Варакин Л.Е. Теория систем сигналов (1978), страница 8

Запаздывание элементов по 35 времени определяется формулой (1.40), а сдвиг по частоте аналогично (1.41) ы1хм=(у/ко 1) Лы (1.72) где Уь„— целочисленнаЯ фУнкциЯ индексов 1, и, т. Обозначая через У~„, (1) комплексную огибающую ит-го элемента, находим комплексную огибающую ДЧ сигнала порядка К: и к и,(Г)= Х Х и,„,(1 (т — 1)Л1)е р(1(7,„,-1)Ла(1 — (е — 1)б1)), ~=-! х=! (1.73) ВВЕдя КОМПЛЕКСНУЮ аМПЛИтуду а1я, — — ~ аа„! ЕХр (19П,,) И фОрму Ф;„(1), аналогично (1,44), получаем и к У~ (1) =,'Е~ ~2~ а~.„Фпе, (Р— (~ — 1) Ж) ехр (1 (7;~ — 1) х ч=~я=~ Х Лв (1 — (е — 1) б1]), (1.74) и1' "'" пм огни ( А;1= (7.75)1 матрицей фаз (1.76) 9,кп ..., 91щ„ матрицей частот '~~и~" ~ упя (1.77) у!к!' '"' у!Кн матрицей форм Ф~~ ы ..., Ф~~н (1.78)1 Ф;= Ф;км ..., Ф;кл 36 В общем случае ДЧ сигналы произвольного порядка могут различаться между собой амплитудами ~а;„,~, фазами 9;„„, сдвигами частот, пропорциональными уы„ формами элементов Ф~„,(1).

Изменения указанных параметров определяются следующими прямоугольными матрицами: матрицей амплитуд Подставляя определение комплексной огибающей ДЧ сигнала (1.73) в формулу (1.13) и обозначая спектр хч-го элемента через (1.79) получаем спектр комплексной огибающей !его сигнала и к !!7(в) = ~', ~.", 0!кч [в — (у!к~ — 1) Лв] ехр [ — 1(ч — 1) вМ]. (1.80) ч=!к=! Согласно (1.80) спектр ДЧ сигнала представляется суммой спектров элементов сигнала (1.73). Когда сигнал состоит из элементов одинаковой формы, т.

е. имеет место равенство Ф;„, (!) = Ф7 (г), аналогичное (1.59), то комплексная огибающая ДЧ сигнала и ее спектр получаются из формул (1.73), (1.80) и имеют следующий вид: и к (77(Г)= ~ ~' амчФ, [à — (Ч вЂ” 1)Ы]ЕХР(!(У;,— 1)Х ч=!к=! хЛв [à — (ч — 1) М), (1.81) и к 07(в)= ~ч'„~ а;кч57[в — (7;кч — 1)Лв]ехр[ — !(ч — 1)вМ, (1.82) ч=!к=! где 37 (в) определяется согласно (1.62). Распределение энергии ДЧ сигнала произвольного порядка по сути не отличается от распределения для сигнала первого порядка (см. рис. 1.13). Подставляя в формулу (1.17) комплексные огибающие/-го и Ьго ДЧ сигналов К порядка (1.73) и производя необходимые преобразования, получаем ВФН этих сигналов и к и к й7ь(т а) Х Х Х Х РРУ[т (У !)и и+ ч=!к-!к=!х-! +(7;кч — У~,ц,) Лв]ехР[!еу(т, Й)], (1.83) где р=! т„,е,„„~я,е;, (1.84) Е;, Еэ — энергии !его и и-го сигналов, определяемых согласно (1.15); Е;к„Еак — энергии хч-го и ур-го элементов этих сигналов; У = !хч, А)([!; (1.85) !гу (.) — ВФН хч-го элемента 1сго сигнала и )0!-го элемента и-го сигнала Оч ]Ь(т, ЬЗ) = [ Угкч (Г) У!к!!(! — т) Е Г(!'; (1.86) а Ф е!кч Е!хк .! 37 фазовый множитель зт (т, !») = (7»„„— 1)тЛ!э + (т — 1)РМ вЂ” (т — р) к Х (т»ил — 1)Лг»И.

