Фаддеев, Фаддеева - Вычислительные методы линейной алгебры, страница 5

Разобьем каждое слагаемое, содержащее попарное произведение переменных на две равные части, расположив перемножаемые переменные в обоих возможных порядках. При таком соглашении квалратичная форма будет записываться в виде следующей квадратной схемы: г= (х,, х,, ..., х„) = анхг+ а„х,х, + ... + а,„х,х„+ з + азгхзх, + агзхг + .. + а,„х,х„+ (44) + а„,х„х, + а„зх„хг -+ ...

+ ав„х',. Матрица ац агг ... агв аг! азз ° ° агч ав! ачз ° авв называется матрицей квадратичной формы. Из самого ее определения следует, что она симметрична, т. е. а; =аВ.Таким образом..какдая млтвицы ф 11 квадра адратичная форма естественно связывается с некоторой симметричной матрице й и обратно, каждой симметричной матрице может быть соотнесена некоторая квадратичная форма. )(задратичная форма может быть коротко записана в матричных обозначениях. Действительно, гч(х1, х,, ..., х„)=х,(а„х,+ажх,+ ...

+анх„)+ +х,(а21Х1+ а„х,+ ... +аз„х„)+ :+ х„(и„х1-г- а12Х2+ ... + а„„х„) =— -+ а,„х„ + в,.х. аих, + а„х1+ П21Х1+ П22Х + =(х,, х,,..., х„) + о„„х„ а„,х, + а„ахе+ .. ан а, ... а„, х, Н21 1122 ' " ' 112 = х'Ах, (46) =(Х,, Х2,, Х„) ан1 а„т... ам в Х =(Х1, Х2, . Хв) Вещественная квадратичная форма называется положительноо и р е д е л е н н о й, если все ее значения при вещественных значениях переменных положительны, зз исключением значения при х, = х, = =... =Х„=О.

Примером положительно-определенной формы может служить форма х,"+х,',+ ... +х„'. Термин „положительно-определенный" распространяется также на симметричные матрицы. Именно, вещественная симметричная матрица А=(а(Г) называется положительно-определенной, если квадратичная форма тч(х1, х,, ..., Х„)= ~~.', а(гх1хт положительно опре- 1,2=1 делена. Так, например, единичная матрица является положительно- определенной, ибо соответствующая ей квадратичная форма положительно определена. Очевидно далее, что квазидиагональная матрица, составленная из положительно-определенных ящиков, положительно определена. Понятие положительной определенности может быть распространено на комплексные матрицы специального вида — так называемые зрмитовы матрицы, которые связываются с формами Эрмита.

Этим формам посвящен и. 6 5 12. 32 [гл ОСНОВНЫЕ СВЕДЕНИЯ ИЗ ЛИНЕЙНОЙ ЛЛГЕБРЫ Выясним„как изменяются коэффициенты квадратичной формы при линейном преобрззовании переменных. Пусть Хг —— ЬпУ2+Ьггуг+ . +ЙглУЯ х2 — 62!Уг + Ьгг Уг + ' ° ° + дгвуп х„=- Ь„,У, + Ь„,уг-+ ...

+ Ь„„У„ нли, в матричной записи, х= ВУ. Тогда х'Ах = (Ву)' А (ВУ) = у'В'АВУ = у'Су, где С = В'АВ. Легко видеть, что матрица С симметрична. Действительно, С' = (В'АВ)' = В'А' (В')' = В'АВ = С, ибо А' = А, (В')' = В. Таким образом, при линейном преобразовании переменных с матрнцей В квадратичная форма преврашастся в квадратичную же форму, причем ее матрица коэффициентов заменяется на матрицу В'АВ. Отметим, что при преобразовании переменных с неособенной матрнцей В положительно-определенная квадратичная форма остается положительно-определенной.

Действительно, если предположить, что ИРи некотоРой системе значений Ув пРеобРззованнаЯ квадРатичнаЯ форма примет отрицательное или нулевое значение,.то исходная квздратичная форма примет то же значение прн системе значений переменных хь = Вуь, что возможно только пРи хь = О, а следовательно. и Уь=-б. 16. Трансформации Гаусса.

