Журавлев В.А. Термодинамика необратимых процессов в задачах и решениях (Журавлев В.А. Термодинамика необратимых процессов в задачах и решениях.djvu), страница 7

=Ел (В=1 2,...,ьч)„ (2.' 2) дол дол где.К(б,6,1) .—. функция Лагранжа системы; ГГ -- тепловой потенциал (потенциальная энергия в механике); Ф потенциал рассеяния в представлении потоков (диссипативная функция в механике); Еь— термическая (внешнян в механикс) сила, определнемая методом виртуальной работы. Уравнения (2.32) имеют такой же вид, как и уравнения Лагранжа в механике, описывающие медленное движение диссипативной системы, когда силами инерции можно пренебречь.

Используя (2.32), Био поставил и решил ряд конкретных задач переноса энергии в открытых непрерывных термодинамических системах (8). Основнан особенность его подхода применительно к задачам теплопереноса связана с введением некоторого векторного поля Н(г,1), названного им тепловым смешением и являющегося функцией пространственных координат т(гд ), где 3 = 1, 2, 3, и времени Е Введение этого поля обусловлено выбором вектора плотности теплового потока в виде Н = ( Й Л1.

Предпосылки подобного выбора базируются на законе сохранения внутренней энергии (1.5) в редуцированной форме рмТ = — ~7 Н. В представлении поля Н(г,1) уравнения Лагранжа (2.32) записаны Бно в следующем виде: мрТбТЛ" + — 1 Н ° бНдЪ' = / ТбН й11, (2.33) 1 Р л,/ где тепловой потенциал, потенциал рассеяния и термическая сила суть 1/ „Т2Д, дН Гь = — ~Тп ° г(й (й = 1,2,...,гп); — 2л ( (2.34) х,р — теплоемкость и плотность среды; А — изотропная теплопроводностгц Т вЂ” избыточная по отношению к равновесной температура; $', Й вЂ” объем и поверхность среды: гг — единичная нормаль к поверхности. Как следствие использованного лагранжева формализма Био обнаружил, что уравнения Лагранжа (2.32) зквивалентны некоторому принципу /БЖ вЂ” УХ ) бй = О, дол (2.35) Ф вЂ” ~Хьсгь = ппп (к = 1.2,...ыв).

(2.36) Хьаь = сопа1. Е который он назвал принципом минимальной диссипации. Этот прин- цип можно получить, минимизируя потенциал рассеяния Ф по скорос- тям аь при условии, что мощность сил, обусловливающих неравновес- ное состояние системы, задана: 1лаеа з дФ ах+~ . Ма=О., дол (2.37) где Ы= Еь;„— СГ функция Лагранжа; Еы„= О; 17 = ЬЯ энтропия системы; бИ" = 2.

Л вЂ” 511ь — виртуальная работа диссипативда ,=1 ОЬ ных сил; ожгла =,71 — обобщенные параметры состояния системы и потоки. Поскольку длЯ б(ЬЯ) = ~1 Ма = ~~1 ХаМа, дол Ь=1 Ь=1 то принцип (2.37) можно записать в следующей альтернативной фор- ме: (2.38) где Хь = ~-~ — ) — термодинамическая сила, — "дЬЯ" дол ~ Легко видеть, что форма (2.38) эквивалентна линейным законам и соотношениям Онзагера. Бахаревой было показано, что общий принцип (2.38) путем аналитических преобразований может быть сведен к любой из приведен- Уравнения Лагранжа в виде (2.32) непосредственно следуют из условия (2.35), если множитель Лагранжа определить как Л' = 1 и учесть произвольность вариаций Ыь.

Сравнение структуры вариационных формулировок Онзагера (2.13), Циглера (2.28), Био (2.35) показывает их эквивалентност1м что было отмечено Циглером [11). Соответствующий анализ, направленный на построение общей вариационной формулировки линейной термодинамики, был проведен Бахаревой на основе аналогий с лагранжевой формой аналитической механики диссипативных систем [10). В результате была установлена принципиальнан эквивалентность всех приведенных условий — (2.13), (2.15), (2.16), (2.25), (2.27), (2.28), (2.35) — одному общему вариационному принципу, дифференциальная форма которого в случае скалярных процессов имеет вид Мый Линепные гапоны.

