Радушкевич Л.В. Курс термодинамики (Радушкевич Л.В. Курс термодинамики.djvu), страница 16

Формулировка второго начала, приведенная выше, недостаточна, так как сущность этого закона остается скрытой и необходимо дать ему более полное выражение. Постулат Клаузиуса, очевидный как обобщение повседневного опыта, требует теоретического обоснования. 5 4. ОБОБЩЕНИЕ ОБРАТИМЫХ ЦИКЛОВ. ОТКРЫТИЕ ЭНТРОПИИ КАК ФУНКЦИИ СОСТОЯНИЯ Вернемся к циклу Карно для дальнейшего развития полученных результатов.

Продолжаем пока рассматривать только одни обратимые циклы. В обратимой машине Карно рабочим телом до сих пор являлся идеальный газ, однако можно показать, что это не является обязательным. Пользуясь вторым началом в формулировке Клаузиуса, можно доказать принципиально важное положение, известное как теорема Карно — Клаузиуса: коэффиииент полезного действия обратимой машины Карно не зависит от рода посредствующего тела, совершающего работу в этой машине. Для доказательства представим себе две обратимые машины Карно, работающие в системе с одним и тем же нагревателем и одним и тем же холодильником; температуры последних соответственно равны Т, и Ть Пусть в первой машине (1) работающим веществом является идеальный газ, а во второй (2) какое-либо другое вещество. Можно разными способами показать, что к. п.

д. обеих машин не могут отличаться друг от друга. Допустим, например, что полезные работы, да- б 4. Обобщение обротимых процессов 77 ваемые обеими машинами, одинаковы, но к. п. д. различаются потому, что количества отданного и полученного тепла у них различны. Следовательно, допустим Я; — Я; = Я; — Я", причем Яг > Яг. Отсюда видно, что должно быть Я1'>Яго и, значит, т1'(т1". Докажем, что это невозможно. Превратим машину 1 в обратную машину Карно; мы знаем, что от этого превращения величина ее к. п. д.

останется без изменения. В результате действия обеих машин теперь будет получен следующий итог: 1) полезная работа машины 2 полностью будет скомпенсирована в машине 1, где это будет работа по сжатию (согласно нашему первому допущению); 2) так как Я;>Я~", то нагреватель теперь получит тепла Я'~) больше, чем отдаст Я,н); 3) так как Яг'>г,гг", то охладитель отдаст тепла Яг ) больше, чем получает (Яго). Общий итог сводится к тому, что в системе должен произойти переход некоторого количества теплоты от холодного тела (охладителя) к более нагретому (нагревателю), причем этот переход (отрнцательный процесс) не компенсируется никаким положительным процессом.

Согласно второму началу термодинамики этого не может быть и, значит, т1'=т)". Теорему можно доказать, исходя также из допущения одинаковых получаемых теплот в первой и второй машинах при различных полезных работах. Таким образом, к. п. д..обратимой машины Карно всегда выражается соотношением (3,1), независимо от рода работающего вещества, что дает нам возможность рассматривать эту формулу как общее соотношение, относящееся ко всем веществам, а не только к идеальному газу. Общее значение выражения (3,1) видно также из того, что при выводе сократились множители, характеризующие свойства идеального газа, и поэтому к.

п. д. машины Карно не должен зависеть от природы работающего вещества. Заметим, что при этом агрегатное состояние вещества не имеет значения и цикл Карно может быть проведен как с твердым, так и жидким телом. Продолжая дальнейшие обобщения, можно отвлечься ог образа какой-то машины и говорить просто о циклах, подразумевая под циклом замкнутый процесс, в котором вещество по окончании цикла возвращается в начальное состояние и происходит обмен теплом между двумя телами — нагретым и холодным.

Обращение к циклическим процессам при решении задач термодинамики часто оказывалось весьма полезным, так что со временем превратилось в так называемый метод цикл о в, применение которого будет рассмотрено позднее, 78 Глава 3. Второе начало термодинамики Энтропия и ее свойства Из формулы (3,1) для простейшего цикла Карно т,— те 71 т, при сравнении с формулой (3,2) следует (3,3), т. е. т,— т 1'„1 — а Т, = Я, отсюда получаем: 1се т, т (3,4) У е1о 16' — — (з,б) 1чнс.

1* Величину — иногда называют приведенной теплотой, 9 Т относя ее к тому или иному телу. Заметим, что из (3,4) следует равенство приведенных теплот нагревателя и холодильника в машине Карно. Можно показать, что простейший цикл Карно можно всегда разбить на два или больше циклов промежуточными адиабатами (рис.

!4). Такое деление цикла является законным потому, что эти промежуточные адиабаты проходятся в противоположных направлениях и оба процесса по такой адиабате взаимно полностью компенсируются. Разобьем цикл Карно на два цикла с помощью адиабаты ав (см. рис. 14). Тогда теплбты Я~ и Яе разделяются на части: Я,=Я;+Я;, Я, = Я,'+ Я,".

Рассмотрев порознь каждый из образованных циклов, получим опять равенство приведенных теплот согласно (3, 4): Р ~ ~! 'ч2 Я т и ч а 1с~ ~3~ т, т, ' Сложив эти равенства, находим: Я~ Я~ <~р 8 — + — = — +— Ф'т т, т, т, ' и и вообще при разделении на неЯ~ г сколько циклов подобным же образом: 79 б 4. Обобщение обратимых ироцессов м ожно применить обратный прием, образуя общий цикл из нескольких циклов, и тогда для составного цикла вновь получим формулу (3,5).