Решение системы линейных уравнений с невырожденной матрицей А всегда может быть приведено к решению системы с симметричной и даже положительно-определенной матрицей. Это сведение основывается на следующей теореме. Теорелга!.3. Если А невырожденния матрица, то матрицы А'А и АА' положительно определены. Доиизательство. Если в квадратичной форме с единичной мзтрицей Е сделзть замену переменных с матрнцей А (соответственно с матрицей А'), то получится квадратичная форма с матрицей А'ЕА =-А'А (соответственно АЕА'=АА'). Так как Е положительно- определенна, положительно-определенными будут и матрицы А'А и АА'.

Если систему уравнений умножить слева на матрицу А', мы получим равносильную систему А'Ах = А'у' й 2! матгицы специального вида с положительно-определенной матрицей А'А. Такое преобразование будем называть первой (левой) трансформацией Гаусса. Вторая (правая) трансформация Гаусса заключаешься в том, что вместо системы рассматривается вспомогательная сисзема АА'у = У с положительно-определенной матрицей АА'.

Найдя решение у вспомогательной системы, мы найдем решение исходной системы по формуле х = А'у. 5 2. Матрицы специального вида Е Симметричные матрицы. Симметричные матрицы обладают рядом замечательных свойств, о которых речь будет впереди. Пока мы лишь отметим, что произведение двух симметричных матриц не всегда есть матрица симметричная. Точнее, произведение симметричных матриц есть симметричная матрица в том и только в том случае, когда они перестановочиы.

Действительно, (АВ)'=В'А'=ВА, так что АВ=(АВ)', только если ВА=АВ. 2. Ортогональные матрицы. Вещественная матрица называется о р т о г о н а л ь н о й, если сумма квадратов элементов каждого столбца равна единице и суммы произведений соответствующих элементов из двух различных столбцов равны нулю. Ортогональность матрицы может быть охарактеризована одним матричным равенством, именно А'А = Е. Действительно, диагональные элементы матрицы А'А являются суммами квадратов элементов столбцов матрицы А, а недиагональные элементы равны суммам произведений соответствующих элементов из двух различных столбцов.

Ортогональные матрицы обладают следующими свойствами. 1. Единичная матрица ортогональна. 2. Если А ортогональна, то А ' = А'. Это следует из равенства А'А = Е. 3. Если А ортогональна, то А' тоже ортогонзльна. Другими словами, из выполнения условий ортогональности для столбцов матрицы А следует выполнение тех же условий для строк матрицы А.

В самом деле, (А')'А'=АА =АА '=Е. 4. Произведение двух ортогональных матриц есть ортогональная матрица. Действительно, если А и В ортогональны, то (АВ)' АВ = В'А'АВ = В'ЕВ = Е. З4 основныв свидания из линвйной ллгввгы (гл. г б. Определитель ортогональной матрицы равен + 1. Дейсгвительно, из А'А = Е следует, что ! А'А ) = ( А' ! ° ( А ! = ~ А (з = 1. Последнее обстоятельство определяет естественное разбиение ортогональных матриц на два класса †собствен ортогональные с определителем + 1 и несобственно ортогональные с определителем — 1. К классу ортогональных матриц принадлежат э л е м е н т а р н ы е матрицы ар аШепи я вида (2) Т; =-- где са+за=!. Последнее соотношение показывает, что существует такой угол э, что с = соя э, 3== 51п ть Элементарные матрицы врашения отличаются от единичной матрицы лишь четырьмя элементами, находящимися на пересечении двух строк и двух столбцов с номерами Г и Л ге ).

Этн четыре элемента соста~с, — в) (сову, — з)п~1 гляют матрицу ~ совпадающую с мтв, с~ Б1п ~у, соя э трицей преобразования декартовых координат на плоскости при повороте осей на угол <~. В дальнейшем влементарные матрицы врашений будут неоднократно использоваться как вспомогательные для преобразования данной матрицы А посредством цепочки умножений слева или справа, или с обоих сторон на эти матрицы. Очевидно, что при левом умножении матрицы А = (аю) на матрицу Ту изменяются лишь 1-я и ~-я строки матрицы А, именно, для матрицы Аи1 = Т; А будем иметь а$ = са,.„— вп,з ф=1, 2, ..., и).

