Задачи И Упражнения По Дискретной Математике, Гаврилов, Сапоженко, страница 7

~ оы Оо). 1.26. Пусть Й - — формула над множеством Я = 10, 1,. 1, 8с, Хг, 6«,, ~, — «). Формула Й* над тем же множеством Я называется двойственной (к) формуле Й, если она получается нз Й заменой каждого вхождения одного символа из пар (О, Ц, (ое, '«1), (Ф, ), (~, Ц на другой символ из той же пары. Ц Показать, что если функция 7 реализуется формулой Й над множеством Я, то двойственная ей функция 7* реализуется формулой Й' (доказательство провести двумя способами: а) непосредственно, используя индукцию по «сложности формулы», т.е.

по числу вхождений в нее символов из множества Я; б) г«рименяя принцип двойственности). 2) Показать, что если формулы Й и «В (над множеством Я) эквивалентны, то эквивалентны также формулы Й* и я«*. 1.27. С использованием принципа двойственности построить формулу, рсализуюьцую функцию, двойственную к функдии 7, и убедиться в том, что полученная формула эквивалентна формуле Й; Ц 1 =х 1Хгд «зН 0)ЧУ.д з, Й=х (д~Вз); 2) ~ = (х 4 д) б« Их ~ д) 4 (х д х)), Й = х д 'у х . у Ч у з; 3) 7=(хЧд 7(д зегЦ)).з, Й=хЧдхсз; 4) 7"=х д уд с Уд з, Й=х д яЧуу з; 5) 7 = цх -« д) Хс з) (д з -« (х йз у з)), Й = (х 6« д) з; 6) 7 = (цх ' д 7 (д. з - Ц) Е Ц вЂ” «О) ~ д, Й = х з Хг д; 7) 7 = (х д д Хс з) †« (х д (х 6« д з)), Й = (х з) .

у; 8) ~=х.дХ«д ХХсз.1, Й=х зчгз дХгд 9)~=(х«/доз) гаях д з, Й=(х~дЧз) Рух.д з, 10) 7 = (х (д ХЧО) (1.1«гх.у)) Чд.1, Й = (хМ (з«91)) .д. д 1. Функции алгебры логики. Операция суперпозиции 5. Фиктивные и существенные переменные. Отождествление переменных у булевых функций. Переменная х1 (1 < 1 < и) фуНКцнн У(Х1 ., Хг 1,ХОХ,Л1г ..., Хв) НаЗЫВаЕтСя Сущгоглогииай, если можно указать такие наборы Н и,З, соседние по 1-й компоНвптв (т. Е. О = (О1, ..., а, 1, О, 11,41...., Нн) И 43 = (О1, ..., Ог 1, 1, Ц,Е1, ..., Цв)), ЧтО 1(Н) ~ 1(42). В ПРОТИВНОМ СЛУЧаЕ ПЕРЕМЕННаЯ Х, называется фиктивной (или несущественной) перемонной функ- ЦИИ 1(Х1г ..., Х; .1, ХО Хгиъз, ..., Х„).

ДВЕ ФУНКЦИИ ) (Хйв) И д(У ) Называются равными, если множества их существенных переменных совпадают и на любых двух наборах Н" и 1)гл, различающихся, быть может, только значениями несущественных переменных, значения функций одинаковы: 1(йл) = д(9 ). Если 1(хн) и д(у ) равные функции, то одну из них можно получить из другой путем добавления и4гили изъятия фиктивных переменных. Пусть 1 < 11 < 12 « ... 11„.

< п. Говорят, что функция ус(х1, ... Хгг — 1 Х Хгг41 ° ° Хгг — 1г Хгг41, ..., Хгг — 1г Хм41, ..., Хл) ПОЛУЧС- на из фУнкЦии 1(ха) пУпмм опсоокдвспсвлснин пеРеменных хг.. х„, ..., хгю если гр является результатом подстановки переменной х в функцию 1 на места переменных х„, х;,, ..., х;„. В качестве х можно взять любую переменную, нс входящую в множество ХггЦхо, Хгг ). Пример 13. Перечислить все существенные и фиктивные переменные функции 1(х~) = (1100001111000011). Решение.

Сравнивая значения функции на всех парах наборов, СОСЕДНИХ ПО ПЕРЕМЕННОЙ Х4г ВИДИМ, ЧтО г'(О, О, О, 0) = 1(Ог О, Ог 1) = 1(0, 1, 1, 0) = 1(0, 1, 1г1) = = 1(1, О, О, 0) = 1(1, О, О, 1) = 1(1, 1, 1, 0) = 1 (1, 1, 1, 1) = 1, 1(Ог О, 1, 0) = г"(О, О, 1г 1) = 1(0, 1, О, 0) = 1(0, 1, О, 1) = = )'(1, О, 1, 0) = 1(1, О, 1, 1) = 4"(1, 1г О, 0) = 1(1, 1, О, 1) = О, т.е. 1(х1, хз, хз, 0) = У(Х1, хз, хз, 1). Следовательно, переменная Х4 фиктивная.