Соотношения Онзагера. Принцип Кюри 47 ных вариационных формулировок линейной термодинамики. Характер этих преобразований аналогичен классическому методу перехода от принципа Даламбера к принципу наименьшего принуждения Гаусса в механике. Таким образом. приведенные вариапионные формулировки линейной термодинамики эквивалентны и в основе их лежит вариационнан форма (2.38). Однако цри решении конкретных задач использование того или иного вариационного принципа может оказаться предпочтительным. 2.1. Линейные законы. Соотношения Онзагера.

Принцип Кюри 26. Пусть Я(оыге~...,.,гз„) энтропия изолированной системы при заданных значениях параметров о;; тогда длн процессов эволюционного типа характерны уравнения вида Оеезе = д; = — 2 Ь го пз где он = х Ь; (ОЯ)Оо,) = ~Ь'; Хз(т,1,з = 1,2,...,я), Х. = дЯ(Огез. .з з — термодинамическая сила. Если Атз = х~, ЬпнЬ,', то эволюционное уравнение принимает форму )з = д, = — 2 Л; Хт. Доказать для этого частного типа процессов (скалярные процессы) соотношения Онзагера Ат = Ц, используя принцип микроскопической обратимости и соответствие рассматриваемой системы микроканоническому ансамблю.

Ркшкник. Для доказательства соотношений Онзагсра, основанного на методах статистической физики, эволзоционные уравнения представляются в разностной форме и умножаются на один из параметров состояния ое(1 + т) — ег (1) т оь Т'ею он Хт т где т — интервал времени между двумя наблюдениями параметра ао Левая часть этого уравнения усредняется по временному ансамблю одной системы на достаточно большом промежутке времени. Одновременно, допуская микроканоническое распределение по микросостоя- 48 Глава 2 ниям, можно провести усреднение правой части уравнения по всему микроканоничсскому ансамблю системы дЯ 1чш ы(оп ° ~ Оп)оь о Ась Аоп В соответствии с больцмановским определением энтропии веронтность микросостояния системы есть ы(аы..., а„) А ехр(о(а~.....,а„)/йв), где А = сопз1, и, следовательно, ехр('ч(о1 ' ' ' оп)/ьв Оь(дя/дат)лог дао = — ЙвАоь ехр(Я(аы..., а„)//св) ~ »' + Г дал +КвА/, ехр(Я(аы...,о„)/кв)йо~...Аа„= йвбь /В Здесь учтено условие нормировки функции распределения ы(аы..., а„) дог...

Аа„= 1 и обращение в нуль проинтегрированной части, поскольку известно, что большие отклонения системы от состояния равновесия маловероятны, и поэтому ехр(Я(оы..., а„)/1в) — > 0 при ен — ~ оо (1 = 1, 2,... г в). Таким образом оказывается, что 1 — (оь(1)си(1+ т) — оь(1)еи(1))~ = ~(свйь бь = (гв1зь. т Если провести замену индексов к — ~ 1, то легко установить, что 1 — (ои(С)аь(С+ т) — ои(1)оь(1)Ь = йв1ы. т йы. Линепнисе заноны. Соотношении Онзагера.

Принцип Кюри 49 и разность последних двух выражений есть 1 — (ое(!)Ос(!+ т) — ос(!)оь(!+ т))с = йв(! сл — ! м). В соответствии с принципом «микроскопической обратимости» (замена знака т — > — т) длн временных корреляций параметра ос справедливо (ос(с+ т)оь(!))с — — (ос(! — т)оь(!))с, Одновременная замена в правой части этого равенства переменных ! — т — с ! не влияет на результат усреднения по большому промежутку времени, и, следовательно, (ос(! — т)оь(!))с = (ос(!)оь(1+ т))с. Окладыван два последних выражения, легко найти необходимое условие (ос(!+ т)ое(!))с = (ос(!)оь(!+ т))с, доказывающее соотношения Опзагера Примвчлнив. Все известные доказательства соотношений Онзагера для скалярньсх, векторных и тензорных процессов базируются на принципе ссмикроскопической обратимостиз, обоснование которого лежит в теории флуктуаций.

