Б.В. Шабат - Введение в комплексный анализ

В зтой книге дается единое изложение основных понятий теории функций одного и нескольких комплексных переменных. Первая часть, посвященная функциям одного переменного, содержит материал обязательного университетского курса. Вторая часть посвящена функциям нескольких переменных и содержит материал основного спецкурса.

В последние десятилетия интерес к теории функций нескольких комплексных переменных значительно возрос — это объясняется тем, что она имеет важные приложения и богатые связи с другими разделами математики. Первоначальное изучение зтой теории обычно довольно затруднительно. Принятое в книге единое изложение значительно облегчает знакомство с ней. ОГЛАВЛЕНИЕ Предисловие Б.В.Шабат ВВЕДЕНИЕ В КОМПЛЕКСНЫЙ АНАЛИЗ ЧАСТЬ ПЕРВАЯ ФУНКЦИИ ОДНОГО ПЕРЕМЕННОГО Глава 1. Голоморфные функции 8 1. Комплексная плоскость 1.

Комплексные числа 2. Топология комплексной плоскости 3. Пути и кривые 4. Области 8 2. Функции комплексного переменного 5. Понятие функции 6. Дифференцируемость 7. Геометрическая и гидродинамическая интерпретация 9 3. Элементарные функции 8. Дробно-линейные функции 9. Геометрические свойства 10. Дробно-линейные изоморфизмы и автоморфизмы 11. Некоторые рациональные функции 12. Показательная функция 13. Тригонометрические функции Задачи Глава П. Свойства голоморфных функций 8 4. Интеграл 14.

Понятие интеграла 15. Первообразная 16. Гомотопия. Теорема Коши 17. Обобщения теоремы Коши 18. Интегральная формула Коши 9 5. Ряды Тейлора 13 13 13 17 20 23 26 26 31 36 42 42 47 50 54 58 61 65 68 68 68 72 80 86 90 93 19. Ряды Тейлора 20. Свойства голоморфных функций 21. Теоремаединственности 22. Теорема Вейерштрасса 5 6. Ряды Лорана и особые точки 23. Ряды Лорана 24. Изолированные особые точки 25. Вычеты Задачи Глава П1. Аналитическое продолжение 8 7.

Понятие аналитического продолжения 26. Элементы аналитических функций 27. Продолжение вдоль пути 8 8. Понятие аналитической функции 28. Аналитические функции 29. Элементарные функции 30. Особые точки 8 9. Понятие римановой поверхности 31. Элементарныйподход 32. Общий подход Задачи Глава ?У. Основы геометрической теории 8 10. Геометрические принципы 33. Принцип аргумента 34. Принцип сохранения области 35. Принцип максимума модуля и лемма Шварца 8 11. Теорема Римана 36. Конформные изоморфизмы и автоморфизмы 37. Принцип компактности 38. Теорема Римана 8 12.

Соответствие границ и принцип симметрии 39. Соответствие границ 40. Принцип симметрии 41. Эллиптический синус и модулярная функция Задачи Глава У. Дополнительные вопросы 8 13. Разложения целых и мероморфных функций 42. Теорема Миттаг-Леффлера 43. Теорема Вейерштрасса 8 14.

Гармонические и субгармонические функции 44. Гармонические функции 45. Задача Днрихле 46. Субгармонические функции Задачи 94 100 103 106 112 112 119 127 134 137 137 137 144 151 151 156 164 170 170 174 181 183 183 183 187 192 195 195 199 204 206 206 211 216 221 223 223 223 230 238 238 243 248 254 ННЫХ снных ЧАСТЬ ВТОРАЯ ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕ Глава 1.

Голоморфные функции нескольких порем 8 1. Комплексное пространство 1. Пространство С" 2. Простейшие области з 2. Понятие голоморфности 3. Определение голоморфности 4. Плюригармонические функции 5. Основная теорема Хартогса ~ 3. Голоморфные функции 6. Простейшие свойства 7.

Степенные ряды 8. Ряды Хартогса и Лорана Задачи Глава П. Интегрирование 9 4. Многообразия и формы 9. Понятие многообразия 10. Дифференциальные формы 11. Понятие интеграла от формы 8 5. Теорема Коши — Пуанкаре 12. Цепи и их границы 13. Дифференцирование форм 14. Формула Стокса 15. Теорема Коши — Пуанкаре 8 6. Интегральные представления 16. Формулы Мартинелли — Бохнера и Лере 17.

