В.М. Алексеев, В.М. Тихомиров, С.В. Фомин - Оптимальное управление (1979), страница 11
Описание файла
DJVU-файл из архива "В.М. Алексеев, В.М. Тихомиров, С.В. Фомин - Оптимальное управление (1979)", который расположен в категории "". Всё это находится в предмете "вариационное исчисление" из 7 семестр, которые можно найти в файловом архиве МГУ им. Ломоносова. Не смотря на прямую связь этого архива с МГУ им. Ломоносова, его также можно найти и в других разделах. .
Просмотр DJVU-файла онлайн
Распознанный текст из DJVU-файла, 11 - страница
Действительно, если бм вектор л х — лг' т~е! Уг > О, принадлежал Жз, то нвшлисьбы такие з~К, «ь! а!~0 н в!~С, что х= Я а!ть!. Но тогда точка 0 оказалась бы пРинадлежащей С, нбо вш точка могла бм бьп'ь представлена в виде выпуклой комбинации 3 мЛ!+ Х у! ! 'ч - - «! ге! о-л «,-* ~ч(', а!+;ь', уг точек из С. В) ПосколькУ ««т! открмто, нз доказанного в Б) следует, что ин одна нз точек йь! ие может принадлежать заммканнюЖз множества йь"з. (Отьштим, что Жз замкнуто и выпукло..
Почему«) Возьмем М произвольную точку из ЯГ«, например х,= — ~~, 'еп и найдем блю г=! жайшую к ней точку $«~4Т«. Такая точка существует, а именно, зто та нз точек компактного множества Л«ПВ(хе, (хе(), в которой непрерывная функция )(х) (х-хе! достигает своам мйнимумз.
Г) Проведем через $« гиперплоскость Н, перпендикулярную хо — $о, н покажем, что онз искомая, т е. что ОцЙ и множество С целиком лежит и одном из двух замкнутых полупрострзиств, ограниченных »той гиперплоскостью. Мыдокзжемдяжебольше, з именно, если Н вЂ” внутренность того из полупростронств, которое содержит точку хо, то Йд ььо=н. поскольку множество с ~ его, око целиком содержится в замкнутом полупростренстве, дополнительном к Й. предположим противное, и пусть втчнДьго.
тогда угол х~$Дт острый. Кроме того, [1«, 1т)~Же, поскольку йо выпукло. Опустим из хо не прямую ($о, $т) перпендикуляр (хо, $о) $«-ч(1«, $т) и покажем, что $« ие является блнжзйшей к хо точкой Жо. Действительно, точки 1«, 1, и 1« лежат не одной прямой и $«~Й (почемуг). Если $«ц[Ь $«),то воцЖо и [хо — $о[ < [хо — $о! (перпеидикулярменьше поклонной)'. Если же 1, лежит между $о и 1«, то [ хо — 1« ! < [ хо $« [(из двух поклонных тз меньше, основание которой лежит ближе косновзнню перпендикуляра) С другой стороны, Н проходит через точку О, ибо иначе луч, исходящий из О в нзпрзвлеиии точки 4« и целиком лежащий в оо (почему«), обязательно имел бы общие точки с Й. й 1.4.
Простейшая задача классического вариационного исчисления н ее обобщения 1.4.1. Уравнение Эйлера. Вскоре после работы И. Бернулли о брахистохроне стали появляться (и решаться) многие задачи того же типа. И. Бернулли поставил перед своим учеником Л. Эйлером проблему найти общий путь их решения.
В 1744 г. вышел труд Эйлера «Ме![тойцз 1пчепгепгП Ппеаз спгчаз шах[ш! ш!п!ш[че ргорпе1а!е йапг[еп1ез з[че зо1ц![о ргоЫеша1!з Ьорег[ше1г[с! !а![зз[шозепзц ассер1Ь, «Метод нахождения кривых линий, обладающих свойствами максимума или минимума, или решение изопериметрической задачи, взятой в самом широком смысле», в котором были заложены теоретические основы нового раздела математического анализа. В частности, аппроксимируя кривые ломаными, Эйлер вывел дифференциальное уравнение второго порядка, которому должны были удовлетворять экстремали. Впоследствии Лагранж назвал его уравнением Эйлера. В 1759 г. появляется первая работа Лагранжа и с ней новые методы исследования.