Очевидно, вполне допустимо составление разных циклов Карно, где участвуют нагреватели и холодильники с различными температурами в разных циклах. В этом случае составление ведется по адиабатам (рис. 15). Обобщая выражение (3,5) на п циклов, находим при этом Х',~"„' = Х вЂ”;,",,' (3,6) где индекс 1 относится к разным циклам от 1 до и. Наряду с циклами, где происходит передача конечных количеств тепла сы С7~ и ггг, можно представить себе так называемые элементарные циклы, в которых в пределе передаются бескотемпе ат Т печно малые количества тепла с(Я~ и с((4г пРи конечной г ечной разности б температур ~ и Тг.

На диаграмме такие циклы изображаю ся есконечно узкими искривленными вытянутыми лентами с бес- тся конечно малыми отрезками изотерм. Для такого ик ранее, аа аЬ Тг т, ' Наконец, пользуясь возможностью разбиения циклов на части и вводя элементарные циклы Карно, можно любой обратимый цикл разбить на большое количество узких элементарных цикэто лов Карно, соприкасающихся по адиабатам (р . 16). П м отрезки адиабат, лежащие внутри контура, проходятся ком каждый в противоположных направлениях и процессы взаи пенсируются.

Некоторая ошибка получается вследствие за- взаимно мены непрерывного контура ступенчатыми изотермами сверху и снизу, а также нескомпенсированными отрезками адиабат, Р Р Рис. 15~ Рис. 16. ВО Глава 3. Второе начала термодинамики, Энтроаив и ев своаства прилегающих к контуру. Однако при переходе к пределу, когда с(Я~о и Ж~<'> стремятся к нулю, эта ошибка может быть сделана сколь угодно малой. Каждому элементарному циклу здесь соответствуют свои температуры Т1о и Тги1, так как линия контура вообще не представляет собой изотермы. На основании этих рассуждений выражение (3, б) для конечного числа элементарных циклов (3,8) переходит в пределе в соотношение (ЗтЛ Следующим шагом на пути обобщений является переход от представлений передачи тепла от нагревателей и холодильников к более общему случаю, когда для контура на одинаковых правах рассматриваются положительные и отрицательные приведенные теплоты.

Выражение (3, 7) можно представить в форме; Знак минус перед вторым интегралом можно отнести к теплотам с(Яь считая их отрицательными, и рассматривать выра- дЯ жение (3,8) как алгебраическую сумму — при переменных Т с(Я и Т. Так как эта сумма относится ко всему контуру, то можно написать из (3,8): ф — = О. (3,9) Выражение (3,8) или (3,9) представляет собой так называемый интеграл Клаузиуса для любого обратимого цикла. Мы пришли, следовательно, к заклю- Р чению, что интеграл приведенных С теплот для любого обратимого цикла для всех веществ равен нулю.

Это положение можно расд сматривать как частную математическую формулировку второго начала. Из соотношения (3,9) следует, что ~ — не зависит от формы аЕ д' Т Рнс. 17. пути, т, е. от вида процесса. б 4. Обобщение обритимык процессов 81 В самом деле, при изменении состояния от А до В (рис. 17) по пути АСВ имеем лвс тогда как при движении из А в В по пути Ас)В имеем лйв ввл и согласно (3,9) Г б0 Г АО Г АΠ— + ) — = О, откуда т ) т т 3 т АСВ ВВА АСВ АОВ Так как интеграл по замкнутому контуру от — равен нулю Т и вследствие того, что изменение этой величины не зависит от формы пути, то мы приходим к выводу фундаментального знаб47 чения, а именно, что бесконечно малая величина — есть пол- Т ный дифференциал некоторой функции параметров состояния: сБ = —.

б0 Т (3,10) Эта функция состояния 5 называется э н т р о п и е й. Из (3,10) следует общее выражение для энтропии: В = 34 — + сопз1, Г й47 т где константа является неопределенной постоянной интегрирования. Отсюда следует новая математическая формулировка второго начала: величина дВ = — есть полный дифференЫ41 Т циал. Этим определением устанавливается существование энтропии как функции состояния. $ $. ЭНТРОПИЯ И ЕЕ СВОЙСТВА.

ЭНТРОПИЯ ИДЕАЛЬНОГО ГАЗА. ПРИНЦИП КАРАТЕОДОРИ Последовательные обобщения обратимых циклов привели к открытию новой физической величины, называемой энтропией, играющей важную роль в термодинамике. Физический смысл энтропии является достаточно сложным, и он раскрывается сначала в термодинамике и далее в статистической физике. В физике наряду с понятиями, представляющимися для всех 4 Заказ м 24тв З2 Глава 3. Второе начало термодинамики, Энтровин и ее свойства простыми, благодаря тому что они опираются на повседневный жизненный опыт, встречаются понятия, не имеющие аналогов в повседневности, и освоение их представляет большие трудности. К понятиям такого рода относится, например, потенциал, а также энтропия. Вначале мы узнаем, что энтропия представляет собой функцию параметров состояния, Если последние даны, то принципиально энтропия всегда может быть вычислена, причем неопределенная константа энтропии может быть условно положена равной нулю.