Скляр Б. Цифровая связь (2003), страница 11

Дисперсия — это мера "разброса" случайной переменной Х. Задание дисперсии случайной переменной ограничивает ширину функции плотности вероятности. Дисперсия и среднеквздратическое значение связаны следующим соотношением: о»'=Е(Х' — 2т»Х+ т»х) = = Е(х') — 2т»Е(Х) + т»~ = Е(Х ) т»х 1.5.2.

Случайные процессы Случайный процесс Х(А,г) можно рассматривать как функцию двух переменных: события А и времени. На рис. 1.5 представлен пример случайного процесса. Показаны Ф выборочных функций времени (Х(г)). Каждую из выборочных функций можно рассматривать как выход отдельного генератора шума. Для каждого события А, имеем одну Таким образом, дисперсия равна разности среднеквадратического значения и квадрата среднего значения. функцию времени Х(А,, г) = Х(г) (т.е. выборочную функцию). Совокупность всех выборочных функций называется ансамблем.

В любой определенный момент времени г„ Х(А, г,) — зто случайная переменная Х(гг), значение которой зависит от события. И последнее, для конкретного события А =А, и для конкретного момента времени с=г„ Х(А,, с,) — зто обычное число. Для удобства записи будем обозначать случайный процесс через Х(с), а функциональную зависимость от А будем считать явной. х й В х я Выборочные фтнкннн Время Рпс. Л5.

Случайный процесс (1.30) Е(Х(гхН = ~хрх,(х) йхмгпх(г„), где Х(сс) — случайная переменная, полученная прн рассмотрении случайного процесса в момент времени гь а рх, (х) — плотность вероятности Х(сс) (плотность по ансамблю событий в момент времени гс). Определим автокорреляционную функцию случайного процесса Х(с) как функцию двух переменных с, и г, 1цг', п 1.6.2.1. Статистическое среднее случайного процесса Поскольку значение случайного процесса в каждый последующий момент времени неизвестно, случайный процесс, функции распределения которого непрерывны, можно описать статистически через плотность вероятности.

Вообще, в различные моменты времени эта функция для случайного процесса будет иметь разный вид. В большинстве случаев эмпирически определить распределение вероятностей случайного процесса нереально. В то же время для нужд систем связи часто достаточно частичного описания, включающего среднее и автокорреляционную функцию. Итак, определим среднее случайного процесса Х(г) как Йг(еь й) = Е(Х(б)Х(й) ), (1.31) где Х(г,) и Х(гз) — случайные переменные, получаемые при рассмотрении Х(г) в моменты времени г, н й соответственно. Автокорреляционная функши — это мера связи двух временных выборок одного случайного процесса. т.б.2.2.

Стационарность Случайный процесс Х(г) называется стационарным в строгом смысле, если ни на одну из его статистик не влияет перенос начала отсчета времени. Случайный процесс именуется сшационарнмм в широком смысле, если две его статистики, среднее и авто- корреляционная функция, не меняются при переносе начала отсчета времени. Таким образом, процесс является стационарным в широком смысле, если Е(Х(г) ) = ш„= константа (1.32) Щгь б) = Лг(П вЂ” й). (1.33) Стационарность в строгом смысле подразумевает стационарность в широком смысле, но не наоборот. Большинство полезных результатов теории связи основывается на предположении, что случайные информационные сигналы и шум являются стационарными в широком смысле.

С практической точки зрения случайный процесс не обязательно всегда должен быть стационарным, достаточно стационарности в некотором наблюдаемом интервале времени, представляющем практический интерес. Для стационарных процессов автокорреляционная функция в уравнении (1.33) зависит не от времени, а только от разности г, — гь Иными словами, все пары значений Х(г) в моменты времени, разделенные промежутком т = г, -гь имеют одинаковое корреляционное значение. Следовательно, для стационарных систем функцию Я„(гь й) можно записывать просто как лх(т). 1.6.2.3.

Автокорреляция случайных процессов, стационарных в широком смысле Как дисперсия предлагает меру случайности для случайных переменных, так и автокорреляционная функция предлагает подобную меру для случайных процессов. Для процессов, стационарных в широком смысле, автокорреляционная функция зависит только от разности времен т=г, — г,: Вх(т) = Е(Х(г))((г+ т) ) для — с т с -.

(1.34) Для стационарного в широком смысле процесса с нулевым средним, функция л,(т) показывает, насколько статистически коррелируют случайные величины процесса, разделенные т секундами. Другими словами, Я„(т) дает информацию о частотной характеристике, связанной со случайным процессом.

