Варакин Л.Е. Теория систем сигналов (1978), страница 9

имеют спектры одинаковой ширины [У', = Лв, то ВФН Яг ( ) с Л = сопз1 распределена в полосе [т ! ~ Т, — (Л+ 1)Ла( Й( — (Л вЂ” 1)Ле с центром в точке т=О, Я= — ЛЛв. Такое распределение выделено штриховкой на рис. 1.18. На разностной линии ВФН Рг [т, й + (т — р)Ага[ = Лг (т) (1.1115) является ВКФ, поскольку Я + (ч — р)Ла = О. В (1.115) индекс (1.16) Допустим, что спектры элементов не перекрываются и они обладают равными энергиями. При этом на разностной линии 1« = = — ХЛе) суммируется Ух ВКФ. Из (1.111) имеем ))) 77м («, — ХЬе)) = — ~~)' 7[г (т) ехр [!ег(т)[. (1.117) Л) «ак+! Когда формы элементов одинаковы, т. е. имеет место равенство (1.59), после преобразований (1.112), (1.117) получаем 1 )« 1«га(т, — ХАМ)= — 1«ф(т) ~»' а),ам -х)ехр[1(ч — Х вЂ” 1)Л«ет[. «=к+! (1.! 18) Отметим, что в (1.118) входит АКФ Яф (т) элемента, которая не зависит от индекса суммирования и поэтому вынесена за знак суммы.

Сумма состоит из слагаемых, в каждое из которых входит произведение комплексных амплитуд !тго и л-го сигналов. Равенство (1.118) включает в себя условие нормировки (1.71), которое должно выполняться для кодовых последовательностей всех сигналов. Используя распределение ВКФ (1.115) с Л = сопз! около разностных линий, представим ВФН частотного сигнала (!.!09) в следующем виде: (1.119) где ь ««))) (т' ь«) с~~~ РЙг' (т, ьз+ Ме)) ехр [!ег(т)1. (1.120) «=Х+ ! В полосе [т[ < Т, — (Х+ 1)Ле) < 1) < ),,А«» су„п„у я две группы ВФН (1.115) с «соседними» значениями Х, а именно с 7! и с Х + 1. Общее число слагаемых будет равно Ух + А!х+! Корреляционные функции дискретных сигналов.

Положим в формуле (1.63) Ле) = О. В результате получаем ВФН дискретного сигнала )7ж (т, й) = ~ч'„~чЗ, р1«г [т — (ч — р) Л(, Й) ехр [!ег (1«)[„(1.121) =! )!= ! где Я, р, 1«г ( ) определякпся согласно (1.64) — (!.66), а фаза ег («1) в соответствии с (1.67) равна ег (й) = ег (О, Й) = (ч — 1)ЬЯ. (1.122) Когда равны энергии сигналов Еь = Е„= Е и энергии элементов Е)ч = Ееи = Ем то из (1.121) получаем Ео 17ть(т, й) = — ' ~~» "~' Яг[т — (ч — р) А1, й[ехр [[ее(11)). (1.123) Е ч ! )!=! При выполнении условия (1.53), когда длительности элементов Т, = Т!гг и не перекрываются, Е,1Е = 1/У. Если сигналы состоят из элементов одинаковой формы, то из (1.70), (1.123) имеем !9 Н ~!гь(т И) = „~~~~~ 1' а!э ац, йф [т — (9 — р) аг, И) ехр 1!ез (И)). э=!в=! (1.124) Сравнивая (1.124) с (1.112), можно заметить, что структура этих формул одинакова, а основное отличие заключается в изменении зависимости ВФН Яз ( ) от разности Л = 9 — р (1.113).

В (1.112) Я зта разность входит в частотный аргумент И, в (1.124) — во временной т. Такое свойство формул (1.112) и (1.124) объясняется частотно-временной дуальностью частотных и дискретных сигналов. Поэтому представляется, что корреляционные свой- -Т и г с ства дискретных сигналов будут такими же, как у частотных, с той лишь разницей, что изменяются роли осей т и И плоскости неопределенности. —. И~ гтэ Центры ВФН элементов !сз ( ) согласно (1.121) располоРмс.

1.19 жены в точках т = ЛМ, И = О, где Л = 9 — р (1.113). На рис. 1.19 положение центра выделено точкой. ВФН; дискретов при Л = сопз! распределяются в полосе (Л вЂ” 1) М ( т ( (Л + 1)йг, ! И ! ( !р около разностной линии т = Л!Лг, что отображено штриховкой на рис. 1.19. (В общем случае указанная полоса не ограничена по частоте из-за фннитности элемента, т. е. ! И ! ( со. Поэтому ограничение полосы ~ И ! ( ЯР является приближенным.) Сравнивая рис. 1.18 и и 1.19, замечаем, что все частотные зависимости заменены временными, а временные частотными.

Как и в случае частотных сигналов, число разностных линий равно 2У вЂ” 1, а число слагаемых в (1.121), (1.123) при Л = сопз! будет )Уь (1.114). Допустим, что элементы удовлетворяют условию (1.53), т. е. не перекрываются. Вдоль разностной линии т = Лог из (1.124) получаем 1 Ф !!гь(Лг41, И)= — 1!ф(И) ') а!,аь! х!ехр(!(9 — 1)Л(И). !у (1.125) 44 Формула (1.125) отличается от (1.118) тем, что в нее входит ЧКФ ЯФ (»1) формы элемента вместо АКФ Вр (т) из (!.118). Кроме того, в показателе экспонент частотные и временные параметры поменя. лись местами.