Теорема Севери 18. Формула Вейля Задачи Глава П1. Аналитическое продолжение 9 7. Области голоморфности 19. Теорема Хартогса о продолжении 20. Понятие области голоморфности 21. Голоморфная выпуклость 22. Свойства областей голоморфности 8 8. Псевдовыпуклость 23. Принцип непрерывности 24. Выпуклость в смысле Леви 25. Плюрисубгармонические функции 26. Псевдовыпуклые области з 9. Оболочки голоморфности 27.

Однолистные оболочки голоморфности 28. Области разложения 259 259 259 264 270 270 277 280 285 285 293 297 301 304 304 304 309 314 321 322 326 331 334 337 337 344 350 355 357 357 357 360 365 372 377 377 381 386 395 401 402 408 Кузена ий 29. Многолистные оболочки голоморфности Задачи Глава ?У. Мероморфные функции и проблемы 8 10. Мероморфные функции 30. Понятие мероморфной функции 31. Первая проблема Кузена 32. Решение для поликругов 30. Применения. Вторая проблема Кузена 8 11.

Методы теории пучков 34. Основные определения 35. Группы когомологий 36. Точные последовательности пучков 8 12. Применения 37. Решение первой проблемы Кузена 38. Решение второй проблемы Кузена 39. Решение д-проблемы и проблемы Леви Задачи Глава У. Особенности и вычеты 8 13. Многомерные вычеты 40. Теория Мартинелли 41. Теория Лере 42. Логарифмический вычет 8 14. Аналитические множества 43, Понятие аналитического множества 44.

Локальное обращение голоморфных функц 8 15. Аналитичность множества особенностей 45. Аналитичность множества особых точек 46. Существенно особые точки 47. Теорема о вложенном ребре Задачи Глава У1. Голоморфные отображении 8 16. Автоморфизмы простейших областей 48. Общие теоремы 49. Лвтоморфизмы пространства 50. Лвтоморфизмы некоторых областей 8 17. Инвариантная метрика 51. Кернфункция 52. Метрика Бергмана 53. Поведение кернфункции на границе Задачи Предметный указатель 417 422 424 424 424 429 434 439 445 445 451 455 460 460 466 469 480 484 484 485 492 501 507 507 515 519 520 523 527 530 533 533 534 540 546 551 551 559 564 570 572 ПРЕДМЕТНЬТЙ УКАЗАТЕЛЬ Абеля теоремы 97, 275, 293 Абсолютный октант 267 Автоморфизмы канонических областей 197 — круга 53 — области 533 — поликруга 550 — пространства 540 — — нелинейные 541 — шара 546 Автоморфная функция 217 Адамара теорема 235 Аналитическая кривая 377 †плоскос 260 — — касательная 343, 510, 513 — поверхность 377 — — компактная 377 — прямая 260 — функция 152, 410 Аналитическое множество 507 — — компактное 531 — — локально неприводимое 508 — — неприводимое 507 — продолжение 137, 143, 410 — — вдоль пути 145, 410 — — непосредственное 143, 410 Антиголоморфная функция 277 Антиконформное отображение 38 А-точка 106 База открытых множеств 448 — пучка 446 — и-мерных гомологии 487 Барьер в граничной точке 362, 364 Бенке — Зоммера теорема 378, 520 Бенке — Штейна теоремы 370, 373 Бергмана граница 303 — кернфункция 555 Бесконечная точка 15, 36, 106, 130 Бесконечное произведение 230 Биголоморфное отображение 376, 413, 533 Буняковского — Шварца неравенство 551 Бурмана — Лагранжа ряд 191 Вейерппрасса теорема подготовительная 289, 514, 516 — теоремы 106, 231, 288 Вейля множество 350 — область 350 — разложение 353 — теорема 351 — формула 350 Векторное поле 40 Верхняя огибающая 250 Ветвь аналитической функции 152 Вложение многообразий 412 Внешнее умножение 311 Выпуклая оболочка 365 — функция 394 Выпуклость 365 — — в смысле Леви 381 — голоморфная 365, 415 — логарифмическая 294 — 296 Выпуклость относительно класса 366 — полиномиалъная 366, 481 — рациональная 367, 531 Вычет 130 — логарифмический 183, 501 — относительно базисного цикла 488 — — особого цикла 490 — функции 128, 484 Вычет-класс 498 — — сложный 500 Вычет-форма 495 Гамма-функция 138 Гармоническая мажоранта 249, 250 — — наилучшая 252 — функция 238, 242, 390 Геометрия Лобачевского 67, 563 Гиперболическая метрика 563 Гипотеза Бибербаха 136 Глобальное сечение пучка 453 Голоморфизм 195, 307, 376, 413, 533 Голоморфная выпуклость 365, 415 — кривая 355 — нерасширяемость в точке 381 — форма 314 — функция 35, 271 — — в смысле Вейерштрасса 102, 285 — — — — Коши 102 — — — — Римана 102.