35 МАТРИЦЫ СПЕЦИАЛЬНОГО ВИДА й 21 Соответственно, приумножении матрицы А = (аЮ) справа на матрицу Т„ изменяются только г-й и у-й столбцы по формулам а)1!)=са !+ за . <, "' "' "'(а=), 2, ..., и). (4) Ясно, что если хотЯ бы один из двУх элементов аю и аьб отличен от нуля, то можно подобрать с н з так, чтобы для матрицы А = Т;~А )! ) элемент а(!) оказался равным нулю. Для этого нужно взять 1г и г а!1 — с = 1/ 1 (5) г 1/ г ';;,+,',, ' " ',,+;-'а ' При таком выборе з и с получим ! 1 Теорема 2.1. Любая вещественная невырожденнап матрица посредством цепочки умножений слева на элементарные матрицы вращений может быть преобризована в привую треугольную матрицу, все диагональные элементы которой, кроме, может быть, последнего, положительны.

Доказательство. Пусть а„а„... ат аг, агг ае„ ат алг ивп невырожденная вешественная матрица. Допустим сначала, что ап чь О. Умножим матрицу А слева поочередно на матрицы Тпь Т„, ..., Тью выбирая их так, чтобы последовательно аннулировать все элементы первого столбца, кроме верхнего. Этот же последний сделаем на первом шагу положительным и далее будем сохранять его положительность. Если же а„:= О, начнем преобразования с умножения на Тгй, где гь — наименьший номер, при котором а, чь О. В силу предположения о невырожденности матрицы А хотя бы один элемент первого столбца отличен от нуля, так что такой номер уь найдется, После описанных преобразований мы придем к матрице а!') а!',) ...

ан) 11 11 '' 1и сй О а,„, ... а,„ )!) ... сн А =Т„,Тя,... Т,А= О а!') ... а!') пг ''' пп причем а)1) ) О. ОСНОВНЫЕ СВЕДЕНИЯ ИЗ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ )гл. г В силу невырожденности матрицы А1) хотя бы один из элементов а<а), ..., а»') отличен от нуля. Теперь подбираем элементарные матРицы вРащений Тьь Тго ..., Т,„так, чтобы после цепочки Умножений на эти матрицы все элементы второго столбца ниже диагонали обратились в нуль, а диагональный стал положительным. Затем переходим к аннулированию поддиагональных элементов третьего столбца и т. д, В конце процесса придем к матрице а)') ар) ... аи) и ы ''' уа 1п-г) 0 а(27 . ай А = Т„,„...

Т,»А= 0 0 ... а'" ') аааа в которой все диагональные элементы, кроме, может быть, послед- него а»в„-'), положительны. Знак а1„"„а) совпадает, очевидно, со зна- ком определителя матрицы А. Теорема доказана. Отметим, что общее число матричных умножений длв получения матрицы Аав " не превосходит числа поддиагональных элементов, рави (и — 1) ного — .

2 Следствие 1. Всякая невырожденная вещественная матрица есть произведение собственно ортогональной на правук) тре- угольную, Действительно, А — — РАО» '), где Р=(Т„»„... Т„) есть соб- ственно ортогональная матрица: Следствие 2. Всякая собственно ортогональная матрици есть произведенае элементарных матриц вращения. Действительно, пусть А собственно ортогональная матрица. Тогда А = Т»ь ° ° ° Тп-.ап А причем все диагональные элементы матрицы А("-') положительны. Легко видеть, что матрица А1"-И единичная. Действительно, сумма квадратов элементов первого столбца равна единице, откуда следует, что а))) = 1. Из того, что сумма произведений элементов первого ы столбца на элементы каждого другого столбца равна нулю, заклю- чаем, что а,ь = ...