(1.87) Если элементы 1-го и к-го сигналов не перекрываются по времени и по частоте, то они взаимно-ортогональны. Пусть Ет — — Е„= = Е, а Е!», = Е» и —— Е,. При этом Е = 1т'КЕ, и в формулах (1.83), (1.84) коэффициент р = 1/УК. (1.88) Если при этом элементы имеют одинаковую форму, то ВФН (1.83) приобретает следующий вид: и к и к Рр (т, Я) = ~~1~ ~~)~~ ~~~~ ~~)~ и 'нт п~ !! Ке [т — (т — р) И т=!н=!н=!х=! (у;„„— у» „) Ь!э[ехр [!е! (т, Й)). (1.89) Отметим, что (1.89) справедлива при выполнении условия нормировки к к И К ~ч' [а;„,['= ~ч~ ~ [а»х,„['= — УК.

(1.90) т=!и=! и-!х=! Полагая в (1.73) — (1.90) К = 1, получаем формулы для дискретного частотного сигнала первого порядка. 1.7. Частотные и дискретные сигналы Формулы, описывающие комплексные огибающие, спектры и корреляционные функции частотных и дискретных сигналов, получим из соответствующих формул для дискретных частотных сигналов. Частотные сигналы. Полагая в (1.42), (1.51), (!.60), (1.61) М = = О, 7;„= т, получаем комплексную огибающую частотного сигнала при различных формах элементов У»(г) =,"»' Ц, (г) ехр [! (т — 1) !»аг) (1.91) т=! и ее спектр (! .92) 07(гз)= ~~'.~ О!гт [га (т 1)»гз[ комплексную огибающую при одинаковых формах элементов (1.93) (7»(г) =Фт(г) ',~ а!э ехр[1(т — 1) ЬЯ т=! и ее спектр 6;(в) = ~~~ ~а; В~[в- — ( — 1) Лв].

(1.94) т=! Из (1.91) — (1.94) видно, что частотные сигналы представляют собой суммы элементов Ут, (г) с различными несущими частотами. Длительности элементов Т, равны длительности сигнала Т. Исследованию свойств частотных сигналов посвящены работы [6, 7, 25, 69, 99, 191]. Дискретные сигналы. Полагая в формулах (1.42), (1.51), (! .60), (1.61) Лв = О, получаем комплексную огибающую дискретного сигнала при различных формах элементов (1.95) и ее спектр 6т (в) = ~ч' 6!в (в) ехр [ — ! (т — 1) вб1]; (1.96) комплексную огибающую при одинаковых элементах ит(Г)= ~ч", а!,ОЗз[! — ( — 1)Л!] м=! и ее спектр 6т(в)=57(в) ~~ а;,ехр[ — 1(т — 1)вЛг].

т ! (1.97) (1.98) Ут (г) = У! (г)ехр [! Ц вЂ” 1)бвЛ (1.99) и спектр сигнала 6т(в) = 6, [в — (! — 1)Лв] (1.100) со смещением по частоте, который является частным случаем частотного сигнала. В (1.99), (1.100) У~ (1) — комплексная огибающая первого сигнала, не имеющего частотного сдвига. Такие сигналы называются также сигналами с частотным сдвигом или частотно- смещенными. Отметим, что такие сигналы имеют особый смысл толь- зэ Из (1.96) — (1.98) видно, что дискретные сигналы являются последовательностями элементов У!в (1), сдвинутых относительно друг друга по времени.

Исследованию дискретных сигналов посвящено много работ (см., например, [3, 7, 15, 25, 99, 136, 156, 162, 183„192, 210]). Сигналы со смещением по частоте. Полагая в (1.42), (1.51) У = 1, Л! = О, 7!„, = 1 н отбрасывая индекс т = 1, получаем комплексную огибающую ко при рассмотрении систем сигналов 125, 47, 1981 когда / = 1, 7. Если они рассматриваются отдельно, то частотный сдвиг (1 — 1)Л«» может быть отнесен к несущей частоте. При этом форма всех сигналов определяется комплексной огибающей У, (!). Частотно-временная дуальность частотных и дискретных сигналов. Дуальность ДЧ сигналов приводит к дуальности частотных и дискретных сигналов.