Лагранж «варьирует» кривую, подозреваемую на экстре'- мум, вЬ«деляет из прираигрний функционалов главные линейные части, которые называет вариациями, и пользуется тем, что в точке экстремума вариация должна обращаться- Ы в нуль, Метод Лагранжа становится впоследствии общрпринятым. Этим методом и мы выведем далее уравнение Эйлера. Отметим еще,.что носле работ Лагранжа по предложению Эйлера весь раздел математики, к которому применялся метод Лагранжа, стали называть вариационным исчислением. Перейдем к выводу уравнения Эйлера для простейшей злдачи классического вариационного исчисления.
В п.1.2.6 этим именем была названа экстремальная задача у (х( )) = ~ Е(Г, х, х) й( ех(г, х(Г,) = х„х((,)=хо (1) рассматриваемая в пространстве непрерывно дифференцируемых функций С'([(„г,]), — оо < Г, < г, < ьо. Пространство С'([1„1,1) является банаховым; т. е. полным нормированным, относительно нормы: ~!х( )1,=шах( шах !х(г) ~, шах 1х(г)~). ~е ВЧ гд тгц, ц1 Будем предполагать, что функция Ь (ее называют интегрантом или лагранжианом задачи) непрерывна по совокупности переменных вместе со своими частными производными Ь„ и Ь,. Теорема.
(Необходимое условие экстремума в простейшей задаче классического в а р и а ц и о к н о г о и с ч и с л е н и я.) Пусть функция х ( ) Е С' ([Г„(Д) доставляет локальный экстремум в задаче (1). Тогда она удовлетворяет уравнению — ~~ 1.З(1, х(Г), х(Г))+Е„(Г, х(Г), х(Г)) =О. (2) Уравнение (2) называется уравнением Эйлера. Допустимая функция х( ), для которой оно выполнено, называется стационарной точкой задачи (1) или вкстремалью. Таким образом, локальные экстремумы задачи являются экстремалями; обратное, вообще говоря, неверно. Локальный экстремум в пространстве С'([г'„111) в вариационном исчислении называют слабым. В соответствии с общими определениями функция х( ) доставляет локальный минимум (максимум) в задаче (1) в пространстве С'([1„ г',1), если .найдется такое е > О, что для всякой функции х( )ЕО([Г„(11), для которой х(Г,)=х(Г,) =О 55 и 1х(.)1г(а выполнЯетсЯ иеРавенство ,7(х( )+х( ))Ъй(х( )) (-=Й(х( ))).
Доказательство теоремы проведем дважды. Сначала воспользуемся рассуждением Лагранжа. Правда, при этом придется дополнительно предположить, что функция гс-ьЦ(1, х(1), х(1)) непрерывно дифференцируема. Затем докажем важную лемму Дюбуа-Реймона, из которой наша теорема вытекает и без дополнительного допущения. Обоб- щение конструкции Дюбуа-Реймона окажется существен- ным в гл. 1Ъ'. Д о к а з а т е л ь с т в о теоремы складывается из трех этапов. А) Определение первой вариации по Ла- г р а нж у.
Пусть х( ° ) ~С'(11„1с)). Рассмотрим функцию Х ср (Х) = Ю (х ( )+ Хх ( )). Имеем с, ср(Х)= ~ Р(У, Х)Ж=$ Е(М, х(М)+Хх((), х(Г)+Хх(Ю))Н. с, се Допущения, наложенные на Е, позволяют дифферен- цировать функцию Р под знаком интеграла (для этого достаточно, чтобы функции (1, Х) — г" (1, Х) и (1, Х)- — — ((, Х) были непрерывными 114, т, 2, с. бб11, [9, т.
2, спс с. 107]). Дифференцируя и подставляя Х=О, получаем ср'(О) = ) (о(() х(1)+р(М) х(Ю)) йс, (3) где р(с) Е,Ь(М, х(Г), х(с)), о (с) =с.„(с, х(с), х(с)). Итак, 11щ(с(х( )+Хх ( ° )) — У (х( ))сХ) существует с о длЯ любого х( )ЕСс(1с„гс)). Обозначим этот пРедел бу(х( ° ), х( )). Функция х( ) с 6,'У(х( ), х( )) называется первой вариацией по Лагранжу функциинава Ю. В) Преобразование первой вариации с помощью интегрирования по частям.
Пусть х(с,)=х(сс)=О и функция р( ) непрерывно дифферен- 60 цируема. Следуя Лагранжу, имеем 65 (х( ), х ( )) = ~ (о (1) х (1) + р(1) х(1)) а( * ц ц = ~ а (1) х (1) й, (4) с где а (1) = — р Я+у (1) (произведение р (1) х(1) обращается в нуль на концах промежутка интегрирования). Нам известно, что х( ) доставляетлокальный экстремум, для определенности пусть это будет минимум, в задаче (1). Отсюда следует, что функция 1~-н ~р(Х) имеет локальный минимум в нуле. Вследствие теоремы Ферма (см. п. 1.3.1) ~р'(0) = 67 (х( ), х( )) =О.
