Журавлев В.А. Термодинамика необратимых процессов в задачах и решениях (Журавлев В.А. Термодинамика необратимых процессов в задачах и решениях.djvu), страница 8

э=1 Уклзлнин. Записать линейные законы Онзагера в виде Хь = ~~ А,„'.11 (й = 1,2) и использовать результаты решения задачи 29, записанные в представлении обратных коэффициентов 1 „', (Ь„')'. 32. Показать для условий задачи 30 справедливость соотношений Онзагера, считая, что в наборах сил и потоков существуют линейные 3 3 связивида 2" Х;=О, 2 4=0. $=1 и=1 33. Для изотропной термодинамической системы, в которой действукгг необратимые процессы различного тензорного свойстве скалярные, полярные векторные и симметричные тензорные, -- записать линейные законы Онзагера и упростить систему феноменологических коэффициентов, используя свойство инвариантности линейных законов при ортогональных преобразованиях координат, соответствующих инверсии и вращению, 2.з.

Линейные законы. Соотношения Онзагера. Принцип Кюри 53 Рвшкниь. Пусть действующие в системе процессы характеризуются диссипативной функцией вида ф = з~Х~ + У Х + У Хт ) О, где,Ус,.УВ,.Ут.,ХС,ХВ,Хт потоки и силы скалярного, полярного векторного и тензорного явлений., причем,7т,Х -- девиаторы (зр,У~ = Яр Хт = О). Запишем систему линейных законов Онзагера: Уе 7ееХС+ 7СВ . Хв+ УСТ . ХГ .у =7, 'Хс+7 В.Х +7,В":Х"г ут 7тсХС+ 7тв Хв+ 7тт, Хт Тензорнан валентность феноменологических коэффициентов меняется в каждом уравнении в зависимости от тензорности потока и соответствующей силы. Кроме того, поскольку Х вЂ” девиатор, то пут левым следом по последней (первой) паре индексов обладает каждый феноменологический коэффициент 7~~.7 ~С,7~~.7 ~~,7т~.

Упрошенин в системе феноменологических коэффициентов достигаются в соответствии с принципом Кюри в зависимости от того, одинаковым ли образом они преобразуются при ортогональных преобразованиях координат. Рассмотрим преобразования коэффициентов 7 ВС, 7 с'В. Ьвт, 7 тв при операции инверсии координат (см. примечание).

7вс,7св— полярные векторы, поэтому для них при преобразовании используется однократная свертка (т = 1) 7е~ = ( — 77) 7е~ = — 7с~. , но 7св 7св 7вс 7вс Э з .н с„и 7вс = 7св = О. Аналогично можно установить, что тензоры третьего ранга 7вт = 7тв = О. действительно, в этом случае гп = 3 и имеем Увт ( 77)з . 7вт Увт Таким образом, из приведенной схемы феноменологических коэффициентов искшочаются коэффициенты с нечетным рангом (т = 1,3), коэффициенты с четным рангом (пг = О, 2,4) сохраняютсн.

Применим, далее, другое ортогональное преобразованио — — вращение на произвольные углы (см. примечание). Так, для скалнрного коэффициента имеем 7сс = (Я)з7сс = Асс Это — тривиальное свойство скаляра быть инвариантным относительно произвольных вращении системы координат. Используя зто свойство, сделаем заключение в отношении коэффициентов 7~~,7~т,7т~ тен- б4 !лава 2 воров второго ранга. Для этого образуем скаляры путем свертки тензоров с диадой Х1' и применим к скаляру операцию вращения Я (з.~~: Хх ) = (Ь~~)': Хх . Поскольку скаляр инвариантен к Я, а тензор Ь~~ инвариантен относительно произвольных вращений в изо.е гав (гвв) х тгввХ Х ~ гввХ Х~ Это выражение показывает, что диадная форма из компонент векторов Х, Ъ' переходит после преобразования Н в такую же форму, но из компонент векторов Х',1".