Используя распределение ВФН элементов (рис. 1.19), можно представить ВФН дискретного сигнала в виде (1.117), где Р)»(т, »1) = '»', р)сх (т — ЛМ, »1) ехр[!ех(»1)]. (1.!26) т=»+~ В полосе ЛА!<т((Л+ 1)А(, ]»1](]Р' суммируются две группы ВФН с соседними значениями Л. Общее число слагаемых равно У» + Н»+ ь Связь между корреляционными функциями и спектрами кодовых последовательностей. Из всех форм записей корреляционных функций частотных и дискретных сигналов особое значение, как будет показано в дальнейшем, имеют (1.118) и (1.125). Докажем одно интегральное равенство, связывающее эти корреляционные функции со спектрами кодовых последовательностей (1.105), (1.106) [25, 37], Для частотного сигнала имеем )~Ф (т) е Л„( — ЛЛФ)=- " Х 2аФ к х ~ Н; Я+ х) Н» (ь) е- "4 с$; (1.127) для дискретного сигнала ]7 „(Ллг, а) = — ~ Н, (г,— у) й„(г) 'е'к а, РФ (()) 2яУ (1.128) где х = Ьмт, у = А(11, (1.129) Я„(т, — ЛАФ)= Ф [~ Нт($») Й»(3,) Х (2к)» М вЂ” л х ехр [! ($,— Лс» — $,— Лх — х)] ~ ехр [!т( — $,+$,+х)] д$,0$».

45 а Нт ($), Н» ($) определяются согласно (1.105), а Нт (ь), Н, (ь)— согласно (1.106). В справедливости равенств (1.127), (1.128) можно убедиться, подставив вместо спектров кодовых последовательностей их определения (1.105), (1.106). Это можно доказать непосредственно. Докажем равенство (1.127), Подставив в (1.118) вместо а;„а» ~, и их определения согласно (1.107). После простых преобразований имеем Поскольку во внутренней сумме слагаемые с номерами т ) У и т ( Л+ 1 равны нулю, то можно расширить пределы суммирова- ния до бесконечности. Тогда Рж (т, — ЛАФ)= ~ Нт~Я НО ($з) ~ )(ОФ (т) Г (2п)О М х ехр[1 $,— 74,— $2 — Лх — х)) х х,'~ акр[(и( — К,+~,+х))сЯ,г( .

(1.130) О= — ОО Но О ОО еыг 2я ~ б (г 2пт) (1.131) где 6 (х) — дельта-функция. Так как на интервале ( — и, и) содер- жится одна дельта-функция, из (1.130) получаем Л (тг — ЛАФ) = ДН„ДДН (~~) х )(Ф (т) х ехр[1($,— 34,— $,— Лх — х)) 6( — $,+$,+х) Я,пЦ. Используя фильтрующее свойство дельта-функции, получаем (1.127). Аналогично доказывается (1.128). Корреляционные функции сигналов со смещением по частоте. Подставляя выражение для частотного сигнала (1.98) в определение ВФН (1.18) и обозначая ФН комплексной огибающей У, (() как ОО Р~ (т„й) =- — ) У (г) (7, (1 — т) е'о' Ш„(1.132) ОО получаем ВФН сигнала со смещением по частоте )[;„(т, й) = РФ [т, й + Π— й)АФ! ехр [! (й — 1)АФт).

(!.133) Таким образом, ВФН таких сигналов с точностью до фазового множителя совпадает с ФН (1.132), смещенной по оси Я на величину Π— Я)ЬФ. 46 Глава 2 СИСТЕМЫ СИГНАЛОВ И ПЕРЕДАЧА ИНФОРМАЦИИ 2.1. Системы передачи информации 5(Г)= Я З.ф.(1). (2.!) где 3„— коэффициенты разложения, Ч~„(Г) — ортогональные функции, образующие систему ортогональных функций. Две функции (или два сигнала) называются ортогональными, если они удовлетворяют интегральному соотношению (1.9) ° О ~ ф.

(7) ф (г) д7 = 1 1 Е„при и=~и. (2.2) Здесь ń— энергия функции (сигнала) ф„(Г). Определение (2.2) справедливо для любых систем ортогональных функций, как огра- 47 Системы передачи информации (СПИ) служат для передачи сообщений от одного абонента к другому. Сообщения могут быть дискреглными и непрерывными. Дискретные сообщения представляют собой последовательности символов, причем число различных символов конечно. Примерами дискретных сообщений могут служить телеграфные сообщения, телекодовые и т.

д. Источники информации, которые создают дискретные сообщения, называются дискретными. Непрерывные сообщения представляют собой непрерывные функции времени. Источники информации, которые создают непрерывные сообщения, называются непрерывными. Примерами непрерывных сообщений могут служить речь, музыка, значения некоторого параметра, изменяющегося во времени, и т. д. СПИ, предназначенные для передачи дискретных сообщений, называются дискретными или цифровыми, а СПИ, предназначенные для передачи непрерывных сообщений, — непрерывными или аналоговыми. Каналы, в которых передаются дискретные сообщения, называются дискретными, а каналы, в которых передаются непрерывные сообщения — непрерывными.

Передача непрерывных сообщений возможна и в дискретном виде. Для этого необходимо непрерывные сообщения источника непрерывной информации превратить в дискретные и по каналу будут передаваться дискретные сообщения, т. е. канал будет дискретным. Замена непрерывных сообщений дискретными всегда производится с заданной точностью. Для этого следует разложить непрерывное сообщение в ряд (1.8) по ортогональным функциям, т. е. представить сообщение 5 (Г) в следующем виде: ниченных по времени (финитных), так и для имеющих бесконечнукт протяженность.