.

Дифференцируя уравнения [1.29.11)и [1.29.12)по о,при постоянном Ям получаем ( —.' ) + ( — ') ( — ') + ( —,'- ) ( —.' '- ) =О. (1.29.13) Первое из них совпадает с уравнением [1.29.3). Подставляя его во второе, получаем уравнение [1.29.4). Далее, цродифференцируем уравнения [1.29.11) и [1.29.12) по Я, при фиксированном о,: ( 1) +(д'-) ( а ) +( 2, ) ( а) О. [1.2914) Подставляя первое из этих соотношений во второе, получаем уравнение [1.29.6). б) Перепишем уравнения [1.29.4) и [1.29.6) в виде ( †)— ду ~ [дгга/два)З вЂ” (дТГ1/даВ)З, Ш в, дав /зв [дУа/дда)„ч Та (дХ1 вl вв1 Т, ы [дав/дЫ т М, гвв [ди,/дда)„Т, ' обе величины при равновесии обращаются в нуль.

в) Необходимые условия, обеспечпвающие выполнение нера- венства Ы ) О, состоят в том, что вторые производные Я по Я1 и о, должны быть отрицательны. Дифференцируя уравнение 51 Законы гкермодинамики [1,29.13) по иг при фиксированном Я„получае»г ( диг )с т [ ( диг )с ( ди )з +(егидд ) ( диг)з ) (диг)зг+ +(.,",; ) (У),1(Ф), +( ~'г) ( — ".:.)а =' Применяя соотношения ( — ',",,) =О, уравнения [1.29.15) н результаты, полученные в п.

«а» и «б», приходим к более простому соотношению, справедливому при равновесии: ~( —;„',,'), +( — "„,",), +( —,'.„",) (",".,') 1=9, откуда (( ) ( г) ~ (( ггг) +(де'е) ~) [12о16[ Далее, дифференцируя уравнение [1.29Л4) по Ь'г и пренебрегая членами, не дагощими вклада, находим эгей~ дгО'г дд дЧУ ди д Сг дУ дгдг 1 Воспользуемся результатами, полученными в и. «а» и «б»; это дает ('„+',+ — '- ',)=, дЯ д5'г гддг дЯ )о поэтому ((дуг) =( д.сг ) = у [ ( д,«г ) +( е1«г ) )) . [1.29.17) Теперь условия максимального [а не просто экстремального) аначения энтропии Я заключаются в том, что величины [1.29.16) и [1.29.17) должны быть отрицательными, откуда следуют тождества [1.29.9) и [1.29ЛО).

[Замечания. 1. Мы показали, что в кан«дом из двух уравнений [1.29Л6) и [1.29Л7) сумма двух членов должна быть положительной. Каждый из этих четырех членов зависит только от переменных одной системы, поэтому разумно сделать вывод, что для каждой 4« Глава 1 системы в отдельности справедливы следующие неравенства: (1. 29. 18) 2. Для полноты следует также исследовать знак перекрестного члена дгЯ,'дгддЮ, (см. задачу 1.31). 3.

Важный случай устойчивости в двухкомпонентпой системе при наличии переноса массы исследуется в гл. 7; см., в частности, задачу 7.3.) 1.30. Рассмотреть заново вывод условий устойчивости в задаче 1.29, предполагая, что система не является изолированной, а каждая часть системы находится в контакте со своим тепловым резервуаром. [У к а з а н н е: Второй закон здесь удобно взять в виде 6Р + Б6Т + рбп ( О.) ') Решение ') Настоящая задача отличается от задачи 1.29 тем, что одно условие па экстенсивные неременпые [7г + (Тг — —. Г7 заменяется двумя условиямп Т, =. сопМ, Т, =- сопз1, наложенными на интенсивные переменные. Это уменынает число независимых термодинампческпх переменных на единггцу.

Если в задаче 1.29, где имеются две независимые переменные, мы получили два условия устойчивости, то следует ожидать, что в настоящей задаче, где имеется одпа независимая переменная, должно быть только одно условие устойчивости. Из четырех переменных гы иг, Тн Тг только одно является независимым; возьмем в качестве такового оо Условие (1.29.3) принимает вид Й г — = — 1 вваг Равновесию прн постоянной температуре соответствует минимум свободной энергпи.