Скляр Б. Цифровая связь (2003), страница 12

1.6 приведено визуальное представление автокорреляционной функции и функции спектральной плотности мощности. Что означает термин "корреляция" ? Когда мы интересуемся корреляцией двух явлений, спрашиваем, насколько близки они по поведению или виду и насколько они совпадают. В математике автокорреляционная функция сигнала (во временной области) описывает соответствие сигнала самому себе, смещенному на некоторый промежуток времени. Точная копия считается созданной и локализированной на минус бесконечности.

Затем мы немного перемещаем копию в положительном направлении временной оси и задаем вопрос, насколько они (исходная версия и копия) соответствуют друг другу. Затем мы перемещаем копию еще на один шаг в положительном направлении и задаем вопрос, насколько они совпадают теперь, и т.д. Корреляция между двумя сигналами изображается как функция времени, обозначаемого т; прн этом время т можно рассматривать как параметр сканирования. На рис. 1.6, а — г изображена описанная выше ситуация в некоторые моменты времени. Рис. 1.6, а иллюстрирует отдельный сигнал стационарного в широком 1 — — для 1т(< Т И 0 лля )т~> Т (1.37) Отметим, что автокорреляционная функция дает нам информацию о частоте; она сообшает нам кое-что о полосе сигнала. В то же время автокорреляционная функция — это временная функция; в формуле (1.37) отсутствуют члены, зависящие от частоты. Так как же она дает нам информацию о полосе сигнала? смысле случайного процесса Х(г).

Сигнал представляет собой случайную двоичную последовательность с положительными и отрицательными (биполярными) импульсами единичной амплитуды. Положительные и отрицательные импульсы появляются с равной вероятностью. Длительность каждого импульса (двоичной цифры) равна Т секунд, а среднее, или величина постоянной составляющей случайной последовательности, равно нулю. На рис. 1.6, б показана та же последовательность, смещенная во времени на т, секунд, Согласно принятым обозначениям, эта последовательность обозначается Х(г — т,). Предположим, что процесс Х(г) является эргодическим по отношению к автокорреляционной функции, поэтому для нахождения йг(т) мы можем использовать усреднение по времени вместо усреднения по ансамблю.

Значение Кх(т) получается при перемножении двух последовательностей Х(г) и Х(г-т,) с последующим определением среднего с помощью уравнения (1.36), которое справедливо для эргодических процессов только в пределе. Впрочем, интегрирование по целому числу периодов может дать нам некоторую оценку Л„(т). Отметим, что йг(т,) может быть получено при смешении Х(г) как в положительном„так и отрицательном направлении. Подобный случай иллюстрирует рис. 1.6, в, на котором использована исходная выборочная последовательность (рис. 1.6, а) и ее смещенная копия (рис, 1.6, 6).

Заштрихованные области под кривой произведения Х(г)Х(г-т,) вносят положительный вклад в произведение, а серые области — отрицательный. Интегрирование Х(г)Х(г — т,) по времени передачи импульсов дает точку Я„(т,) на кривой лх(т). Последовательность может далее смещаться на тм ен ..., и каждое такое смешение будет давать точку на обшей автокорреляционной функции Ях(т), показанной на рис. !.6, г. Иными словами, каждой случайной последовательности биполярных импульсов соответствует автокорреляционная точка на общей кривой, приведенной на рис. 1.6, г. Максимум функции находится в точке йз(0) (наилучщее соответствие имеет место при т, равном нулю, поскольку для всех т Я(т) < л(0))„и функция спадает по мере роста т.

На рис. 1.6, г показаны точки, соответствующие Кх(0) и й„(т,). Аналитическое выражение для автокорреляционной функции йх(т), приведенной на рис. 1.6, г, имеет следующий вид [1): Низкая скорость передачи битов ),(О Произвольнвядвоичная последовательность а) Х(1- тт) ьт в) Вх (т) тт Т -Т О г] Ох(О 1 О 1 Т Т д) Рнс. ).б. Авгвокорреляционнан 4ункцня и спектнуаяьная паотносгнь мащноггни Вх(т~) Игп ~ Х(ОХ(1 т~)тц г ттз г Т) ттз < 1- — дпя (т( к Т (т( Вх(т) Т О для (т( >Т Ох(0 Т ( —" б) , 'тт<Т еяичина скопиной составляющей) (мощность остоянного кв) Высокая скорость передячи битов Произвольная двоичная последовательность е) ХП-,) , 'ж) =т с ти Лх(М = Вт — ( Х(1) Х(1- с!)д( О т тЬд з) ях(ч) 1- — для )») < Т )с) ях(о = т для )с) > Т вЂ” т т и) Вх(П В (П= Т ~Я)п" ) 1 т 1 т к) Рис.

1.б. Аятокорреяяционная функция и спектральная тттность мотноопи (окончание) Предположим, что сигнал перемещается очень медленно (сигнал имеет малую ширину полосы). Если мы будем смешать копию сигнала вдоль оси т, задавая на каждом этапе смещения вопрос, насколько соответствуют друг другу копия и оригинал, соответствие достаточно долго будет довольно сильным. Другими словами, треугольная авто- корреляционная функция (рис. 1.6, г и формула 1.37) будет медленно спадать с ростом к Предположим теперь, что сигнал меняется достаточно быстро (т.е. имеем большую полосу).

