Бесекерский, страница 10

Вместо комбинирования указанных линейных членов могут вводиться также и функциональные нелинейные члены; включение и выклкгчсние сигналов, соотвстствующих этим членам, производится при помощи логического устройства. Тогда получится комбинация фупкпиопальных и логических нелинейных алгоритмов. Оптимизирующие нелинейные алгоритмы управления.

Оптимальной называется автоматическая система, иаилучпщя в некотором смысле с учетом ограничений, накладываемых на величину управляющего воздействия, координаты, скорости и т, п. Это может быть, например, система, имеющая максимальнос быстродействие, или минимальный расход энергии на управление, или максимальный коэффициент полезного действия. Как правило, при этом приходят к нелинейным алгоритмам управления, хотя, вообще говоря можно оптимизировать и коэффициенты линейного алгоритма, задав сто форму.

Часто оптимальный пслинейпый алгоритм состоит в переключении управлязопзсго воздействия (при определсниых состояниях системы) с одного максимально возможного значения на другие. Моменты переключения в целом определяются сложными комбинациями значений нескольких переменных и их производных. Париггегпрические нелинейные алгоритмы уприаления.

В предыдущих типах алгоритмов вводились отклонения управляемой величины от некоторых заданных ес программных значений. Нри параметрической программе управления алгоритм может выражаться в виде нелинейных функций текущих координат, в которых задается параметрическая программа. Например, для рассмотренного в В 2.1 закона наведения как парамстричесиой программы управления алгоритм управления имеет вид (2.6), причем для его формирования берут исходнукз информацию от измерителей расстояния р и скорости сближения р, т.

с. тех величин, в которых выражена параметрическая программа. Глава 2. Программы и алгоритмы управления 39 Нелинейные алгоритмы управления обладают богатыми возможностями во всех случаях, когда требуемый аффект может быть достигнут изменением свойств системы с изменением величин ошибок. Болыпие дополнитсльныс возможности улучшения процессов управления даетнелинейное управление работой объекта путем изменения структуры управляющего устройства в зависимости от размеров и знаков входных величин, поступающих от измерительного устройства. При этом могут использоваться комбинации линейных алгоритмов управления, Например, если известно, что при одном линейном ал горитме получается быстрое начальное изменение управляемой величины, но с большими последующими колебаниями (кривая 1, рис.

2.10), а прн другом линейном алгоритме — медленное изменение, но плавный подход к новому установившемуся режиму (кривая 2, рис. 2.10), то можно, включив сначала первый алгоритм, переключить затем систему на второй алгоритм в некоторой точке А, когда отклонение х достигнет определенного значения хл. В результате процесс изобразится кривой 3 (рис. 2.10), объединяющей оба качества — быстроту и плавность процесса. Для осуществления этого необходимо иметь в системе переключал~шеее устройство, срабатывающее при х = хд (рис.

2.11). Если в такой системе все звенья линейные, то за счет указанного переключения, происходян!его автоматически в процессе управления, система становится нелинейной. Это можно сравнить стем, как получается нелинейная статическая характеристика из отрезков прямых линий. Но здесь имеет место нелинейная динамическая характеристика, составляемая из последовательности разных линейных дифференциальных уравнений, соответствующих первому и второму алгоритмам управления. В общем случае срабатывание переключающего устройства в системе с переменной структурой может происходить от нескольких входных величин. При этом кроме основной нелинейности, возникающей за счет переключения структуры, дополнительно могут иметься какие-либо нелинейные свойства в отдельных других звеньях управляюгцсго устройства или объекта.

РАЗДЕЛ !! НЕПРЕРЫВНЫЕ ЛИНЕЙНЫЕ СИСТЕМЫ АВТОМАТИЧЕСКОГО УПРАВЛЕНИЯ Глава 3 ЛИНЕАРИЗАЦИЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ СИСТЕМ АВТОМАТИЧЕСКОГО УПРАВЛЕНИЯ 5 3.1. Линеаризация уравнений 11ри составлении диффсрспциальнь>х уравнений липам ики л >обой автоматичсской системы пес>голик>ю разб>ива>от на отдельные звенья и записывают уравнение каждого звена в отлсльпости.

Уравнения всех звеньев образуют единуго систему, которую можно преобразовать к олцому уравнению путем нск.почсния промежуточных псремс>шых. Уравнение звена должно быть составлено так, чтобы опо выражало зависимость (в линамическом процессе) мсжлу >смн величинами, когорыс в схеме исследуемой системы указаны на выходе и входе данного знспа, т.