Далее, так как 1(0, О, О, 0) = 1, а 2"(О, О, 1, 0) = 0 и 1(0, 1, О, 0) = О, то переменные хз и хз существенные. Наконец, принимая во внимание соотношения 1(0, хзг хз, х4) = (11000011) = = Г"(1, хз, хз, т4), заключаем, что переменная х1 фиктивная. Итак, у функции )(х~) переменные х1 и х4 фиктивные, а переменные хз и хз существенные. (Нетрудно убедиться в том, что 2'(хл) = хз хз.) Пример 1г1. Перечислить все фиктивные и существенные пере- МЕННЫС фупяцнн 2'(Х ) = ((Хзхз гг ХЗ) (Х1Х4 'и'Х2ХЗ)) — ~ (((Хз 9 9Х4) г Хз) ~ (Х1 ' (Хз 1 (13 9Х4)))).

Решение. Для решения данной задачи можно действовать так же, как при решении прсдыдущей, т.е. сравнивать значения функции на парах соседних наборов, чтобы выяснить, совпадают или нет соответствующие подфункции функции 1(х~) (ибо переменная х, фиктивна тогда и только тогда, когда Д'(х ) = 11'(х~)). Однако при 3 Г. П. Гаврилов, А.

А. Сапожонка 34 Гл, 1. Способы задавил и свойапва фупкиий алгебры логики задании булевой функции в «аналитической форме» для выяснения того, какие переменные у нее существенные (а какие фиктивные), иногда бывает полезно преобразовать исходное выражение к некоторому специальному виду, например к совершенной диэъюнктивной нормальной форме или полиному Жегалкина (см. з 2, пп.

2 и 3). Оказывается, что переменная х, функции 1 (х") является фиктивной тогда и только тогда, когда; 1) в совершенной д.н. ф. этой функции вместе с каждой элементарной конъюнкцией вида х, ' К содержится и элементарная конънгнкция хо'К (см. задачу 2.16) или 2) в полиноме Жегалкина, реализующем эту функцию, переменная хг отсутствует. Для решения сформулированной задачи мы сначала преобразуем (с помощью основных эквивалентностей) исходное аналитическое задание функции 1(х~) к достаточно простой дизъюнктивной нормальной форме (см. э 2,п. 2), а затем, подставляя на места соответствующих переменных 0 и 1, получим нужные нам подфункции функции 1'(ха) и сравним их между собой. Сначала воспользуемся эквивалентностями х — 4 у = х Ч у, х = х, х у=хегу и х~гу=хЧу1.

Получаем г (Х ) = ((2'1Х2 Ч УЗ) 1Э (Х1У4 Ч Х2ХЗ)) Ч (хг 9 хл) Ч хз Ч х1 Хг Ч (хз чг Х4)) ° Далее применяем эквивалентности хбзу=хуЧйу, хЧу=х р, хсоу=х у=хуЧху, х.у =йЧу, х = х, хц1у = хиз уВ1 = х111у = хуЧху. Это приводит нас к такому соотношенинх 1(х ) = (хгхг Ч хз)х124 Ч хгхз Ч хзхг Ч хз(хгх4 Ч хгхз) Ч Ч (хгхл Ч хгхл)хз Ч хг Ч хг(хзхл Ч хзхл). лак как Х1Х4 Ч Х2ХЗ = Х1Х4 ' У2ХЗ = (У1 Ч Т4) ' (Хг '1 Хз) и Х1хг Ч хз = хзхг хз = (Х1 Ч хг)хз, то из последнего выражения для 1(х 4) после раскрытия скобок получаем формулу х1хг 'Ч х1хгхз Ч х1хгхл Ч х1хгхзхл Ч х1хгхз Ч Ч Х1ХЗ Ч Х2ХЗХ4 Ч Хзхл Ч 21хзх4 Ч Хгхглз Ч хгхгхзх4 Ч Ч х2хз Ч Х2хзх4 Ч х2хзтл х1 Ч 22хзх4 Ч х2хзх4. С помощью правила поглощения йЧй121 = й эта формула можот быть преобразована к следующему виду: х1 Ч хзх4 Ч 2:гхз Ч хгхзх4 Ч хгхзхл Ч хгхзх4. С использованием эквивалентностей х Ч х = 1 и х 1 = х получаем г (Х ) = Х1 Ч ХЗХ4 Ч Х2ХЗ Ч Х1ХЗХ4 Х2ХЗ(Х4 Х4) = х1 Ч хзх4 Ч х1хзх4 Ч хз(х2 Ч х2) = х1 Ч хзх4 Ч х1узх4 Ч хз.