В этом случае даже небольшое изменение т приведет к тому, что корреляция будет нулевой и автокорреляционная функция будет иметь очень узкую форму. Следовательно, сравнение автокорреляционных функций по форме дает нам некоторую инфор- 1 ми Случайные сигналы мацию о ширине полосы сигнала. Функция спадаег постепенно? В этом случае имеем сигнал с узкой полосой. Форма функции напоминает узкий пик? Тогда сипзал имеет широкую полосу. Автокорреляционная функция позволяет явно выражать спектральную плотность мощности случайного сигнала. Поскольку спектральная плотность мошности и авто- корреляционная функция являются Фурье-образами друг друга, спектральную плотность мощности, Сх(1), случайной последовательности биполярных импульсов можно найти как Фурье-преобразование функции )?5(т), аналитическое выражение которой дано в уравнении (1.37), Для этого можно использовать табл.

А.1. Заметим, что ОхЩ= г~ ! = Т51пс 7'Т, 1( 5!П ЛТ Т ! лТТ ! (1.38) где 51П ЛУ 51ПСУ = —. лу (1.39) Обший вид функции Сх(1) показан на рис. !.6, д. Отметим, что плошаль под кривой спектральной плотности мошности представляет собой среднюю мошность сигнала Одной из удобных оценок ширины полосы является ширина основного спектрального лепестка (см.

раздел 1.7.2). На рис. 1.6, д показано, что ширина полосы сигнала обратно пропорциональна длительности символа или ширине импульса. Рис. 1.6, е-к формально повторяют рис. 1.6, а — д, за исключением того, что на последуюших рисунках длительность импульса меньше. Отметим, что для более коротких импульсов функция Кг(т) уже (рис.

1.6, и), чем для более длинных (рис.!.6, г). На рис. 1.6, и йх(51) =О; другими словами, в случае меньшей длительности импульса смешения на т, достаточно для создания нулевого соответствия или для полной потери корреляции между смещенными последовательностями. Поскольку на рис. 1.6, е длительность импульса Т меньше (выше скорость передачи импульса), чем на рис. 1.6, а, занятость полосы на рис.

1.6, к больше занятости полосы для более низкой скорости передачи импульсов, показанной на рис. 1.6, д. 1.5.5. Шум в системвк свяжи Термин "шум" обозначает нежелательиме электрические сигналы, которые всегда присутствуют в электрических системах. Наличие шума, наложенного на сигнал, "затеняет", или маскирует, сигнал; это ограничивает способность приемника принимать точные решения о значении символов, а следовательно, ограничивает скорость передачи информации, Природа шумов различна и включает как естественные, так и искусственные источники. Искусственные шумы — это шумы искрового зажигания, коммутационные импульсные помехи и шумы от других родственных источников электромагнитного излучения.

Естес1ввеввые шумы исходят от атмосферы, солнца и других галактических источников. Хорошее техническое проектирование может устранить большинство шумов или их нежелательные эффекты посредством фильтрации, экранирования, выбора модуляции и оптимального местоположения приемника. Например, чувствительные ра- р(л) =в ехр --~ — ~ о42к ~ 2 ~оУ (1.40) где ог — дисперсия л. Нормированная гауссова функция плотности процесса с нулевым средним получается в предположении, что о=1.

Схематически нормированная функция плотности вероятностей показана на рис. 1.7. Далее мы часто будем представлять случайный сигнал как сумму случайной переменной, выражающей гауссов шум, и сигнала канала связи: с=а+ и. Здесь г — случайный сигнал, а — сигнал в канале связи, а л — случайная переменная, выражающая гауссов шум. Тогда функция плотности вероятности р(г) выражается как 1 ~ !(~ — ах р1г) =т ех -- — ) ~, (1.41) где, как и выше, о' — дисперсия л.

р1о) ! в„р( ~(л) ~ о нзвв — -з -а -! с ! а з Рис. 1. 2 Нормированная 1о = 1) гоуссово функция няотности ввровтности 1.5. Случайные сигналы диоастрономические измерения проводятся, как правило, в отдаленных пустынных местах, вдаяи от естественных источников шума. Впрочем, существует один естественный шум, называемый теляовым, который устранить нельзя. Тепловой шум 14, 5'1 вызывается тепловым движением электронов во всех диссипативных компонентах— резисторах, проводниках и т.п.

Те же электроны, которые отвечают за электропроводимость, являются причиной теплового шума. Тепловой шум можно описать как гауссов случайный процесс с нулевым средним. Гауссов процесс лй) — это случайная функция, значение которой л в произвольный момент времени г статистически характеризуется гауссовой функцией плотности вероятностей; 1.5.5.1. Белый шум Основной спектральной характеристикой теплового шума является то, что его спектральная плотность мощности одинакова для всех частот, представляющих интерес для большинства систем связи; другими словами, источник теплового шума на всех частотах излучает с равной мощностью на единицу ширины полосы — от постоянной составляющей до частоты порядка 10м Гц. Следовательно, простая модель теплового шума предполагает, что его спектральная плотность мощности б„()) равномерна для всех частот, как показано на рнс.