с. межлу величинами, представляю>гп>ми воздействие данного звена па последующее по схеме звено и воздействие прспыдушсго звена па Ланное. Динамическое уравнение отдельного звена составляется но правилам соответствующей технической науки (звено может представлять собой тепловой двигатель, электрическую машину, механическую перслачу, влектрическук> Пспь и т. и.).

Звено может иметь иногда пс одну вхоппую величину, а несколько (например, при наличии дополнительных обратных связей). Кроме входной и выхолной величин звена, которые выражают собой внутренние связи мсжлу звеньями данной системы, может учитываться также внешнее воздействие. Пусть, например, звено (рис.

3.1, а) какой-ннбуль автоматической системы имеет входные величины х>,хп выхояпуго — хз и внспшсс воздействие/, а динамическое уравнение звена имеет щ>оизвольный нелипейпьгй вид 6х> хз ->з хз хз хз ~з)=9(У У) (З.1) (лля примера взят определенный порядок вхолящих в уравнение произволпыхха хз, ,Г; вообще же злесь могут быть любые лругис варианты) Глава 3. Лннеарнзация дифференциальных уравнений 41 Допустим, что установившийся процесс в системе имеет место при нскоторых постоянных значениях х, =х,, о хг = хг, хз = хз и /' = ~з. ! огла уравнео .о ние установившегося состояния для данного звена согласно (3.1) будет Г(хг,хг,О,хг,0,0,0) = ср(Г",О) (3,2) В основе лнпсаризапип нелинейных уравнений лсхсит предположение о том, что в исследуемом Линам ическом пропсссс переменные (в лап ном случае х„хг, хз) измео о .о1 няются так, что их отклонения от установившихся значений 1х,,хг,хз ) остаются вес врсмя достаточно малыми (рис.

3.1, б). Обозначим указанные отклонения через Ьхо ~ьхг, Лхз. Тогда в динамическом про- цессе х~(г)=хг +Лхг(е), хг(г)=хг+ыг(г) хг = гьтг о о хз(г) =хз+д~з(г) хз =дхз хз =ьхз. хз =б~з .о (3.3) дх ' дх' ' дх ' дх + члены высшего порядка малости) = 'Р(/ г ), (3.Л) Г ар')' дГ где чсрсз — для краткости обозначена величина, взятая при х, =х, . ' ~ах,) ' ' " ' ах,' о хг хг, хг =О, хз =х.",,..., хо =0 (т.с. сперва берется в общем вил частная произ- Условие достаточной малости динамических отклонений переменных от некоторых установившихся значений для системы автоматичсского управления обычно выполняется.

Этого требует сама идея работы замкнутой автоматической системы. Внешнее же воздействис)'нс зависит оз работы автоматической системы, изменение его может быть произвольным, и поэтому правая часть уравнения (3.1) обычно липеарпзации пс подлежит (в отдельных случаях и опа может быль лппсаризована), Первый способ линеаризации. Разложим функннк> Г, стоящую в леной части уравнения (3.1), в ряд по степеням указанных выше малых отклонений, рассматривая все произволш зс тоже как самостоятельпыс ясрсменпые. Тогда, уравнение (3.1) примет впл 42 Непрерывные линейные системы автоматического уп аеления водная от функции Е но хо после чего в нее вместо всех переменных подставлшотся их постоянные значения х,, х2, О, хэ,..., О).

о о,о Следовательно, все частные производные в полученном уравнении (ЗА) вредставляют собой некоторые постоянныс коэффициенты. Они булут переменными во времени, если функция Гсолсржит г в явном виде или если установившийся процесс в системс определяется переменными значениями хо(г), хо(г), хз(г) .

Члены высшего порядка малости, указанные в уравнении (ЗА), состоят из произвеленнй и степеней малых отклонений ттхо 23х2,... с коэффиписнтами в виде смешанных частных производных и частных производных второго и высших порядков от функции Гпо всем переменным. Вьтчтя из уравнения (ЗА) почленно уравнение установившегося состояния (3.2) и отбросив члены высшего порядка малости, получим искомое линеаризо ванное уравнение динамики данного звена в виде Лх1+ ох 2тх2+ 3 ° 2 х2+ 3 21хэ+ О ° 2 хз+ ~..