Вместе с тем для формулировки соотношений Онзагера необходимы только макроскопические понятия, и существует проблема их чисто феноменологического вывода, решение которой в настоящее время отсутствует [бс 9]. 27. Доказать соотношения взаимности Онзагера для систем, находящихся во внешнем магнитном поле: Егл(Н) = Аьс( — Н), где Н-- вектор напряженности поля. Глава Ь' Уклзлник. Воспользоваться принципом «микроскопической обратимости». обобщенным на случай действия псевдовекторных полей л»: ~-««+ )-.«»~" = ~-««--)-.«д~-": 28. Показать, что соотношении взаимности Онзагера Гь = Г ь являютсн частным случаем более общих соотношений вида дГ, дУ, дХ» дХ.

29. Производство энтропии в системе определено билинейной формой обобщенных сил Хь и потоков,У»: б = ~~', 1»Хл > О. ь=» а линейные законы Онзагера сформулированы в виде Л» = ~~~ й»,Х, «« = 1,2,...,т); у=» тогда при условии, что как силы, так и потоки образуют системы независимых переменных, справедливы соотношения взаимности Онзагера Аь» = Ць. Показать, что зти соотношения сохраняютсн при наличии линейной зависимости между потоками 2' Ь»1» = О, где Ьь козффици»=1 енты.

Ь Рвшкнин. Если Ь«а ф О, то,7 = — ~ .ЬЗ-,Гь и производство ь ~ ш знтропии трансформируетсн к виду «а — 1 Ь» « = К та (.-, — — „,) р «. Ь ь=» е.з. Линейнеге законы. Соотношения Онзагера. Принцип Кюри 51 В этом представлении для 0 термодинамические силы и потоки образуют независимые системы переменных, и могут быть сформулированы независимые линейные законы Онзагера в форме Ь: Х,' = — Хз — — зХ (й = 1, 2,..., зп — 1), 3 где коэффициенты А'„1 удовлетворяют соотношениям взаимности йьз. —— йзл (й,у = 1,2,...,т — 1). Сравнивая эти линейные законы с законами Ль = ~~г йьзХ, (й = 1,2з...,т) з=з ог и учитывая 2, 'Ьа,Уа = (), нетрудно установить связи между обоими ь=з множествами феноменологических коэффициентов: 1ьз —— 1Уьа (й,у =1,2з...,пг — Ц, (й = 1,2,...,т — 1), Поскольку для коэффициентов А~~р справедливы соотношения взаимности Онзагера, то из последних выражений следует искомый ре- зультат Аа„, = А„,ь (й, з = 1,2,...,зп — 1), 1ьх = 1,1„, т.

е. соотношении взаимности сохраняются и в условиях существова- ния в системс линейных связей между потоками. за — 1 ,зь = ~~ ЦЬХ', з=1 ег — 1 Ь з=з Ь ЬьЬз ".'~4: — ПЪ м — 1 з=з Ь 32 Глава з 30. Неравповесная система характеризуется производством энтропии вида В = АХг + 1зХз 3 О. Формулируя линейные законы Онзагсра А = АпХг + 1гзлз, А = ЬзгХг + АззХз и считая потоки образующими линейные связи 1> + 1з = О, показать, что для этих условий сохраняется справедливость соотношений Онзагера Агз = Азы Уклзлнин. Воспользоваться результатами решения задачи 29. 31. Доказать в рамках задачи 30 справедливость соотношений Онзагера Х . = Л, для системы, содержащей линейно зависимые 2 силы 2 Хь = 0 и независимыс потоки.