Рейф Ф. Статистическая физика (Рейф Ф. Статистическая физика.djvu), страница 18

Но в присутствии магнитного поля магнитный момент чаше ориентирован по пол4о, чем против поля, поэтому р) д а). Мы имеем дело с идеальной системой спинов. Это значит, что взаимодействием между спинами можно полностью пренебречь и ориентации спинов статистически совершенно независимы. Вероятность того, что любой из данных магнитных моментов направлен вверх, не зависит от ориентации любых других магнитных моментов системы. Предположим, что и магнитных моментов нашей системы направлены вверх, а п' вниз. Так как полное число спинов в системе равно йг, то гг+ и' = 141 (Т) плн п'=Ф вЂ” и.

Рассмотрим теперь, ансамбль, состоящий из большого числа таких систем. Число а магнитных моментов, направленных *) Здесь мы считаем р и Ч величинами, определяемыми на опьпе. В главе ч чы узнаем, как вычислить р и я для любого значения поля ВГ есйи система спиноз находится прн определенной температуре. Таблица 2Л вверх, не одинаково для каждой системы ансамбля и может принимать значения О, 1, 2, ..., У. Нас интересует следующий вопрос: какова вероятность Р (л) того, что и из Ф магнитных моментов направлены вверх? Эта задача легко решается с помощью следующих сообра- . жений.

Вероятность того, что любой из магнитных моментов направлен вверх илн вниз, равна соответственно Р или г). Так как магнитные моменты статистически независимы, то с помощью формулы (5) легко получить вероятность такого состоянии, когда л моментов направлены вверх, а остальные Ж вЂ” и моментов направлены вниз: У Р Р О Р и Р Р 0 Р Р Р 0 0 0 О вероятность образования одной конфигурации спинов, в которой л моментов направлено вверх, а остальные У вЂ” и направлены вниз (8) 4! 1 Р 0 О 0 Таблица (Т), в которой ук»заны все возможные ориентации )ч' магнитных моиентов для частного случаи 3=4.

Буквой У обозначен момент, направленный вверх. Буквой Р— момент, направленный вниз. Число моментов, направленных вверх и вниз, обозначено через л и л' соответственно. Число Сл (л) возможных конфигураций, в которых л моментов нз У направлены вверх, указано в послелнем столбце. (Заметьте, что эта таблица аналогична табл. 1.1.) Но конфигурация, при которой л магнитных моментов направлены вверх, может быть осуществлена различными способамн. Это показано в табл. 2.!.

Обозначим поэтому: См(л) =число различных конфигураций, при которых л магнитных моментов из общего числа У направлены вверх (а остальные Ф вЂ” и = и' направлены вниз) '). (9) ") Коэффициент Слг(л) иногда называют числом комбинаций нз У объектов ио л. Искомая вероятность Р(п) того, что и из У моментов направлены вверх, равна вероятности осуществления либо первой, либо второй, ..., либо, наконец, последней из Сд(а) возможных конфигураций.

В соответствии с общей теоремой (4), искомая вероятность Р(л) равна сумме вероятностей (8), взятой по всем таким возможным конфигурациям, когда л магнитных моментов направлены вверх. Эта сумма равна произведенщо вероятности (8) на коэффициент Сгг(л). Таким образом, Р (и) = Сн (и) рчдм-ч, (10) где и'= йг — и. Нам осталось подсчитать возможное число конфигураций в общем случае произвольных значений Л' и л. Предположим, что мы имеем таблицу Т, аналогичную табл. 2.1, где обозначены все конфигурации, которые можно образовать из Л' магнитных моментов, причем символом (/ обозначен момент, направленный вверх, а символом 1) — вниз.

В этом случае коэффициент См(п) определяется числом рядов, в которых снгцвол У повторяется а раз. Чтобы подсчитать число таких рядов, рассмотрим и различных направленных вверх моментов и обозначим их (/ь ()ь ..., (1„. Каким числом конфигураций мы можем осуществить эту ситуацию? В табл. 2.2 ответ на этот вопрос дан для частного случая гу'=4 и в=2. Т а б л и ц а 2.2 1 3 з 2 3 ч а У, 0 и, 0 Ь Ь 0 Уе У, 0 с и 0 У, Уе У, 0 0 0 Уе 0 0 0 У, и, Уг и, ) о ~ У, 0 0 У е, 0 0 0 У, ! с 0 У, е и, У, У„ и, 0 0 0 У, Уз 0 0 У„ 0 и, Таблица (Т']. в которой указаны все возможные конфигурации нз У =-4 идентичных моментов, два из которых направлены вверх. Эти моменты обозначены через У, и Ум хотя физически они неразличимы.

Поэтому конфигурации, отличаюшиеся только местами индексов ! и 2, эквивалентны. Они обозначены одинаковыми буквами в последвем столбце. Таким образом, таблица содержит в и.'=2 раза больше конфигураций, чеч в том случае, если бы она содержала лишь физически различимые конфигурации. Символ (х, в строке таблицы может появиться на М различных местах.

При каждом возможном положении символа О, символ (г'а можно поставить иа одно из У вЂ” 1 оставшихся мест. Для каждого возможного положения (г', и О, символ О, можно поставить на любое 'из Ж вЂ” 2 оставшихся мест. Для каждого возможного положения (т'„(У„, ..., 0и, последний направленный вверх момент можно поместить на одно из Л! — п+1 оставшихся свободных мест. Таким образом, возможное число з'и(п) рядов в таблице равно произведению числа возможных положений символов (/„(г'„ ..., ()„, т. е. з'м (и) =. Л! (Л! — 1) (Л! — 2)... (И вЂ” и -1- 1). (11) Это можно записать короче с помощью факторналов. Например *), ДГ(!У вЂ” !) (П вЂ” 2) ". (Л' — +!!(Д! — ! ".

