Чемоданов. Математические основы теории автоматического регулирования. Том 2

МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ теории автоматического регулирования Том П Под редакцией профессора Б. К. Чемоданова Иэдание второе, дополненное Допущено Министерством высшего и среднего специального образования СССР в качестве учебного пособия для студентов высших техничесаих учебных наведений ел'" "" чга. МОСКВА в ВЫСШАЯ ШКОЛА» гйг7 Часть четвертая СПЕКТРАЛЬНЫЙ АНАЛИЗ И, ЕГО ПРИЛОЖЕНИЯ К ЗАДАЧАМ АВТОМАТИЧЕСКОГО РЕГУЛИРОВАНИЯ Глава Х! РЯДЫ И ИНТЕГРАЛ ФУРЬЕ й 34.

РЯДЫ ФУРЪЕ 1. Гармонический анализ. В теории и практике автоматического регулирования часто встречаются процессы, которые могут рассматриваться как периодические. Функция Г(Г) называется периодической функцией, если при некотором постоянном числе Т'= О выполняется равенство 1(г) =1(~+лТ), ~(~)сЫ= ~ ((Огй (2) при любых а и Ь. Действительно, пусть, например, О(а(Т, О(Ь(Т, тогда в+т т в+т ~(г)си=)1(~)лл+ ) г(1)йй пусть 1=т4~т. найдем и л т а+т в в в ~ ((1) й Г)Г(т+Т) цт )((т) ат ~~(г) о(, где Т вЂ” период функции; и-любое целое число, положительное или отрицательное, а аргумент 1 принимает значения из области определения этой функции. Периодическая функция ~(О с периодом Т обладает свойством, состоящим в том, что интеграл от этой функции, взятый иа интервале длиной Т, не.

изменяется при изменении пределов интегрирования при условии, что длина интервала интегрирования остается равной Т, т. е. Гсп рь имеем т а т а+ Т 1 1(() 4=рюа+11Р)а=1п()а. а а о О / Аналогично получим ь+т т ~ ~(()а=г)~да. в о Сравнивая правые и левые части полученных равенств, убеждаемся в 'справедливости равенства (2). Рис. 89 Косинусоидальный (или синусоидальный) гармонический колебательиый процесс )'(() =А сов (ьи' — ср) является примером простейшей периодической функции (рис. 89, а). Эта функция называется гармоникой с амплитудой А, угловой частотой в и начальной 4 атой ~р.

Нетрудно убедиться, что гармоника имеет период Т= — „. 2и В самом деле, А сох~«в(1-(-и ~ ) — «р~ = А соз((«з( — Ч)+2пп)=А соз(«в(-«?), ~(()=,)', А«,соз(АЛЬ вЂ” «рь). э=! (3) Общий член ряда (3) Аь соз (йЛ«в — «р~) называется «г-й гармоникой, частота л-й гармоники равна ЙЛ«в, т.

е. кратна частоте первой гармоники Л«». Сделанные выше суждения об образовании периодической функции теперь подводят к следующим обратным вопросам. Всякую ли заданную периодическую функцию ~ (г) можно представить в виде суммы гармонических составляющих, т. е. произвести ее тригонометрическое разложение? Если функцию ~ Щ возможно разложить на гармоники, то как найти неизвестные параметры каждой из этих гармоник? Ниже показано, что периодические функции, принадлежащие весьма обширному классу функций, могут быть т. е. равенство (1) выполняется.

Сложение гармоник ~«(1) = А, соз («в~ — «р«), ~э (1) = А, соз (2«в«в — «рд «з (1) = Аа соз (3«в« — «р,) с различными частотами э«, 2«в, 3«в, кратными наименьшей из них «з, приводит к образованию перио- 2«« дической функции с периодом Т= —, равным периоду первой гармоники с,частотой «в. Эта функция отличается от гармоник 1«((), 6(~); 6(0. На рис. 89, б приведен график функции ~ (1) = сов(+ — соз 21+ + — сов ЗЛ Каждое из слагаемых функции характеризует коси- 1 нусоидальное колебание, однако график функции ~ (1) не является косинусоидой.