Если лх(т) меняется медленно по мере увеличения т от нуля до некоторого значения, это показывает, что в среднем выборочные значения Х(г), взятые в моменты времени г= г, и г=гь практически равны. Следовательно, мы вправе ожидать, что в частотном представлении Х(г) будут преобладать низкие частоты.

С другой стороны, если лх(т) быстро уменьшается по мере увеличения т, стоит ожидать, что Х(г) будет быстро меняться по времени и, следовательно, будет включать преимущественно высокие частоты. Автокорреляционная функция стационарного в широком смысле процесса, принимающего действительные значения, имеет следующие свойства: 1 нх(т)=Рх( ) симметрия по т относительно нуля 2. йх(т) ь йх(0) для всех т максимальное значение в нуле 3.

йх(т) <-ч бх(г) 4 Ях(0) = Е(Х'(г)) автокорреляция и спектральная плотность мощности являются Фурье-образами друг друга значение в нуле равно средней мощности сигнала 1.5.3. Усреднение по времени и ергодичность ттг (1.35) юх= йп ит ~Х(г)йг, т -ттг и эргодичвским по отношению к автокорревлционной функции, если тгз йх(т)= 11 11т ~Х(г) Х(г+ )йг. -то (1.36) Проверка случайного процесса на эргодичность обычно весьма непроста. На практике, как правило, используется интуитивное предположение о целесообразности замены средних по ансамблю средними по времени. При анализе большинства сигналов в каналах связи (при отсутствии импульсных эффектов) разумным будет предположение, что случайные сигналы являются эргодическими по отношению к среднему значению автокорреляционной функции.

Поскольку для эргодических процессов средние по времени равны средним по ансамблю, фундаментальные электротехнические параметры, такие как амплитуда постоянной составляющей, среднеквадратическое значение и средняя мощность, могут быть связаны с моментами эргодического случайного процесса. 1. Величина мх =Е(Х(гЦ равна постоянной составляющей сигнала. 2.

Величина ю~ равна нормированной мощности постоянной составляющей. 1.5. Слччайиып оигннны Для вычисления юх и йх(т) путем усреднения по ансамблю нам нужно усреднить их по всем выборочным функциям процесса, и, значит, нам потребуется полная информация о взаимном распределении функций плотности вероятности в первом и втором приближениях. В общем случае, как правило, такая информация недоступна. Если случайный процесс принадлежит к особому классу, называемому классом зргодических процессов, ета среднее по времени равно среднему по ансамблю и статистические свойства процесса можно определить путем усреднения но времени одной выборочной функции процесса.

Чтобы случайный процесс бып эрюдическим, он должен быть стационарным в строгом смысле (обратное не обязательно). Впрочем, для систем связи, где нам достаточно стационарности в широком смысле, нас интересуют только среднее и автокорреляционная функция. Говорят, что случайный процесс является зргодическим но оюношению к среднему значению, если 3. Момент второпз порядка Х(г), Е[Хх(г)), равен полной средней нормированной мощности. 4. Величина з~Е[Х (г)) равна среднеквадратическому значению сигнала, выражен- ного через ток или напряжение.

5. Дисперсия ах' равна средней нормированной мощности переменного сигнала. 6. Если среднее процесса равно нулю (т.е. хлх = хлхх = 0), то ахх = Е[Х'), а дисперсия равна среднеквадратическому значению или (другая формулировка) дисперсия представляет полную мощность в нормированной нагрузке. 7. Среднеквадратическое отклонение а, является среднеквадратическим значением переменного сигнала. 8. Если и»= О, то ах — это среднеквадратическое значение сигнала. 1.6.4. Спектральная плотность мощности и аатокорреляционная функция случайного процесса Случайный процесс Х(г) можно отнести к периодическому сигналу, имеющему такую спектральную плотность мощности 6х()), как указано в уравнении (1.20). Функция бхф особенно полезна в системах связи, поскольку она описывает распределение мощности сигнала в диапазоне частот.

Спектральная плотность мощности позволяет оценить мощность сигнала, который будет передаваться через сеть с известными частотными характеристиками. Основные свойства функций спектральной плотности мощности можно сформулировать следующим образом: всегда принимает действительные значения для ХР), принимающих действительные значения 1. бхай) >0 2. бхай = 6х(-,)) 3. Охй х-э Дх(т) автокорреляционная функция и спектральная плотность мощности являются Фурье-образами друг друга связь между средней нормированной мощностью и спектральной плотностью мощности х [ (У) У На рис.