285 — — на комплексном многообразий 308 Голоморфное отображение многообразий 412 — расширение области 361 Голоморфность функции в точке 35, 271 Голоморфный изоморфизм 412 — коцикл 430, 442 Гомологии компактные 497 Гомоморфизм пучков 456 Гомотопические классы 82 Гомотопия 80 Гомотопность кривых 83 Граница 324 — Бергмана 303 — области 24 — — ориентированная 87 — поликруга 265 — симплекса 322 — цепи 323, 325 — Шилова 237, 303, 570 Граничное расстояние 409 Грина формула 337, 338 Группа автоморфизмов 195, 544 — гомологии 324 — дифференциальных форм 313, 330 — когомологий 331, 434, 451 — 455 — — с коэффициентами в пучке 452 — — покрытия 453 — — пространства 455 — коциклов 452 — относительных гомологии 500 — — цепей 500 Даламбера — Эйлера условия 33 Двоякопериодичность 217 де Рама теорема 463, 482 Диаграмма Рейнхарта 267 — Хартогса 268 Диаметр множества 88 Дивизор 468 Днгармонические функции 278 Дирихле задача 243, 255, 280 Дискриминант 511 Дискриминантное множество 511, 517 Дифференциал 31 — формы 323 Дифференциальная форма 79, 278, 310— — — бистепени 1р, 91 314 — — замкнутая 79, 278, 330, 433 — — класса Со" (13) 471 — — О'312 — — точная 79, 278, 330 — — эрмитова 384„561 Дифференциальный коцикл 432 — —, когомологичный нулю 432 Дифференцирование сложных функций 272 Дифференцируемость в смысле С" 32, 270 — — Я" 31, 270 — — точке 31 Длина пути 22 Дольбо теорема 461 Дробно-линейные автоморфизмы 52 — — изоморфизмы 51 — — функции 42 Дуга аналитическая 208 д -проблема 469 8-функция 341 Бвклидова метрика 16, 261 Жордана лемма 134 Жорданов путь 21 Жорданова граница 25 — кривая 23 — область 25 Жуковского функция 55 Задача Дирихле 243, 255, 280 Зацепления коэффициент 486 Идеал кольца 254, 291, 303 Изолированная особая точка 119, 164, 349 Изоморфизм голоморфный 376 — Дольбо 462 — областей 533 — пучков 456 Инверсия 49 Индекс отображения 519 — — локальный 506, 518 — пресечения симплексов 485 — — цепей 485 — поверхности относительно точки 501 — пути относительно точки 185 Интеграл 68, 78, 71, 316, 319 — Коши 90, 274, 321 — — типа Коши 134 — эллиптический первого рода 209— 211 Интегральное представление Вейля 350 — — Лере 343 — — Мартинелли — Бохнера 340 Исчерпание множества 320 — — компактное 108, 363, 368 Каратеодори компактификация 206 Картана теоремы 463, 464, 534 Картана— Каратеодори теорема 537 Картана — Туллена теоремы 367, 371, 415 Келлога теорема 207 Кернфункция 555 Класс-вычет 498 — — сложный 500 Класс функций 369 — — й-устойчивый 369 — — р-устойчивый 370 Кнезера теорема 527 Кограница 452 Кограничный оператор 452 — — Лере 496 Кольцо голоморфных функций 36, 272 — ростков голоморфных функций 445 — — мероморфных функций 450 Компакт 202 'Компактификация 15, 206, 261 Компактность в себе 202 Копактные гомологии 497 Комплекс 325 Комплексная плоскость 13, 15 — прямая 260 — структура на многообразии 306 Компоненты множества 24 Конформность 37, 207 Конформные автоморфизмы 195 — изоморфизмы 195 Координаты локальные 305 — однородные 262 Коцепь порядка р 452 Коцикл 331.