Сопоставляя это с (4) мы получаем, что для произвольной функции х( ) Е ЕС'(11„11)) такой„что х(1,)=х(1,)=0, имеет место равенство ~ а(1)х(1)й1=0. и В) Основная лемма классического вариац и о н н о г о и с ч и с л е н и я. (Л е м м а Л а г р а н ж а.) Пусть непрерывная функция 1 ~а(1), 1Е11„111 обладает тем свойством, что ~ а(1)х(1)Й=Одлялюбойнепрерывно дифференци руемой функции х (. ), у которой х (1,) = х (1,) =О.
Тогда а(1)=0. Доказательство. Допустим, что, а(т)-ьО в некоторой точке т Е '11„1Д. Тогда вследствие непрерывности а(.) найдется отрезок а = '1т„т,1 ~" (1„1,), на котором а( ° ) не обращается в нуль. Пусть для определенности а(1) ~ ~т > О, 1Ей. Построим функцию (1 т)ь(1 т), 1ЕЛ О, 1(Л. Нетрудно проверить, что х( )ЕС'(11„11)); кроме того, х(1,)=-х(1,)=0. По условию леммы ~а(Г) х(1)йг =О. и С другой стороны, по теореме о среднем 114, т. 2, с. 1161, 61 ~9, т, 1, с. 344~ ~ а([) х([)с[[ =а($) ~ х([) с[[ > О, и это св св противоречие доказывает лемму.
ф Сопоставляя полученное в А) н В), убеждаемся, что — р(()[-с[(г) — О, а это и требовалось доказать. Г) Лемма Дюбуа-Рея мона. Пусть ма [Се, Св[ функции а () и Ь ( ) нвпреремнм, и луста ~ (а(С) х(С)+Ь(С) х(С)) дС =0 (б) с, для любойх( )ЕСс([Се, Сс)) такой, что х(Св)=х(гг)=0. Товдафунк- ция а( ) непрерывно диффвренцируеиа и да [СУ/дС=Ь(С). Доказательство. Интегрируя в (5) второе слагаемое в по- дынтегральном выражении по частям, 'получаем 0 = ~ (а (С) $ Ь (в) Нз) х (С) дС+ $ Ь (в) сЬ х (С) ~ ' = с, ср с, св с = ~ (а (С) — ~ б (в) йв) х (С) Я. (6) св св Докажем, что ф(О=а(С) — ) Ь(в) сЬ=сопвн Если зто не так, св то найдутся такиетв и та, что ф(тв) т ф (тв). Без ограничения общности можно считать, что т„и т,— внутренние точки отрезка [Сз, С,) и ф(тв) > ф(тз).
Выберем 6 > Отак, чтобы [тс — 6, тс+6[с '[Сз, Сс), в [, 2, и чтобы ф (в+тд) — ф (в+та).=- а > О при [ з Мб. Теперь возьмем функцию х( ), производная которой имеет специальный вид (С вЂ” тд+6)(С вЂ” ть — 6), С~[т,— 6, т,+61, х(С)=~ +(С вЂ” тз-[-б)(г-т,— б), СЕ[та-б, тз+б). (у) 0 для остальных С. Если положить х(с )=О, то в силу (7) х(с,)= ) хООус О, так чео св для такой х( ) должно иметь место (6), но ' Г т, ч.б т,+б а(с) — ~ ь(в)дв х(с)ус= ~ ч ООх(с)ус+ ~ ср(с) х(с)дс с, т, -б с.-б б б = ~ (ф(т,+в) — ф(та+в))(б — в)(з+б)с(в~а ~ (б — з)(з+6)сЬ > О, -б -б 62 г Противоречие показывает, что ф(Г)=а(Г) — ~ Ь(а)па=поп»1, а тогда и а( ) дигрференцнруема н йаlФ=Ь. ° Применив лемму Дюбуа-Реймона к первой вариации (3), полу.
чаем, что р( )Ес»((г„е»1) н р(1) =о(г). В только что проведенных рассуждениях заключен зародыш так называемого мепюда вариаций, с помощью которого выводятся различные необходимые условия экстремума. Суть его состоит в следующем. Пусть х — точка, подозреваемая иа минимум в задаче у(х) — !п1, хЕС. Тогда можно попытаться построить непрерывное отображение е. ~х(Х), ХЕК+ так, чтобы х(0)=х и х(Х)ЕС, 0(Х(Х«. Эту кривую естественно назвать вариацией аргумента.