2 ! Л" Уи(п)— (Д! — л) ... 2 ! (Д! — л)! Теперь мы должны ввести в этот расчет поправку. Все люменты, направленные вверх, эквивалентны, и поэтому те ряды таблицы Т', которые отличаются только перестановкой индексов, отвечают физически неразличимым ситуациям (см., например, табл. 2.2). Число возможных перестановок из п индексов равно п! и поэтому таблица Т' содержит в и! большее число рядов, чем их должно быть, если принимать во внимание только ряды, отвечающие физически неэквивалентным состояниям.

Поэтому **) искомое число Сх(п) различных конфигураций для п направленных вверх моментов мы получим, разделив ип(п) на и1, т. е. С,(п) = —" /и (и! Л'! л! л1(Л' — лп (13) Вычисляемая вероятность (!О) теперь имеет вид (14) Более симметричный вид этого выражения: и! Р (п) — ' ра!)ж л~ л'! (16) где и'= — Л! — п. В частном случае, дл Г!хм когда р=!)= 1(2, Р(п)= —,',, ( — ) (16) Для данного значения Л' вероятность Р(п) зависит от п.

Функция Р(п) называется бипомиалонам распределением. 3 а м е ч а н и е. При разложении бннол~а степени л, равного !р+д)М, по степеням и мы замечаем, что козффинненттакого разложения при р "ддг-" равен числу членов, содержащих р в качестве множителя л раз н л в качестве множителя ь) По определению М1==-Л!(Л! — 1)...2 ° 1; кроме того, О!ои 1. 'г) Первый индекс может принимать л возможных значений, второй инденс— любое из остальных и — ! значений,..., и для и-го индекса остается одно значение. Поэтому индексы могут быть расположены л(п — 1)...2 1=л! различными ,способами. /У вЂ” л раз.

Мы имеем. таким образом. чисто матсматнчсскую теорему ратло«являл бинома: и (р 1 ч)Ф вЂ”.~Ч~~ рчч»т-а /У1 л1(м,— )1 в=в Сравнивая (17) с (14), мы видим, что каждый ален справа равен вероятности Р (л). Это объясняет терман «бвномиальнос распределение». В нашеч случае, когда сумма интересующих нас вероятностей равна единице: р»(-д 1, уравнение (17) зквивалснтно следующему: и ( л ) ч=о Тсм самым мы показали, что сумма вероятностей для всех возможных значсний л дайс«вительно равна 1, как зто требует условие нормировки (3). Обсуждение.

Чтобы понять, как величина вероятности Р(п) зависит от п, рассмотрим прежде'всего свойства коэффициентов Сн(п), определенных выражением (13). Заметим, что они симметричны относительно замены п и й/ — и = и'. Таким образом, Сн(п') Сн(п). (18) Кроме того, С,(О) = С (й») = 1.

й(ы замечаем также, что (19) бм(л+ Ц л! (Л' — л)! й' — л Сн(л) (л + 1)1 !(Л' — л — 1)! л+! (20) если Р=() =1/й, то Р(п')= Р(п), Этот результат следует также и из соображений симметрии, так как при Р=а=1/2 (т. е. в отсутствие магнитного поля В) не может быть преимущественной пространственной ориентации магнитных моментов. В этом случае вероятность Р(п) имеет максимум ") вблизи п=«/,й/. С другой стороны, если р)д, то максимум все равно существует, но он теперь смещен к значениям п-ь'/«й/. Рисунки 2.6 и 2.7 иллюстрируют поведение вероятности Р(п) для нескольких простых случаев, ") Максимум приходится на «/«йг при чепюм г/, а нри иамытном У имеются два наибольших и равных значения по обо стороны от «/~У. Начиная с п=О, мы замечаем, что отношение соседних коэффициентов С,(п) сначала велико и имеет порядок Л/, затем оно монотонно уменьшается с увеличением и, оставаясь больше единицы (или равным ей), пока п (г/,/т', а затем становится меньше единицы при п в г/„М.

Отсюда, если еще принять во внимание формулу (19), следует, что Сн(п) проходит через максимум вблизи п=«/.й/ и что значение С„(п) в этом максимуме очень велико по сравнению с единицей, если, разумеется, й/ велико. Теперь мы можем понять поведение вероятности Р(п). Из (16) следует, что Полный магнитный момент системы спиноз в направлении поля *) (т. е. в направлении «вверх») является величиной, которую можно фЦ измерить на опыте.

Обозначим его Рдн) через М. Так как М просто равно ал- 8 гебраической сумме магнитных люменГб тов, направленных <вверх» и «вниз», мы 4 получаем М = ир,— и'р, =(и — и') )го, уб или Л М=и)рм (22) Уб где т ив м и — и г (23) д г Л 8 4 и -4 -Л д 2 4 лг Отсюда следует, в частности, что возможные значения т будут Р()п) д/б й/4 д/2 дтд 008 Ддб 004 0,02 д У 2 8 4 5 б 7 8 У )д )т' )2 )8 )4 Уб гб )7 )8 19 ~д -20-/8-/8-(4-УЛ -(0 .д -б -4 -Л 0 Л 4 б 8 Уд УЛ /4 Уб Уб 20 л)— рис.