Причем коэффициентами при компонентах векторов до и после преобразования являются элементы тензора Ьвн. Следовательно, последнее выражение справедливо, если инвариантно преобразуется диада. Это требование выполняется для линейного инварианта самой диады, т.е. при а =,9. Отсюда следует вывод, что з ~~ = А~~~У, где т ~~ — скаляр, ЕУ единичный тензор. Аналогично можно показать, что Ь~т = т,~~ Еу, Ьтс = Ет~ГУ, Однако по исходному условию последние два тензора обладают нулевым следом, и поэтому Хст = з то = О. Остается сделать заключение в отношении коэффициента Ьтт. Длл этого, как и ранее, образуем инвариантную форму з з Ь„д зАьдВзз = ~ А„д зА~дВ'з.

~,З,.„,6=1 азцт,0=1 Это выражение есть линейнал комбинация инвариантов четвертого порндка тензорной диады АВ и, следовательно. равно 1 тг(А . В) + сопэс(А; Ю)(В; Ъ~), где т,~~, солар — скаляры. Отсюда тензор четвертого ранга х ~~ имеет следующие компоненты: о~ дтз = ~ '( ~(Кы~дт + ~озоди) ЯСгад(~тб~ + тт тт /1 г +сопэс Сод1Луб. Тензор Ьтт по условию симметричен и имеет нулевой след по первой и последней паре индексов. Поэтому сопэГ должна обратиться в нуль, 2Л. Линейные зинонеи Соотношении Онзигери. Криниии Кюри 55 и тензор Х~~ в результате принимает вид Х'ад„г = Х' ') ЯаЯ~до + юатПдб) ПадПть тт тт (1 1 (2 3 (с г )3, 3, о = 1, 2, 3), где Х,тт — скаляр. Можно показать, что число компонент тензора ХГ~ равно 81, из которых лишь 21 компонента отлична от нуля. Таким образом, учет элементов симметрии изотропной среды позволяет упростить систему феноменологических уравнений Онзагера к виду Лс Хсс гас Хв Хвв т-в ,т =Х, Х где Хсс Х,ВВ Хтт скаляры Примвчлнив.

Пусть 1' — элемент симметрии пространства, связанный с некоторым ортогональным преобразованием. При действии Г на лкзбую тензорную величину последнии преобразуется по закону Ха,д,,г, —— ш ~~~ Гаа Гдд Г-~ г'...Х~д.„з — ~ ш(Г)о'()Х~, ' дтз-. где Ь„дтж, 1'аа — декартовы компоненты тензора Х и тензора ортогонального преобразования. Свойство пространственной симметрии выражается в том, что существует ортогональное преобразование Г, для которого имеет место Х' = Х или Х' = (Г) ()Ха Если некоторые свойства симметрии пространства, выражаемые Г, отсутствуют, то исходные и преобразованные тензоры будут отличаться. Простейшими свойствами симметрии изотропного пространства являнзтся инверсия Г = Х = -ХУ, Х' = — 0( )Х и операция произвольного вращении Г = Я, Х' = (Я) ()Х.

34. Пспользун свойства симметрии изотропного пространства, упростить матрицу феноменологических коэффициентов в системе Глава 2 линейных уравнений Онзагера, устанавливающих связи между потоками и силами скалнрной (с), аксиальной векторной (а) и полярной векторной (в) природы. Указании. Использовать выражение производства энтропии в системе в следующей форме: 0 =,7'Хв+,га Ха+.Ув Х* ) О. 35. Рассмотреть предыдущую задачу для случая линейных уравнений Онзагера, устанавливающих свнзи между потоками и силами скалнрной и тензорной природы.

Считать соответствующие потоки и силы симметричными тензорами, имеющими отличные от нуля следы. 2.2. Вариационные принципы Онзагера, Пригожина, Циглера, Дьярмати, Био, Бахаревой 36. Показать, что линейные законы Хь = х Аь,.~1; минимизиа=1 руют функционал Онзагера (Π— Ф) при изменении потоков уо где в' = 1, 2,...,п: 0 — производство энтропии; э." — потенциал рассеяния. т 37. Пусть выполняется зависимость для потоков Гв = 2,' а В(, т=з где о, — неопределенные коэффициенты, В,'. — скаляры из заданного набора тп величин. Использун вариационный принцип Онзагера 6(0— Ф) = О, найти оптимальные значения констант а .