Еще более будет отличаться от косинусоиды график функции 1(«) = ~, Аь соз («г«о( — «р««), представляющий собой сумму ь=« бесконечного ряда. В результате суммирования членов ряда получаем периодическую функцию, причем ее период совпадает с периодом Т первой гармоники ряда. Частоты соседних гармоник отличаются друг от друга на величину «в. В дальнейшем приращение частоты при переходе от какой-либо гармоники с номером й к соседней гармонике с номером й+ 1 будем обозначать Л«в. Тогда частоту первой гармоники также 2«« следует обозначать Л«в, т. е.

Л«в = —, где Т вЂ” период функт' Ции 1(1). С учетом вновь введенного обозначения сумму бесконечного ряда можно записать в виде' представлены в виде суммы гармонических составляющих вида (3). Допуская существование «нулевой» гармоники А», функцию1 (1) с периодом Т можно записать в виде Если учесть, что А» соз (7«ЛЫ вЂ” «р») = А» сОз lйЫ сов <р»+ А» япй Лв1 з 1п <р», н ввести обозначения А»=в а« Я А» яп !р„=Ьы А» соз «р» = а», А» соз (ЬЛ«»1 — !р») = а» соз йр»»!1+ Ь» з1п М»!1 (6) и функцию (4) можно записать в более удобной форме: ~(Р)= з +,'~ (а»с йьы1+Ь»з! Ььыр).

(6) »-! Форма (6) записи тригонометрического разложения будет в дальнейшем широко использоваться. Периодическая функция 7(1), имеющая период Т, оказывается разложенной по косинусам и синусам углов, кратных углу Л«»1. зл 2л Если период функции 7(1) Т = 2п, то Л«» = — = — =1, тогда со ! (1)= ~в + ~, (а»созЫ+Ь»з!пЫ).

»=! (7) Пусть функция р(1) имеет период, равный 2п, и принадлежит к классу функций, для которого разложение (7) существует. Определим неизвестные постоянные козффициенты разложения (7) а», а», Ь» (7«=1, 2, ...). Предварительно отметим свойство семейства функций 1, совl, з(ой соз21, з«п21, ..., сов п7, япп1, ..., (8) состоящее в том, что интеграл, взятый от произведения любых двух функций етого семейства на интервале, имеющем длину 2п, равен нулю независимо от выбора нижнего предела ннтегрирова. ния -свойство ортогональносуи на интервале длииой 2п, ~ (1) = А»+ А! соз (ЛЫ вЂ” !р»)+ А» соз (2Л«»1 — !р»)+ ... ...

=А«+ У', А» соз (йЛы1 — <р»). (4) Действительно (с — любое действительное число), с+ 2л соз И б1 = — ~ = О, так как з(п (И+2п) = з(п Ас; Мп дд 1с+гл д ~с е с+ 2л аосИ 1с+ьь з)п И 211 = — ~ = О; л с с+ 2л с+ 2л соз И соз 11 211 = — ~ соз (й — 1) 122+ 1 с е с+ 2л + -1 1 сов (1+1) 1211 =0 2 е (Й чь 1); с+ 2л с+ 2л 21пИз(п11 211= — ~ соз(й — 1)1Ж— 1 2 с е Найдем коэффициент а,.

Предполагая, что ряд (7) является равномерно сходящимся, проинтегрируем этот ряд почленно от — и до +пи ~ ~(1)Ш= ~ — с(1+ ~ ~~) (адсозИ+бдз2пИ)Ш. л л — лд=ь Заменим интеграл от бесконечной суммы суммой интегралов от отдельных слагаемых (это возможно благодаря равномерной схо- димости ряда (7)), тогда ( ььь~с= и-г ~ .~, ььаеь,1 е,ись)-„, л д=ь1 — л л так как все интегралы под знаком суммы равны нулю иэ-за орто- гональности семейства функции (8), откуда "=-„' ~ 1(1)б1.