у 1. Функции алгебры логики. Операция суиериаэиции 35 Наконец, применяя еще раз правило поглощения и эквивалентность ХУЧХ =УЧу, имеем 1(х ) =Х1 ЧхзЧХ4. Отсюда сразу следует, что переменная хг фиктивная. Далее, так как 1(0, О, 1, Ц = О, а 2'(1, О, 1, 0) = г'(О, О, О., Ц = 2'(О, О, 1, 0) = 1, то остальные три переменные у функции 1(х~) существенные. П р и м е р 15. Выяснить, можно ли, отождествляя и переименовывая переменные в функции ((х~) = (Х1 Чхг Чхз)У4Ч хгхгх4, получить функцию д1(Х1, хг) = х1 Ч хг или функцию дг(Х1, хг) = х1 ~ хг. Решение. Легко заметить, что у(0) = 1 и 4"(Ц = О.

Следовательно, всякая функция, которая получается из функции 1(х ) путем отождествления и переименования переменных, на нулевом наборе равна 1, а на единичном О. В то же время функция д1(х ) этому условик1 не удовлетворяет (д1(0, 0) = 0 и д1(1, Ц = Ц. Значит, функцию д1 из функции 1 описанным выше способом построить нельзя. Далее, хотя функция дг на 0 равна 1 и на 1 равна О, отсюда еще не следует, что ее можно получить из функции 1, отождествляя и переименовывая переменные. Чтобы выяснить, получается или нет указанным способом из функции 1 функция дг, можно, естественно, перебрать все возможности построения из функции 1 двуместных функций (с помощью отождествления н переименования переменных) и сравнить полученные функции с функцией дг. При этом нужно будет рассмотреть семь вариантов: Ц х1 = хг = хз = х, х4 = У; 2) хг=хг=хл=х, хз=у; 3) хг=хз=хл=х, хг=у; 4) хг= Хз Х4 х~ Х1 У '1) х! Х2 Х1 Хз Х4 У~ б) Х1 Хз хг х4 У 7) х1 х4 х хг хз У.

Такая процедура несколько утомительна. Можно поступить иначе. Предположим, что функцию дг указанным путем из функции 1 построить можно. Из соотношений дг(0, Ц = дг(1, 0) = 1 следует, что должна существовать пара противоположных наборов Й = (а1, аг, аз ал) и 14 = (о1, 412, аз, ол), на которых функция 1 обращается в 1, т.е. функция Зг(хг хг, хз, х4) = ((Х1; хг: хз, Х4) Йу(хг, хг, хз Х4) не должна быть равна О. Тот набор (любой), на котором функция уг(хл) равна 1 (если уг ф и: 0), и определит соответствующее отождествление переменных. Имеем з'(ХХ ) = ((Х1 Ч Х2 Хз)Х4 Ч Х1Х2Х4) ' ((Х1 1 Х2 Хз)Х4 Ч Х1112Х4) = хз хгх4(х1 Ч хг Ч хз) Ч хгхгх4(У1 Ч хг Ч хз) = Х1 хгх4 Ч хгхгх4.

Очевидно, что 42(х4) равна 1 только на наборах (1, 1, О, 0), (1, 1, 1, 0), (О, О, О., Ц и (О, О, 1, Ц. Взяв, например, набор (1, 1, О, 0), приходим к такому отождествлению; х1 = хг —— х и хз = х4 = у; оно дает 1(х, т, у, у) = (хЧ х Ч у)у Ч х ху = ху Ч уЧ Уу = ХЧ у = х ~ у. Набор (1, 1, 1, 0) дает отождествление Х1 — — хг = хз = х и хг = у и функцию 2(х, х, х, у) = (х Чх ЧУ) у Чх У у = у ЧУУ = х Чу = х ~ у. 36 Га. 1. Способы задания и свояапва у1упииий ааеебры аоеиии других отождествлений (с точностью до переименования переменных), дающих функцию дг, нет, итак, функцию дг(Х1, хг) из функции 1(х4) с помощью отождествления и переименования переменных получить можно, а именно дг(х1, хг) = 7'(х1, Х1, хг, хг) = 1 (Х1, Х1, У1, Х2). 1.28. Указать все фиктивные переменные функции 1: Ц 1(хз) (10101010). 2) Д(з з) (01100110 3) 1"(Уз) = (11110011) 4) 1(* 4) = (1011010110110101) ос) У(х4) = (010ШП010ПШ); 6) 7(х4) = (П00П0000П00П). 1.29.