2 хэ+ + — ттт»3 =тр(2', 2')-тр(.т, 0). ,3.3) Это дифференциальное уравнение, так же как н (3.1), описывает тот же линами- ческий процесс в том жс звене автоматической системьь Отличие этого уравнения от прежнего состоит в следу~оп!сот: 1) это уравнение является приближенным, нбо в процессе его вывода были отброшены малые высшего порядка; 2) неизвестными функциями времени в этом уравнении являются пс нрсжиис полные величины хю х2, хэ, а их отклонения Ахн Лхт, 21хз от некоторых установившнхсязначений хо, хо, хо; 3) полученное уравнение является линейным относительно отклонений Охн Атт, лх2 ьхз .

лхт с пОстОянными! Оэффиттиент акти, ° (или '(ах,3 ' (ах2/ "' с переменными коэффициентами, если Р содержит г в явном виде, а также когда установившийся процесс определяется неремснными величинами х~~(т), хзо(г), хэо(г), например нри программном управлении. Таким образом, цель получения линейного дифференциального уравнения взамен прежнего нелинейного достигнута. Уравнение (3.5) называется дифференциальным уравнением звена в отклонениях.!1роделав то же самое для всех звеньев системы, получим в результате линсаризованныс уравнения процесса управления в отклонениях (или, как называют е~це, уравнения ов вариациях»). .э..:„Глава 3, Линеаризация дифференциальных уравнений 43 В дальнейшем можно будет проводить ли псар изацин~ нелинейных уравнений непосредственно по аналогии с формулой (3.5), нс производя прсдварительпых выкладок.

Приведем геометрическую трактовку этого способа линеарнзацни, Изобразим графически зависимость Готя, при постоянных значсниях всех остальных переменных; хг =хг "'г ="'» хз =хз хз =хз с сз =6. Пусть эта зависимость имеет вид кривой, прсдставлепной па рис. 3.2, а. Отметим значение х1о и проведем в точке С касательную. Тогда — =гйа, (3.6) где со — угол наклона касательной в точке С(х1 Г ), для которой о,о~ о х1 =х, В= Го = В~хо,4Охоз,ОР В). (3.7) Замена х, = хо + Лх, и сокрагцение члена (3.7), производившиеся раньше аналитически, здесь эквивалентны переносу начала координат в точку С (рис. 3.2, а), в результате чего получается график рис. 3.2, б.

Первый член лнпсйпого уравнения (3.5) согласно (3.6) означает, что линеаризация уравнения геометрически может трактоваться как замена первоначальной кривой СВ па касательную к пей прямую СП. Из графика рис. 3.2, б очевидно, что эта замена тем точнее, чем иепыпие всличины отклонения Ат, возникают в исследуемом динамическом процсссе (основная предпосылка для линсариазидии); границы отклонений Атп для которых допустима линеаризация, тем шнрс, чем ближе кривая СВ к прямой СП. Последним обстоятельством и определяются практически в каждой задаче те границы, внутри которых отклонения можно считать «достаточно малымиь. В ряде задач отличие от линейности, показанное па рис, 3.2, б, бывает столь незначительным, что даже в сравнительно большом диапазоне отклонений Лх, можно считать систему линейной. В случае же ярко выраженной нелинейной зависимости линеаризация будет справедлива лишь на соответствующем более узком участке отклонений лх,.Лицеаризация можстбьпь 44 Непрерывные линейные системы автоматического управления совершен ш> цело пусти мой при скачкообразных зависимостях (например, при релсйных харакгсристи>гах), Такого рола зависимости называются существенно нслш>ейными.

Важно о>з>етнть следу>ощес. Если цо указанным причиним не может быль нолвсргнуто лип саризац ни уравнение только ол ного звена системы или даже только часть функции г Лля ланцого звена, то производят линеаризацню всех остальных нелинейных зависимостей, оставляя только оЛну или несколько суц>сственно нелинейных. Второй способ линеарнзации. Из нривслснной геометрической илл>острацин вытекает лругой способ лииеаризацин уравнений систем ь> автоматического регулированияя, которь>й весьма часто применяется на црактикс. Этот способ заключается в том, что с самого начала все криволинейные зависимости, используемые при составлении уравнений звеньев, заменяются прямолинейными (но касательной в соответствующей точке кривой). Тогда уравнения звеньев сразу будут получаться линейными.