гиг. Вариачионные пршшипы Онзагера, Пригожина, Циглера, Дояре«ати, Био, Бахарев Ркшкник. Используем представление производства энтропии д и потенциала рассеяния Ф в виде (1.20), (2.5): 1 ~ .0 гозаг > О, зд=ь Подставляя эти результаты в выражение принципа Онзагера ш 1 «и д( — гР) = б ~~«рза, — — ~~«0до оз > 0 2 з=! зд=з и варьируя по а, легко найти условия, из которых следуют значения неопределенных коэффициентов а Х' = ~0зчао г=г 38. Прерывнан термодинамическая система, характеризующаяся набором т независимых параметров, поддерживается за счет "редств внешнего принуждения в состоянии с фиксированными термодинамически«ми силами ХыХг,Хз,...,Хь, причем остальные силы Хноы...,Х могут свободно менятьсн. Показать, что если производство энтропии О в системе минимально, то потоки,Уг при г = ь.

+ 1, Й+ 2,гг+ З,...,т исчезают. Ркшкник. Чтобы существовало состояние системы с минимальным производством энтропии, необходимо выполнение вариационного условия ВО =О, г>й, дО = О, д =;-„УзХ; = ~ Х« «=1 «=1 ХВз о Р = 2 Е ~, АА = 2 '.), ~, 1 — «, 1 «тн=ь «,я=1 1,„~ВгВй а:аг зд=з 1«,ь=з 2,' а„Вз Б;а,>0, ,г=з х~, о Вз 2,' аьВьг Глиеа 2 Варьирование по силам Х; при 1 ( й отсутствует, поскольку эти силы поддерживаютсн постоянными в системе с помощью средств внешнего принуждения, Хы...,Хь = сопев Следовательно, если производство энтропии есть О=~~~ АХ;= ~~~ Г,Х;Х >О, то варьирование по силам с учетом Ьц = Ь1; дает дО ОХ, = 2~ Ь;,Х = 21; = 0 (1= 1+1,...,т).

1=1 Это означает, что в условиях с минимальным производством энтропии потоки 30 где 1 = й+ 1,..., т, сопри*кенные свободно изменяющимся силам, исчезают. Пгимлчаник. Доказательство принципа минимального производства энтропии, приведенное в решении задачи 38, было предложено Пригожиным для системы с одной фиксированной силой [4) и обобщено на случай й фиксированных сил де Гроотом [13].

В частном случае, когда в системе нет фиксированных сил., но условие еО = 0 выполннетсн, такой системой может быть лишь замкнутан равновесная система, где все потоки, а следовательно и производство энтропии, равны нулю. 39. Установить эквивалентность принципов Онзагера и Пригожина, используя формулировки принципов для непрерывных систем. 40. Показать, что состояние системы с минимальным производством энтропии соответствует стационарному состоянию и устойчиво. Доказательство провести на примере прерывных систем.

Рвшвнив. Длн доказательства справедливости первого утверждения о том, что состояние системы с минимальным производством энтропии совместимо с условиями стационарного состояния, введем набор параметров оь состонния открытой прерывной системы. Пусть, далее, поток аь, связанный с произвольным параметром аь, содержит внутреннюю 1ь = а'„и внешнюю ее" составляющие: тогда производ- ство энтропии в представлении потоков есть О = ~~1,1ьХь = ~1 й„,',1ь,11 = ~~~ 1„,'оЯ > О. 1,в=1 Минимум производства энтропии па отрезке времени 11 < 1 < 11 зыражаетсн вариационным условием Б ~Ог1т = П, 1, которое эквивалентно системе уравнений Лагранжа — Эйлера 1г дО дО д1 ддь дат Поскольку до = 2 ~ 1,„.~се~~ (й.= 1,2,...,гп), ддп дО деев го для определения потоков гхь = Ли имеет место система уравнений й„,~о'; = сопзсь (й = 1,2,...,гв), 1=1 решение которой есть а~в — — ~! в; сонат„= сопэтм По определению стационарного состояния системы справедливо ъь = сеть + се~~ — — О, СлеДовательно, а~в — — — о'„' = сопв1ь, т.е, внУтРенаие потоки д' постоянны и определяютси внешними потоками гаев на границе системы.