Сравним попарно выражения (1.91) и (1.96), (1.92) и (1.95). Формула (1.91) определяет комплексную огибающую частотного сигнала, а формула (1.96) — спектр комплексной огибающей дискретного сигнала. Из сравнения этих формул видно, что структурно они имеют одну и ту же форму, но все временные зависимости заменяются частотными, а частотные зависимости — временными. Точно такой же вывод следует из сравнения (1.92) для спектра комплексной огибающей частотного сигнала с (1.95) для комплексной огибающей дискретного сигнала. Аналогичное заключение можно сделать, сравнивая попарно формулы (1.93) и (1.98), (1.94) и (1.97). Причем, в случае одинаковых элементов частотно-временная дуальность сравниваемых сигналов выделяется особо заметно, так как Фт (г) и 5~(«э) связаны между собой преобразованием Фурье (1.62), а суммы в (1.93), (1.98) совпадают с точностью до знака в показателях экспонент.

Из частотно-временной дуальности частотных и дискретных сигналов следует, что эти сигналы должны обладать одинаковыми свойствами «с точностью до поворота частотно-временной плоскости на л!2». Поэтому, если определено то или иное свойство для одних сигналов, оно может быть перенесено на другие сигналы с заменой частотных зависимостей на временные и наоборот. Спектры кодовых последовательностей. Было отмечено, что суммы правых частей (1.93), (1.98) совпадают с точностью до знака экспонент с заменой Ла на А! и «э на й Комплексные амплитуды а!» определяют амплитудную и фазовую манипуляции в частотном(! .93), (1.94) и дискретном (1,97), (1.98) сигналах.

Для таких сигналов амплитудная и фазовая манипуляции определяются матрицами- строками аналогично (1.49) Ат — — (а!») = (ало а!„..., ап«), (1.10!) которые в этом случае будем называть, как было отмечено ранее, кодовыми последовательностями. Обозначения последовательностей Аз = (а1,) идентичны и будут использоваться в зависимости от необходимости. Соответственно суммы из (1.93), (1.98) (1.102) Н~Я= ~ч~ а1,ехр(!(ч — 1) Ь«э!), »=1 (1.103) Н, («э) = ~чП~ а„ехр [ — 1 (т — 1) Айэ) 40 Если элементы не перекрываются, то в (1.1! !)Е,!Е = 1/Ж.

[Три этом сигналы состоят из элементов одинаковой формы, т. е. имеет место равенство (1.59) и из (1.71), (1.111) имеем М Ф Л1ь (т, Й) = — ~ '~~ а;, аг„й<р [т, Й + (ч — р) Лв) ехр [гвг (т)]. Ф (1.!! 2) Рассмотрим структуру ВФН частотного сигнала (1.109). Из фоРмУлы (1.109) видно, что ВФН )1и (т, !1) ЯвлЯетсЯ сУммой ВФН элементов )сг ( ), центры которых лежат в точках т = О, 11 = — (т — р)Ле. Обозначим Л = ч — р.

(1.113) При этом координаты центров ВФН Яг ( ) есть т = О, Я = = — Ма. Центр одной из ВФН Яг(.) выделен точкой на рис. 1.18 в предположении, что Л ) О. Поскольку и т, и р изменяются ь от 1 до У, то согласно (1.113) Л Фч изменяется от — ()Ч вЂ” 1) до (й! — 1), т.е. Л= — (У вЂ” 1), (д! — 1). Центры ВФН )сг ( ) совпадают с узлами сетки, обраРис.

1.18 зующимися при пересечении оси 11 с линиями 11 = — Лов. Линии 11 = — ЛЛв,'Л = — (М вЂ” 1), (У вЂ” 1), назовем разностными линиями. Учитывая пределы изменения Л, находим, что число разностных линий равно 2!Ч вЂ” 1. Число слагаемых в (1.! 09) при Л = = сопз! равно (1.114) й1, = )Ч - [Л [. Если элементы удовлетворяют условию (1.53), т. е.