Определим коэффициенты ад и Ьд. Для этого умножим обе части равенства (7) на созл1, где и-целое положительное число, с+ 2л — — ~ соз(й+211Й=О (й~)); е е+ 2л с+ Вь с+ 2л здпИсоз112У вЂ” — жп(А — 1)1211+ — ~ 22п(1+1)1Ш=О. 1 Р 1 и проинтегрируем в прежних пределах ат — я до + го 7" (1) созп1г(1= ~ — сох а1Й+ со + ~;х', (а, соз л! соэ п(+ Ьь з(п я!' соз л0 !(1 = — с!ь ! сс со Л сс 2,1 ~а~-~ (о ! сс соос. ! о и оо~. сс ь=! 1 -сс сс 1(0 сох п( !((=а„~ сох'п( г((=а„гэ !((=па„. Г !+сов эс!Г Следовательно, ах= — ~)(г)созе(й (я=1, 2, 3, ...). (1()) Аналогично умножим слева и справа ряд (7) на э)пп(; после интегрирования в тех же пределах получим Ьь= — ~ ~(()з(пай (А=1, 2, 3, ...).

(11) Формулы (9) — (11) позволяют по заданной функции 7 (1) с периодом 2п найти коэффициенты разложения этой функции в тригонометрический ряд (7), называемый рядом Фурье. Коэффициенты аь и Ьь называются коэффи!!вантами Фурье. Если функция )(1) четная на интервале ( — и, и), то произведение 7(!) созе! представляет собой четную, а произведение 7 (!) э)пят' — нечетную функцию. В этом случае Ьь = 0 (й = 1, 2, 3, ...), а коэффициенты аэ и аь можно определять по формулам а,= — ~)(1) сУ, о аь = — ~ !' Я соз й! !1! (Й = 1, 2, 3, ...).

а (12) (13) Если функция 7(!) нечетная на интервале ( — и, и), то произведение 7 (1) соэ л! является нечетной, а произведение 7' (1) э!и Ы— четной функцией. Очевидно, что для такой функцииг(1) коэффи- Первое слагаемое правой части, а также все интегралы под знаком суммы, кроме одного при й=п, из-за ортогональности семей- ства (8) обращаются в ноль, т. е. циенты а,=О, а»=О(/г=1, 2, 3, ...), а коэффициент Ь» может бить определен по формуле Ь» = — ~ / (/) з(п А/ г// (А = 1, 2, 3, ...). (14) о В формулах (9) — (11) интегрирование производится на интервале ( — и, и). Однако результат интегрирования не изменится, если производить интегрирование на каком-либо другом интервале длиной 2п, например на интервале (О, 2п).

Зная коэффициенты а» и Ь», легко определить значения амплитуды и начальной фазы А-й гармоники: А» =)Га3+Ь», гр» = агс1д —. ь» а» Пример !. Разложить на сумму гармонических составляющих прямоугольную волну (рис. 90), определяемую функцией а при О~!(и, /(!) = — а при и(! ~ 2п. Предполагая, что заданная функция допускает ее рааложение в ряд Фурье, определим коэффициенты разложения аз, а„, А». Так как функция /(!) нечег- Рис. 90 ная, то аз — — О, а»=0(А=1„2, 3, ...), Определим коэффициент А», применяя формулу (14): 2 Г, 2а !и 2а А»= — 3! аз!пйгб/= — 1 — пей!)~ = — 1 — соз»п-1-Ц= и нА (о нА о 2а ( 0 при А четном, — (1 — ( — Ц»! =( 4а пА ( — при А нечетном.

нА Следовательно, ряд Фурье, представляющий собой разложение прямоугольной волны на сумму бесконечного числа гармоник, в соответствии с формулой (6) имеет вид /(!)= — ~а1п!+ — мп 3!+ — Мп б/+ ...1. 4а! 1 . ! 3 б 4а Амплитуда первой гармоники (рис. 90) Аг= —, ее чистоте Лы=! 1/с; вмплни' 4 а туда второй гармоники равна нулю; вмплитудв третьей гармоники Аз=--.—, 3 и' ее частота ЗЛы=з 1/с и т. д.