Показать,. что у1 -- фиктивная переменная функции (реализовав для этой цели функцию 1 формулой, не содержащей явно переменную х1); 1) ~(хг) = (хг «х1) ' (У2 4 х2)~ 2) 1(х ) = (У1 х2) (' 1 ~ 2) 3)1(Х )=((Х11ЭУ2) «ХЗ)'Уз «Х2 4) ~(хз) = (х1 «ухг) — «х1 тз)) ' х1 + (х2 ' хз) 5) 1(х~) = (х1 «ухг . хз) (х1 — «хг . Хз)) .

(Хг 4 хз); 6) ~(х~) = ((Х1 «Ухг Ч хз) — «(х1 хг ~ хз)) 6« (х2 -+ х1) хз 7) 1(х ) = (Х1 Ф ((х2 «хз) — «ХЗИ х1 (х2 — «хз) ' х4 8) 1(х~) = (х1 ' хг Ч хз) хг «сх1 ' х4) «(Х1 «(хг «хз)) 0) 1(х ) = (х1хг Ч Узх4) ' (У1 чз х2 из хз) — «х4) Ю «1«(х«хг(хз — «ХЗЬ хзх4), 10) 1(х ) = ((Х1 ~ Х2) ф ((Х1 ф Х4) ~ (ХЗ ф Х4))) ~ (( 1.30. Перечислить существенные переменные следующих функций: 1) «(Х ) = ((Х1 «схг) + Х1 'Х2) чз (У1 « Х2) ' (Х2 « Х1):, 2) г (х ) = (х1 †« ((хг -+ х1) †« хг)) - (х1 «с хг); 3) Дх ') = (х, Е (х, -+ (х, - х,))) «?х, -« х.; 4) 1(ХУ~) = (Х1 хг 6З(х1 †« хг)) †« (Х1 Х1 хг); 5) 7(х~) = (х1 хг †« (х1 †« хг)) -« Х1 х ; 6) Пх ) = (Х1 †« хг .Хз) (хг †« Х1 хз)«1(У1 хг); 7) Д(х ) = ((х1 †« хг) 6« (хг †« хз)) 6«(хг †« хз); 8) з'(х~) = ((Х1 «Ухг хз) †« (хг -« Х1 хз)) †« (х1 «Ухз); 0) 1'(х ') = ((х 4 (х ~ ' з)) 4 ( ~ (х 4 хз))) 4 (х ~ хг); 10) 1(х ) = (х1 хг ег хз 'ХЗЬ ((Х1'хз хг) « Х4)«Ух1 хз.

1.31. 1) Показать, что если у функции 7'(хо) (и > 1) имеются фиктивные переменные, то она принимает значение 1 на четном числе наборов. 2) Выяснить, верно ли утверждение, обратное к 1). 3) Пусть функция Д(ха) такова, что ~ЗУ1~ = 2 (21 — 1), где т > 0 и 1 > 1. Каково максимально возможное число фиктивных переменных у этой функции? у д Функции алгебрег логики. Оиерацггя еуиериозиции 37 1.32. Пусть функция 7(хп) задана вектором оу = (оо, о«г... ..., ог- 1).

Локазать, что если хь . фиктивная переменная, то ОЛ = Огп-гю дпя ВСЕХ 1, удОВЛЕтнпряЮщИХ УСЛОВИЮ З. 2" 'Я+~ < 1 < < (2з+ 1) 2и "' — 1г где з = О, 1, ... 21 1 — 1. 1.33. С использованием результатов задач 1.31, 1) и 1.32 выяснить, какие переменные функции 1 являются существенными: 1) 7(х4) = (1001001100ПО010); 2) ((х~) = (01100П10П10110); 3) У(хл) = (ПООООПООППОО); 4) У(Х4) = (000100010ШОШ); 5) 1(ХС~) = (0011110000111100); 6) 1(х~) = (0001100101101по); 7) 1(х~) = (01101101101101П); 8) ((х~) = (000000011П1П10); О) ~(Х4) = (ОП101ШО101010). 1.34. Выяснить, при каких 11, (п > 2) функция ("(хгг) зависит существенно от всех своих переменных: 1) У'(х и) = (х, («х, «7... Ч *,) -« ИХ1 ггХ2) ' (Х2 ггХЗ) ' ° ' (Х вЂ” 1 гг Х ) ' Х ггХ1)); 2) 2 (Х ) = (Х!Х2 г' Х2ХЗ гг ° ° ° г' Хп — 1Хгг у ХиХ1) — «(х«хг (Э хзхз (Э...